高三数学二轮复习35方案与决策问题

概率统计一方案与决策问题

专题综述

方案与决策问题是通过一个实际的生活背景，提供了一些信息，然后要求学生通过比较、设

计、操作找到解决问题的最佳方案，有时解决问题的方案不止一种，有时需要根据不同情况

采取不同的方案，具有开放、灵活、发散的特点，此类问题多取材于实际生产生活，结合时

代热点，方案与决策问题的引入，改变了过去学生学习对模仿和记忆的依赖，对学生创新能

力的培养、数学应用意识的提升都十分有用.

专题探究

方案与决策问题

与期望相关的决策问题与均值有关的决策问题利用小概率事件幽亍决策利用回归分析进行决策与独立性检验相关的决策

探究1:与期望相关的决策问题

解决此类决策问题，决策标准相对比较明显.根据题干信息求出相关事件的概率，然求出数

学期望，根据期望的大小给出决策结果.

|（2021福建省期中考试）随着科技的发展，网购己经逐渐融入了人们的生活.在家

里面不用出门就可以买到自己想要的东西，在网上付款即可，两三天就会送到自己的家门

口，如果近的话当天买当天就能送到，或者第二天就能送到，所以网购是非常方便的购物

方式.某网购专营店为吸引顾客，特推出两种促销方案.

方案一：每满600元可减100元；方案二：金额超过600元可抽奖三次，每次中奖的概率

都为右且每次抽奖互不影响，中奖1次打9折，中奖2次打8折，中奖3次打7折.

如果你打算购买1000元的产品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析应该选择哪种优

惠方案.

【审题视点】

决策标准为数学期望，根据期望分析即可

【思维引导】

分别计算方案一、方案二的数学期望，然后根据实际情况选择相应的方案

【规范解析】

若选择方案一，则需付款1000-100=900（元）,

若选择方案二，设付款X元，则X可能取值为700,800,900,1000.•--T确定随机变量取值：

32

P(X=700)=髭・佳)WP(X=800)=Cf-g).泻,

23■—；计算相应概率:

P(x=900)=玛G)=|，P(X=100)=Cj-G)'=[

所以E(X)=700x-+800x-+900x-+1000x-=850(元)

8888

比较期望，进行决策

<____________________

因为850<900,所以选择方案二更划算.

【探究总结】

解决此类问题一定要注意根据问题背景进行决策.

］（2021江苏省模拟题）“双十一”活动中，顾客可以享受优惠，也可能会冲

动消费，导致所购物品闲置.（闲置物品全部在某二手平台上以原价的50%售出）.某商户

对标价100元的某种商品采取了3种销售形式促销：普通购物，秒杀购物，直播购物.该小

组收集了相关信息整理得下表：

普通购物秒杀购物直播购物

销售量占比70%10%20%

折扣率5%20%15%

所购物品闲置率20%40%30%

用频率估计概率，从数学期望的角度，判断顾客购买该商品是否划算？

注：折扣率=林尊普益xlOO%；所购物品闲置率=£然?置乌巴100%.

探究2：与均值有关的决策问题

此类决策问题，决策标准相对比较明显.根据题干信息求出均值,根据均值的大小给出决策结

果.

（2021安徽省期末）某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器

有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元在机器使用期间,

如果备件不足再购买，则每个500元现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此

搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图:

频数’

1617182021国摄的易揭零件的

假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件,或每台都购买20个易损零件,

分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台

机器的同时应购买19个还是20个易损零件？

【审题视点】

如何计算平均数

【思维引导】

利用平均数公式，根据平均数大小进行决策.

【规范解析】

；假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，：

II

:所须费用平均数为：：

II

I1I

：—(70x19x200+4300x20+4800x10)=4000：

100；

;计算各个方案平均数

：假设这100台机器在购机的同时每台都购买20个易损零件，

II

:所须费用平均数为：：

II

I1I

；—x(900x4000+10x4500)=4050

:V4000<4050,...购买1台机器的同时应购买19台易损零件j-根据平均数进行决策

【探究总结】

解决此类问题要考虑实际情况，有时是越大越好，有时是越小越好.

