高中数学-离散型随机变量的均值教学设计学情分析教材分析课后反思

课型新授课主讲人教学环节教学内容师生互动设计意图引入混合糖果如何定价师：如何定价生：按比例给出正确价格通过问题让学生知道按照混合比例大小取出平均数创设情境引入新课由上面的问题引出加权平均和权数思考：如果每一颗糖果的质量都相等，那么权数的实际含义是什么呢？由此得出权数正好是每一种价格出现的概率经过分析，最后合理定价应是每一种价格乘上它出现的概率的和师：思考：如果每一颗糖果的质量都相等，那么权数的实际含义是什么呢？生：权数正好是每一种价格出现的概率师：定价可以看成是怎样的结果呢？生：最后合理定价应是每一种价格乘上它出现的概率的和通过对问题的思考得出权数即是价格出现的概率，得出定价应是每一种价格乘上它出现的概率的和揭示主题深化概念1、给出分布列由加权平均引出：均值（数学期望）的定义板书均值的定义式（稍后）介绍数学期望名字的由来师：给出分布列后，问学生它的加权平均是什么？生：是变量的每一个取值和对应的概率乘积的和师：那么我们把这个式子叫做均值（数学期望）明确离散型随机变量的均值的定义式揭示主题深化概念2、给出另外一个变量通过推算分布列，得出：均值的性质：板书：均值的性质师：一个新变量，它的分布列是什么呢？生：变量的取值每一个乘a再加b，概率不变师：Y的均值是怎样的呢生：由均值的定义得出新变量Y的均值，学生很容易推出性质穿插历史故事数学期望的由来一起看数学期望的由来了解数学史，激发学习兴趣典例分析深化理解典例：1、袋中有4个红球，3个白球，从袋中随机取出4个球．设取出一个红球得2分，取出一个白球得1分，试求得分X的均值．跟踪训练：口袋中有编号分别为1、2、3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X的均值为（）2、已知随机变量X的分布列为：X－2－1012Peq\f(1,4)eq\f(1,3)eq\f(1,5)meq\f(1,20)(1)求E(X)；(2)若Y＝2X－3，求E(Y)[变问法]本例条件不变，若ξ＝aX＋3，且E(ξ)＝－eq\f(11,2)，求a的值4某广场上有4盏装饰灯，晚上每盏灯都随机地闪烁红灯或绿灯，每盏灯出现红灯的概率都是eq\f(2,3)，出现绿灯的概率都是eq\f(1,3).记这4盏灯中出现红灯的数量为ξ，当这4盏装饰灯闪烁一次时：(1)求ξ＝2时的概率；(2)求ξ的数学期望．跟踪训练： 例1学生看题后，和学生一起分析题意，学生上黑板板书分布列，老师点评，给出最后答案，展示步骤，对步骤进行强调。师：做跟踪训练生：说出答案师生共同总结求均值步骤师：做例2以及后面的变式生：板演师：点评生：口答例3（两点分布非常简单）师：两点分布的均值就是事件发生的成功概率师：讲解例4生：发现算数较复杂师：证明二项分布的均值公式，后面碰到二项分布的题目可直接代公式师：投影仪投放学生做跟踪训练的答案，强调步骤，点评时强调哪个变量服从二项分布。通过几个例题让学生会列出分布列求出均值，再就是分辨两点分布和二项分布，用公式做题从而简化过程合作探究离散型随机变量在实际问题中的应用生：合作探究，给出做法师：点评，在方案二里面计算损失有误，提醒学生考虑问题要全面通过实例感受它在实际问题中的应用并能去解决它。小结学生自己回顾整堂课的主要内容学生自己总结梳理所学知识分层作业第一层：做基础篇第二层：全做巩固所学知识学情分析本节是在《必修》中学习了样本的平均数和方差的基础上，学习离散型随机变量的均值．重点和难点是均值在实际问题中的应用，根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望．在解决实际问题的过程中使学生理解均值的含义．本节课从混合糖果的合理定价引入随机变量均值的概念，直观上通过分析1kg混合糖果的组成，学生很容易得到合理的价格，即价格是三种糖果价格的加权平均，至此问题已解决．然后考虑1kg的糖果如何从混合糖果中取出，通过对问题的探讨，这个权数就是相应的概率，把这个想法抽象出来，就可以得到随机变量均值的概念．然后，引入了一个历史故事来说明数学期望一词的由来，让学生了解数学史，激发学生的学习兴趣。后面通过几个实例一步一步深入进去，先易后难，层层递进，引导学生会应用均值的性质和分辨哪个变量服从两点分布或者是二项分布，从而让题目的解决变得简单。在二项分布这个问题上有同学选择变量错误，出现这种错误的原因是前面学习二项分布的时候学生没有很好的理解它的含义，在以后的题目处理上应注意这个问题最后通过合作探究进行风险决策，学生在计算方案二的平均损失时，当遇到大洪水的损失考虑不全面，教师点拨后很容易理解，做题时考虑问题应全面周到。这种类型的题目是数学期望在实际问题中的重要应用总之，列分布列求均值在数学中不算太难的问题，只要理解好题意，把握要点，处理这种问题还是不会太困难的效果分析本节课在用混合糖果合理定价的引入上很到位，学生很好的理解了均值的概念。课前预习的时候就有学生问为什么它的名字叫数学期望，很文科化的一个名字，和数学中的其他名字看起来不太一样，在课堂上老师渗透数学史有关内容，说明了名字的由来，让学生不只是学习枯燥的知识，而是和生活、历史融合在一起，这样课堂更生动，能让数学活起来，学生了解的多了也就爱学数学。