广东省河源市龙川县重点中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试卷（含答案）

-2023学年广东省河源市龙川重点中学高二（下）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M＝{x|log2x＝0}，集合N满足M∩N＝{1}，则符合条件的集合N可以是（）A．{x|x2＝0} B．{x|2x＝1} C． D．{x|x2+x＝0}2．（5分）已知复数z＝（a+b）﹣（a﹣b）i为纯虚数（a，b∈R，i是虚数单位），且|z|＝2，则（）A．a＝1且b＝1 B．a＝1且b＝﹣1 C．a＝1或b＝﹣1 D．b＝1或b＝﹣13．（5分）若圆锥的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的母线与底面所成的角的正弦值为（）A． B． C． D．4．（5分）已知不为常数数列的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足，且a2是a1和a5的等比中项，则下列正确的是（）A．a3＝5或0 B．an＝n C． D．是公差为2的等差数列5．（5分）将函数y＝sinx的图象向左平移φ（0≤φ＜2π）个单位后，得到函数y＝sin（x﹣）的图象，则φ等于（）A． B． C． D．6．（5分）点（0，1）到直线y＝kx﹣1距离的最大值为（）A．1 B． C． D．27．（5分）在一般情况下，过江大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为90千米/小时；研究表明，当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．设当车流密度x＝x0时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）＝x•v（x）可以达到最大．则（）A．x0＝100 B．x0＝120 C．f（x0）＝3000 D．f（x0）＝60008．（5分）已知过点的直线与抛物线C：y2＝2x交于P，Q两点，点，则△PQG一定是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．有一个角为60°的三角形 D．面积为定值的三角形二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．（多选）9．（5分）已知a，b∈R且a＞|b|，则下列不等式中一定成立的是（）A． B．a2＞b2 C．lg（a﹣b）＞0 D．a+b＞0（多选）10．（5分）袋中有3个红球，m个白球，n个黄球．现从中任取两个球，记取出的红球数为ξ，若取出的两个球都是红球的概率为，一红一白的概率也为，则（）A．m＝n﹣1 B．m+n＝4 C．E（ξ）＝1 D．（多选）11．（5分）在平面内，点F1（﹣1，0），F2（1，0）为两个定点，动点P满足，则点P到直线x+y﹣2＝0的距离为d的点恰好有两个，则d的值可以是（）A．1 B． C． D．4（多选）12．（5分）如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝2，AA1＝4，M为AA1的中点，直线B1M与平面ABC的交点为P，则以下结论正确的是（）A．PC⊥BC1 B．直线PC∥平面BMC1 C．在线段BC1上不存在一点Q使得A1Q⊥BC1 D．以A1为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）函数y＝tanx+x在坐标原点处的切线的斜率为．14．（5分）若，则sin（α﹣π）＝．15．（5分）的展开式的常数项为．16．（5分）将一个三棱台的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是．四、解答题：本大题共6个大题，第17题10分，18-22题每题12分，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且a2+a5＝7，_____．请在①Sn+1﹣an＝Sn+1；②an+an+2＝2an+1，且a3＝3；③，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下列问题．