致训练2(2021福建省福州市)某种产品按照产品质量标准分为一等品、二等品、三

等品、四等品四个等级，某采购商从采购的该种产品中随机抽取100件，根据产品的等级

分类得到如下数据:

等级一等品二等品三等品四等品

数量40301020

生产商提供该产品的两种销售方案供采购商选择，方案一:产品不分类，售价均为22元/件.

方案二：分类卖出，分类后的产品售价如下，

等级一等品二等品三等品四等品

售价/(元/件)24221816

根据样本估计总体，从采购商的角度考虑，应该选择哪种销售方案？请说明理由.

探究3：利用小概率事件进行决策

此类决策问题标准比较隐蔽，首先、需要审题理解文字符号及其实际意义找出决策依据；

其次、求出相关事件的概率；最后、根据概率的大小作出决策.

3（2020江苏省单元测试）根据历史资料显示,某种慢性疾病患者的自然痊愈率为

5%,为试验一种新药,在有关部门批准后,医院将此药给10位病人服用，试验方案为:若这10

人中至少有2人痊愈，则认为该药有效,提高了治愈率;否则，则认为该药无效.如果新药有

效,将治愈率提高到了50%,求通过试验却认定新药无效的概率p,并根据p的值解释该试验

方案的合理性.

（参考结论：通常认为发生概率小于5%的事件可视为小概率事件）

【审题视点】

标准比较隐蔽，需要仔细审题找出依据

【思维引导】

通常认为小概率事件在一次试验中不会发生，故可借助概率的大小决策

【规范解析】

设通过试验痊愈的人数为丫，则丫〜B（iog）,

记“通过试验却认定新药无效”为事件4,事件月发生等价于丫<2,

P=p（y<2）=P（Y=o）+p（y=1）

—:计算事件发生概率

二亚凯©…型:肌®二羲___I___________________________

国频看二及徐工薪褫者薮的「雪屋愈入及徐手5天有］

认定新药无效，0.01<0.05,此时做出了错误的判断;根据小概率事件在一次试

验不可能发生进行决策

因为这个概率很小，故试验方案合理

【探究总结】

设通过试验痊愈的人数为丫，则y〜求得p=o.oi<o.o5,这个概率很小，故试验

方案是合理.

II（2020天津市月考试卷）为治疗某种疾病,研制了甲、乙两种新药，希望知

道哪种新药更有效，为此进行动物试验.试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行

对比试验.对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出

后，再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止

试验，并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以

甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得—1分；若施以乙药的白鼠

治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得-1分；若都治愈或都未治愈则两种药

均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为a和S，一轮试验中甲药的得分记为X.

（1）求X的分布列；

（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，P4=0,1,…,8）表示“甲药的累计得分为i

时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则匕=0,P8=l,

Pi=a*+bPi+cPi+1（i=0,1,…,7）,其中a=P（X=-1）,b=P（X=0）,c=P（X=1）.

假设a=0.5,6=0.8.

①证明：｛Pi+1-Pf｝（i=0,1,…,7）为等比数列；

（ii）求P4,并根据“的值解释这种试验方案的合理性.

探究4：利用回归分析进行决策

回归分析问题经常用大量文字和数据来说明实际现象，解读生活规律.解题时要注意收集

数据、整理数据、统计推断这样一个基本过程，要注意以下几个方面：第一、把握相关概

念的本质，掌握基本模型；第二、充分发挥案例的作用，提升自己的数据分析水平；第

三、多了解、关注一些新兴技术，可能会在这方面出题；第四、注意与其他知识的结合.