本节课的概念不多也好理解，所以重点就放在均值的应用上，本节课给了学生充裕的时间来做练习，这样学生就很好的掌握了均值的求法，以及两点分布和二项分布的应用，两点分布很简单，所以一点就过，二项分布出现的频率较高，比较重要，所以这个地方对学生做题的点评详细。最后是实际应用问题，这也是我们学习数学的最终目的，学生通过合作探究来解决，整体来说学生对题意理解的较好，只不过在一点小问题上学生考虑不周到，老师提醒引起大家注意。最后总结了均值在各个领域应用的重要性，显示这部分知识的地位，学生们也就特别重视这一部分的学习。教材分析本节是一节概念新授课，均值是概率论和数理统计的重要概念之一，随机变量的分布列全面刻画了随机变量取值的统计规律，随机变量的均值是刻画随机变量取值的平均水平的指标。学习数学期望将为今后学习概率统计知识做铺垫，同时它在市场预测经济风险与决策等领域有着广泛的应用。教材以形象的混合糖果的定价问题的解释为例，引出了离散型随机变量的均值的定义，在此基础上，推导了均值的公式，接着计算了两点分布和二项分布的均值。《数学3必修》中学习过样本的平均值，一般它们都是未知的，但都是确定的常数，不同的试验一般会得到不同样本，随着样本的不同，样本的平均数就是改变，对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本的平均数越来越接近与总体均值。教学中，要把重点放在用均值和解决实际问题上，在解决实际问题的过程中使学生理解均值的含义。评测练习【基础篇】1．口袋中有5个球，编号分别为1，2，3，4，5，从中任取3个球，以X表示取出的球的最大号码，则E(X)＝()A．4B．5C．4.5 D．4.752．已知ξ～B(n，eq\f(1,2))，η～B(n，eq\f(1,3))，且E(ξ)＝15，则E(η)等于()A．5B．10C．15 D．203．同时抛掷5枚均匀的硬币80次，设5枚硬币正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的次数为X，则X的均值是()A．20B．25C．30 D．404．某人进行一项试验，若试验成功，则停止试验，若试验失败，再重新试验一次，若试验3次均失败，则放弃试验．若此人每次试验成功的概率为eq\f(2,3)，则此人试验次数ξ的均值是()A.eq\f(4,3)B.eq\f(13,9)C.eq\f(5,3)D.eq\f(13,7)5．今有两台独立工作在两地的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达台数为X，则E(X)等于()A．0.765B．1.75C．1.765 D．0.226．设ξ的分布列为ξ1234Peq\f(1,6)eq\f(1,6)eq\f(1,3)eq\f(1,3)又设η＝2ξ＋5，则E(η)等于()A.eq\f(7,6)B.eq\f(17,6)C.eq\f(17,3)D.eq\f(32,3)7．设15000件产品中有1000件次品，从中抽取150件进行检查，由于产品数量较大，每次检查的次品率看作不变，则查得次品数的数学期望为________．8．端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．(1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．【提高篇】9．体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为p(p≠0)，发球次数为X，若X的数学期望EX>1.75，则p的取值范围是________．10．某中学选派40名学生参加北京市高中生技术设计创意大赛的培训，他们参加培训的次数统计如下表所示：培训次数123参加人数51520(1)从这40名学生中任选3名，求这3名学生中至少有2名学生参加培训次数恰好相等的概率；(2)从这40名学生中任选2名，用X表示这2人参加培训次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列及数学期望E(X)．评测练习答案【基础篇】1、解析：选C.X的取值为5，4，3，P(X＝5)＝eq\f(Ceq\o\al(2,4),Ceq\o\al(3,5))＝eq\f(3,5)，P(X＝4)＝eq\f(Ceq\o\al(2,3),Ceq\o\al(3,5))＝eq\f(3,10)，P(X＝3)＝eq\f(1,Ceq\o\al(3,5))＝eq\f(1,10)，所以E(X)＝5×eq\f(3,5)＋4×eq\f(3,10)＋3×eq\f(1,10)＝4.5.故选C.2、解析：选B.因为E(ξ)＝eq\f(1,2)n＝15，所以n＝30，所以η～B(30，eq\f(1,3))，所以E(η)＝30×eq\f(1,3)＝10.3、解析：选B.抛掷一次正好出现3枚反面向上，2枚正面向上的概率为eq\f(Ceq\o\al(2,5),25)＝eq\f(5,16).