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若bn＝an﹣5，求数列{|bn|}的前m（m≥6，m∈N*）项和Tm．18．（12分）如图，在体积为2的四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，且AB⊥BC，AD∥BC，PA＝AB＝BC＝2．（1）求AD的长；（2）求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值．19．（12分）在△ABC中，已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2（csinC﹣bsinCcosA）＝csinA．（1）求角B的大小；（2）若，求ac的最大值．20．（12分）某茶楼提供了龙井、大红袍等几类茶叶供顾客选择．根据以往销售统计资料，顾客选择龙井的概率为0.5，选择大红袍但不选择龙井的概率为0.3，设各顾客选择茶叶的种类是相互独立的．（1）求该茶楼的一位顾客至少选择龙井、大红袍两种茶叶中的一种的概率；（2）X表示该茶楼的100位顾客中，龙井、大红袍两种茶叶都不选择的顾客数．求X的数学期望及方差．21．（12分）已知椭圆C：的离心率为，椭圆的左顶点为P，上顶点为Q，O为坐标原点，且△OPQ的面积为．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l与椭圆C交于A，B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值．22．（12分）已知函数f（x）＝ax﹣lnx﹣1．（1）若f（x）≥0恒成立，求a的最小值；（2）证明：+x+lnx﹣1≥0．答案解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【分析】求出集合M和答案选项中的各个集合即可．【解答】解：由log2x＝0解得x＝1，∴M＝{1}，∵{x|x2＝0}＝{0}，{x|2x＝1}＝{0}，{x|＝1}＝{1}，{x|x2+x＝0}＝{0，﹣1}，∴只有C选项的方程才符合题意．故选C．2．【分析】根据已知条件，结合纯虚数的定义，以及复数模公式，即可求解．【解答】解：复数z＝（a+b）﹣（a﹣b）i为纯虚数，则a+b＝0，故z＝2bi，|z|＝2，则b＝1或b＝﹣1．故选：D．3．【分析】根据题意得出圆锥的母线长等于底面圆的直径，圆锥的轴截面是等边三角形，母线与底面所成的角以及角的正弦值．【解答】解：设圆锥的底面圆半径为r，母线长为l，由题意知，2πr＝πl，所以2r＝l，即该圆锥的母线长等于底面圆的直径，所以圆锥的轴截面为等边三角形，所以母线与底面所成的角为60°，正弦值为．故选：B．4．【分析】根据等差数列的性质，可得a3＝5，根据a2是a1和a5的等比中项，可得d，从而判断各选项．【解答】解：∵S5＝＝5a3，，∴，a3＝0或者a3＝5．∵a2是a1和a5的等比中项，∴，∴a3＝0时，d＝0（舍去）A，B错误．a3＝5时，（5﹣d）2＝（5﹣2d）（5+2d），解得d＝2，所以an＝2n﹣1，，C正确．＝n，是公差为1的等差数列，D错误．故选：C．5．【分析】先根据图象变换得到平移后的函数y＝sin（x+φ），然后结合诱导公式可得到sin（x+π）＝sin（x﹣），进而可确定答案．【解答】解：将函数y＝sinx向左平移φ（0≤φ＜2π）个单位得到函数y＝sin（x+φ）．根据诱导公式知当φ＝π时有：y＝sin（x+π）＝sin（x﹣）．故选：D．6．【分析】利用点到直线的距离公式直接求解．【解答】解：点（0，1）到直线y＝kx﹣1距离：d＝＝≤2，∴当k＝0时，点（0，1）到直线y＝kx﹣1距离取最大值为2．故选：D．7．【分析】根据条件建立分段函数关系，利用待定系数法求出k，m的值，利用二次函数的最值性质进行求解即可．【解答】解：，则当x＝200时，v（200）＝0，当x＝20时，v（20）＝90，即，解得，故，当0＜x≤20时，f（x）的最大值为x＝20时，f（20）＝1800；当20≤x≤200时，根据二次函数的对称轴得f（x）的最大值为x0＝100时，f（100）＝5000．故选：A．8．