典例4（2020山东省期末考试）探索浩瀚宇宙是全人类的共同梦想，我国广大科技工作

者、航天工作者为推动世界航天事业发展付出了艰辛的努力，为人类和平利用太空、推动

构建人类命运共同体贡献了中国智慧、中国方案、中国力量.某公司试生产一种航空零件,

在生产过程中，当每小时次品数超过90件时，产品的次品率会大幅度增加，为检测公司的

试生产能力，同时尽可能控制不合格品总量，抽取几组一小时生产的产品数据进行次品情

况检查分析，已知在x（单位：百件）件产品中，得到次品数量y（单位：件）的情况汇总

如下表所示，且y（单位：件）与x（单位：百件）线性相关：

X（百件）520354050

y（件）214243540

根据公司规定，在一小时内不允许次品数超过90件，请通过计算分析，按照公司的现有生

产技术设备情况，判断可否安排一小时试生产10000件的任务?

（参考公式：用最小二乘法求线性回归方程夕=bx+a的系数公式

nn

EXiy-nx-yE（勺一丹（无一向

b=in-i__j-i;a=y—S%）

ZXi2-nxo2£（阳4）2

1=1i=l

5

（参考数据：W”2（

=5x2+20x14+35x24+40x35+50x40=4530

i=l

5

2X；2=52+202+352+402+502=5750.）

【审题视点】

决策依据是什么？

【思维引导】

根据公司规定，在一小时内不允许次品数超过90件，可作为决策依据.

【规范解析】

5+235+4502+14+24+35+40=

解：由已知可得：X=。+。+=30-=23；

5,5

又因为£乙蜡=52+202+352+402+502=5750；

2Ml%%=5x2+20x14+35x24+40X35+50x40=4530；

由回归直线的系数公式知：

会Yf-xy-5xy4530-5X30X231080co

b=飞lA空ii_=———-——-——-——-----=------=0.864,

勺一5%（52+202+352+402+502）-5X3021250

—｛求线性回归方程

I

a=y-bx=23-0.864x30=-2.92

所幺父三5-Z±豆三Q2864X_-_2.92^_________________________________________

当x=100（百件）时，y=0.864x100—2.92=83.48<90,符合有关要求一:利用预测值决策

所以按照公司的现有生产技术设备情况，可以安排一小时试生产10000件的任务;

【探究总结】

与回归分析有关的决策问题,通常需要先求出回归直线方程并进行预测，根据预测值进行决

策.

变搦晦4（2020山东省淄博市期末考试）随着人民生活水平的日益提高，某小区拥有私

家车的数量与日俱增，物业公司统计了近六年小区私家车的数量，数据如下:

年份201420152016201720182019

编号工123456

数量y

4196116190218275

（辆）

（1）若该小区私家车的数量y与年份编号x的关系可用线性回归模型来拟合，请求出y关于x

的线性回归方程，并用决定系数R2分析其拟合效果（R2精确到0Q1）；

（2）由于该小区没有配套停车位，车辆无序停放易造成交通拥堵，因此物业公司预在小区

内划定一定数量的停车位，若要求在2022年小区停车位数量仍可满足需要，则至少需要规

划多少个停车位.

6666

参考数据：Z»=936，£%戊=4081,ZE=91,E（X-y）2=37586.

/=]1=11=1/=1

附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:

b=胃----------=上匕-------------，a=y-b五决定系数R2=\~耳----------

X尤：-而2X(%-at(X-a

i=li=li=l

残差0=y-y

探两酒独立性检验相关的决策

解决此类问题，首先、依据样本数据整理2x2联表；其次、根据数据计算％2；最后查临界

值表求概率，根据概率的大小给出相应的决策.

典例5

的监测数据，结果统计如下:

API[0,50)[50,100)[100,150)[150,200)[200,300)>300

空气质量优良轻微污染轻度污染中度污染重度污染

天数41518301815

某企业的经济情况受空气污染影响，当API在[0,100）内时，该企业没有经济损失；当API在

[100,300）内时，该企业每天的经济损失与API之间为一次函数关系,且已知当API为120时，

每天的经济损失为380元,当API为250时,每天的经济损失为900元;当API大于等于300

时,每天的经济损失为2000元.若本次抽取的100天中有30天是在供暖季,且这30天中有9

天为重度污染,完成下面的2x2列联表,试根据小概率值a=0.010的独立性检验，分析该城

市去年的空气重度污染与供暖是否有关.