所以X～B(80，eq\f(5,16))，故E(X)＝80×eq\f(5,16)＝25.4、解析：选B.试验次数ξ的可能取值为1，2，3，则P(ξ＝1)＝eq\f(2,3)，P(ξ＝2)＝eq\f(1,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(2,9)，P(ξ＝3)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,3)×(eq\f(2,3)＋eq\f(1,3))＝eq\f(1,9).所以ξ的分布列为ξ123Peq\f(2,3)eq\f(2,9)eq\f(1,9)所以E(ξ)＝1×eq\f(2,3)＋2×eq\f(2,9)＋3×eq\f(1,9)＝eq\f(13,9).5、解析：选B.P(X＝0)＝(1－0.9)×(1－0.85)＝0.1×0.15＝0.015；P(X＝1)＝0.9×(1－0.85)＋0.85×(1－0.9)＝0.22；P(X＝2)＝0.9×0.85＝0.765.所以E(X)＝0×0.015＋1×0.22＋2×0.765＝1.75.6、解析：选D.E(ξ)＝1×eq\f(1,6)＋2×eq\f(1,6)＋3×eq\f(1,3)＋4×eq\f(1,3)＝eq\f(17,6)，E(η)＝E(2ξ＋5)＝2E(ξ)＋5＝2×eq\f(17,6)＋5＝eq\f(32,3).7、解析：次品率为p＝eq\f(1000,15000)＝eq\f(1,15)，由于产品数量特别大，次品数服从二项分布，由公式，得E(X)＝np＝150×eq\f(1,15)＝10.答案：108、解：(1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P(A)＝eq\f(Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,5),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(1,4).(2)X的所有可能值为0，1，2，且P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(3,8),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(7,15)，P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,8),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(7,15)，P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,8),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(1,15).综上知，X的分布列为X012Peq\f(7,15)eq\f(7,15)eq\f(1,15)故E(X)＝0×eq\f(7,15)＋1×eq\f(7,15)＋2×eq\f(1,15)＝eq\f(3,5).【提高篇】9解析：由已知条件可得P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝(1－p)p，P(X＝3)＝(1－p)2p＋(1－p)3＝(1－p)2，则EX＝P(X＝1)＋2P(X＝2)＋3P(X＝3)＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2＝p2－3p＋3>1.75，解得p>eq\f(5,2)或p<eq\f(1,2)，又由p∈(0，1)，可得p∈(0，eq\f(1,2))．答案：(0，eq\f(1,2))10、解：(1)这3名学生中至少有2名学生参加培训次数恰好相等的概率P＝1－eq\f(Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(1,15)Ceq\o\al(1,20),Ceq\o\al(3,40))＝eq\f(419,494).(2)由题意知X＝0，1，2，P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(2,15)＋Ceq\o\al(2,20),Ceq\o\al(2,40))＝eq\f(61,156)，P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(1,15)＋Ceq\o\al(1,15)Ceq\o\al(1,20),Ceq\o\al(2,40))＝eq\f(25,52)，P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(1,20),Ceq\o\al(2,40))＝eq\f(5,39)，则随机变量X的分布列为X012Peq\f(61,156)eq\f(25,52)