【分析】设P（x1，y1），Q（x2，y2），过点的直线方程为，联立方程组可证，进而易判断A，B，C，可证△PQG的面积不为定值，可判断D．【解答】解：设P（x1，y1），Q（x2，y2），过点的直线方程为，将直线方程与抛物线C：y2＝2x联立得：y2＝2t（y+1）+5，∴y2﹣2ty﹣2t﹣5＝0，∴y1+y2＝2t，y1y2＝﹣2t﹣5．∵点，∴＝（x1﹣，y1﹣1），＝＝（x2﹣，y2﹣1），∴＝＝＝（y1+1）（y2+1）+4＝y1y2+y1+y2+5＝﹣2t﹣5+2t+5＝0，所以，故B正确．当直线无限接近平行于对称轴时，显然|PG|≠|QG|，∴△PQG不一定是等腰三角形，同时∠GPQ无限接近0°，故C不正确；点到直线PQ：的距离为，，＝＝＝不为定值．故D错误，故选：B．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．【分析】利用举实例判断AC，利用不等式的基本性质判断BD．【解答】解：A，当a＝2，b＝﹣1时，满足a＞|b|，但＞1不成立，∴错误，B，∵a＞|b|，∴a2＞b2，∴正确，C，当a＝2，b＝时，满足a＞|b|，但lg（a﹣b）＜0，∴错误，D，由a＞|b|知，a为绝对值比b大的正数，且a是正数，∴a+b＞0，∴正确．故选：BD．10．【分析】根据取出的两个都是红球的概率和取出的两个是一红一白的概率列方程组求出m、n的值，再判断选项中的命题是否正确．【解答】解：取出的两个都是红球的概率为＝，即（m+n+3）（m+n+2）＝5×6，解得m+n＝3，选项B错误；取出的两个是一红一白的概率为＝，化简得15m＝15，解得m＝1，所以n＝2，所以m＝n﹣1，选项A正确；计算P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝，所以E（ξ）＝0×+1×+2×＝1，选项C正确；由P（ξ＝0）＝，判断选项D正确．故选：ACD．11．【分析】由已知结合向量数量积的坐标表示可求出P的轨迹方程，然后结合圆的性质可求．【解答】解：设点P（x，y），由得（x+1）（x﹣1）+y2＝1，整理得x2+y2＝2，因为圆心（0，0）到直线x+y﹣2＝0的距离为d＝＝，由几何意义可知恰好满足有两个点符合的距离为d的范围为．故选：AB．12．【分析】由线面垂直的判定和性质可判断A；由三角形的中位线定理和线面平行的判定定理可判断B；由线面垂直的判定和性质可判断C；求得以A1为球心，为半径的球被侧面BCC1B1截得的小圆为以H为圆心，为半径的圆，其交线为四分之一的圆弧，计算可判断D．【解答】解：延长B1M，延长BA，交于点P，连接PC，因为M，A分别为线段A1A和PB的中点，可得PC⊥BC，又B1B⊥平面ABC，而PC⊂平面ABC，可得B1B⊥PC，又B1B∩BC＝B，可得PC⊥平面B1BCC1，而BC1⊂平面B1BCC1，可得BC1⊥PC，所以A正确；连结B1C，交BC1于点N，易证得MN是△B1PC的中位线，PC∥MN，PC⊄平面BMC1，MN⊂平面BMC1，直线PC∥平面BMC1，所以B正确；取B1C1的中点为H，连结A1H，则A1H⊥平面BCC1B1，欲证A1Q⊥BC1，只需HQ⊥BC1，显然过H作BC1的垂线即可，所以存在这样的点Q，所以C错误；因为A1H⊥平面BCC1B1，所以以A1为球心，为半径的球被侧面BCC1B1截得的小圆为以H为圆心，为半径的圆，其交线为四分之一的圆弧，长度为，所以D正确．故选：ABD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．【分析】求出原函数的导函数，可得x＝0时的导数值，则答案可求．【解答】解：由y＝tanx+x＝，得y′＝，代入x＝0，得原点处的切线斜率为．故答案为：2．14．【分析】由题意利用诱导公式即可求解．【解答】解：因为，所以，所以．故答案为：﹣．15．【分析】根据多项式乘积的性质分别进行讨论求解即可．【解答】解：每个括号内有x4，﹣x，﹣，若的5项式乘积中先选x4，显然不会超过2项．①，显然不可能出现的项；②再考虑＝，展开式中，唯有取会出现常数项，为．而，不可能出现常数项．故答案为：30．16．【分析】利用分步计数原理进行计算即可．【解答】解：设在三棱台ABC﹣DEF中，首先：对A，B，C着色，有5×4×3种；然后：D点可以用B或C点的色，也可以用剩下的两种色．