非重度污染重度污染合计

供暖季

非供暖季

合计100

附:二——照*——

几=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.250.150.100.050.0250.0100.0050.001

41.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

【审题视点】

由问题可知为独立性检验问题

【思维引导】

按照公式计算，并与临界值进行比较

【规范解析】

解:！零假设为%:城市去年的空气重度污染与供暖无关

零假设1

根据题中数据,得到的2x2列联表如下,

非重度污染重度污染合计

供暖季21930

——:歹U联表：

非供暖季646701_____«

合计8515100

1'

根据列联表中的数据，经计算得到*2=1鳖善：：：）x7.563.----：计算42；

o5X15X3UX701_____1

因为7.563>6.635=%o.oio，-i与临界值;比较：

所以根据小概率值a=0.010的独立性检验，

我们推断％不成立，即认为该城市去年的空气重度污染--1推断：

与供暖有关，此推断犯错误的概率不大于0.010

【探究总结】

先完善2x2列联表，再由卡方公式求出观测值，对照临界值表即可判断.

（辽宁省沈阳市联考）数字人民币是由央行发行的法定数字货币，它由指定运营

机构参与运营并向公众兑换,与纸钞和硬币等价.截至2021年6月30日，数字人民币试点场

景已超132万个，覆盖生活缴费、餐饮服务、交通出行、购物消费、政务服务等领域.为了

进一步了解普通大众对数字人民币的感知以及接受情况,某机构进行了一次问卷调查,结果

学历小学及以下初中高中大学专科大学本科硕士研究生及以上

不了解数字人民币35358055646

了解数字人民币406015011014025

（1）如果将高中及高中以下的学历称为“低学历”，大学专科及以上学历称为“高学历”，根

据所给数据,完成2x2列联表.低学历高学历合计

不了解数字人民币

了解数字人民币

合计

(2)若从低学历的被调查者中随机抽取2人进行进一步调查,求被选中的2人中至少有1人

对数字人民币不了解的概率；

(3)根据2x2列联表，判断是否有95%的把握认为“是否了解数字人民币”与“学历高低”

有关？

场.v2_"(adfc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.250.150.100.050.0250.0100.0050.001

%1.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

专题升华

统计与概率作为数学中的一个重要分支，不仅是我们数学学习的重点内容，而且这些知识更

和我们的生活息息相关，人们无时无刻不与各种数据和现象打交道，如通过调查决策产品研

发方向，通过调查决定生产规模和销售模式，通过药物试验评价新药的有效性与安全性，通

过民意调查帮助政府部门觉醒、医改方案等.

【答案详解】

变式训练1

【解析】记顾客购买一件该商品花费金额为X元,

则普通购物中，X=95+0.2(95-50)=104元；

秒杀购购物中，X=80+0.4(80-50)=92元；

直播购物中，X=85+0.3(85-50)=95.5元；

所以概率分布列为：

X1049295.5

P0.70.10.2

所以E(X)=104X0.7+92x0.1+95.5x0.2=101.1>100,

所以顾客购买该商品不划算.

变式训练2

［解析】方案2的平均单价为24x券+22X券+18X益+16'券=21.2,

因为21.2<22,从采购商角度考虑，应该选择方案2.

变式训练3

【解析】(1)X的所有可能取值为一1,0,1,

p(X=-1)=(1-a)0,P(X=O)=a0+(l-a)(l-0),P(X=1)=a(l-0),

・••X的分布列为：

X-101

P(1-a*a/7+(l-a)(l-£)

(2)(i)证明：•；a=0.5,0=0.8,.,.由(1)得，a=0.4,b=0.5,c=0.1,

因此Pi=0.4p；_1+0.5pt+0.1pi+1(i=1,2,

故0.1(Pt+i—Pi)=0.4(pi-pi),即0+1一%=4(pi-pi),

又•••PI-Po=PI#O[(pi+1-Pi)(i=0,1,2，…,7)为公比为4,首项为pi的等比数列；

(回解:由①可得，

48—1

P8=(P8-P7)+(P7一P6)+