现分类：①用B或C点的色，对称性，不妨设用B点的色，则E点有4种色可以选择，又分为两类：（1）E与C同色，则F有3种色可选择；（2）与C不同色，则F有2种色可选择，共有2×（1×3+3×2，②用剩下的两种色，则E点有3种色可选择，又分为两类：（1）E与C同色，则F有3种色可选择；（2）与C不同色，则F有2种色可选择．共有：2×（1×3+2×2）．所以不同的染色方法的总数是5×4×3×[2×（1×3+3×2）+2×（1×3+2×2）]＝1920．故答案为：1920．四、解答题：本大题共6个大题，第17题10分，18-22题每题12分，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【分析】（1）①由已知可得an+1﹣an＝1，可求数列{an}的通项公式；②an+an+2＝2an+1，得an+2﹣an+1＝an+1﹣an，可求数列{an}的通项公式；③由已知可得，可求数列{an}的通项公式；（2）bn＝n﹣5，分n≤5或n＞5两种情况求数列{|bn|}的前m（m≥6，m∈N*）项和Tm．【解答】解：（1）①Sn+1﹣an＝Sn+1，得Sn+1﹣Sn＝an+1＝an+1，an+1﹣an＝1，所以数列{an}是以1为公差的等差数列，a2+a5＝a1+1+a1+4＝7，解得a1＝1，所以an＝n；②an+an+2＝2an+1，得an+2﹣an+1＝an+1﹣an，依等差数列的定义知数列{an}是等差数列，所以有a3＝a1+2d＝3，a2+a5＝a1+d+a1+4d＝7，解得a1＝d＝1，所以an＝n．③，，两式相减得：2an+1＝（n+2）an+1﹣（n+1）an，化为nan+1＝（n+1）an，，所以an＝na1，由a2+a5＝7，得2a1+5a1＝7，解得a1＝1，所以an＝n．（2）bn＝an﹣5＝n﹣5，当m≤5时，可得Tm＝|b1|+|b2|+|b3|+|b4|+|bn|＝5﹣1+5﹣2+⋯+5﹣m＝5m﹣．所以数列{|bn|}的前m（m≥6，m∈N*）项和为10再加上首项为1，公差为1的等差数列的前m﹣5项和，所以（m≥6）．综上：Tm＝．18．【分析】（1）由三棱锥的体积可求AD的长；（2）以A为坐标原点，AD方向为x轴，AB方向为y轴，AP方向为z轴建立空间直角坐标系．求得平面PAB的一个法向量和平面PCD的一个法向量，利用向量法可求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值．【解答】解：（1）由题意，＝，解得AD＝1．（2）如图，以A为坐标原点，AD方向为x轴，AB方向为y轴，AP方向为z轴建立空间直角坐标系．则C（2，2，0），D（1，0，0），P（0，0，2），，，设平面PCD的一个法向量为，由，得，令x＝2，则y＝﹣1，z＝1，∴平面PCD的一个法向量，∵AD⊥平面PAB，∴取与共线的向量为平面的一个法向量，设平面PAB与平面PCD所成锐二面角为θ，则．19．【分析】（1）由正弦定理得2sinC（sinC﹣sinBcosA）＝sinCsinA，利用三角恒等变换可求B；（2）由正弦定理可求b，进而由余弦定理可得a2+c2＝ac+4，由基本不等式可求ac的最大值．【解答】解：（1）由正弦定理得2sinC（sinC﹣sinBcosA）＝sinCsinA，∴2sinC﹣2sinBcosA＝sinA，由三角形的内角和定理，得2sin（A+B）﹣2sinBcosA＝sinA，所以得2cosBsinA＝sinA，解得，∵B∈（0，π），；（2）若，，由正弦定理得，解得b＝2，由余弦定理得a2+c2﹣2accosB＝b2，∴a2+c2＝ac+4，利用基本不等式可得ac+4≥2ac，所以ac≤4（当且仅当a＝c＝2时，取等号），即ac的最大值为4．20．【分析】（Ⅰ）根据互斥事件的概率和计算即可．（Ⅱ）根据对立事件的概率公式和二项分布，计算数学期望和方差．【解答】解：记A表示事件：该茶楼的一位顾客选择龙井；B表示事件：该茶楼的一位顾客选择大红袍但不选择龙井；C表示事件：该茶楼的一位顾客至少选择龙井、大红袍两种茶叶中的一种；D表示事件：该茶楼的一位顾客龙井、大红袍两种茶叶都不选择．（Ⅰ）P（A）＝0.5，P（B）＝0.3，C＝A+B，P（C）＝P（A+B）＝P（A）+P（B）＝0.8．（Ⅱ）D＝，P（D）＝1﹣P（C）＝1﹣0.8＝0.2，X～B（100，0.2），即X服从二项分布，所以期望为E（X）＝100×0.2＝20