上海市闵行区2023届高三下学期学业质量调研数学试卷

2022学年第二学期高三年级学业质量调研数学试卷考生注意：1．本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页．2．作答前，考生在答题纸正面填写学校、姓名、考生号，粘贴考生本人条形码．3．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位．在草稿纸、试卷上作答一律不得分．4．用2B铅笔作答选择题，用黑色笔迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题．一、填空题考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．设全集，集合，则__________．2．若实数、满足、，则__________．3．已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为_________．4．已知圆柱的底面积为，侧面积为，则该圆柱的体积为_________．5．已知常数，的二项展开式中项的系数是，则的值为__________．6．已知事件A与事件B互斥，如果，，那么__________．7．今年春季流感爆发期间，某医院准备将名医生和名护士分配到两所学校，给学校老师和学生接种流感疫苗.若每所学校分配名医生和名护士，则不同的分配方法数为__________．8．__________．9．若关于的方程在实数范围内有解，则实数的取值范围是____．10．已知在等比数列中，、分别是函数的两个驻点，则__________．11．已知抛物线,圆，点的坐标为，、分别为、上的动点，且满足，则点的横坐标的取值范围是__________．12．平面上有一组互不相等的单位向量，若存在单位向量满足，则称是向量组的平衡向量.已知，向量是向量组的平衡向量，当取得最大值时，的值为__________．二、选择题（本大题共有4题，满分18分，）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的为（）（A）（B）（C）（D）14．在某区高三年级举行的一次质量检测中，某学科共有人参加考试．为了解本次考试学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（成绩均为正整数，满分为分）作为样本进行统计，样本容量为．按照，，，，的分组作出频率分布直方图（如图所示）.已知成绩落在内的人数为，则下列结论正确的是（）（A）样本容量（B）图中（C）估计全体学生该学科成绩的平均分为分（D）若将该学科成绩由高到低排序，前的学生该学科成绩为A等，则成绩为分的学生该学科成绩肯定不是A等15．已知，若存在正整数，使函数在区间内有2023个零点，则实数所有可能的值为（）（A）（B）（C）（D）或16．若数列、均为严格增数列，且对任意正整数，都存在正整数，使得，则称数列为数列的“M数列”．已知数列的前项和为，则下列选项中为假命题的是（）（A）存在等差数列，使得是的“M数列”（B）存在等比数列，使得是的“M数列”（C）存在等差数列，使得是的“M数列”（D）存在等比数列，使得是的“M数列”三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）在中，角、、所对的边分别为,已知，，．（1）求的值；（2）求的面积．18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，，点在线段上，且.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值.19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）在临床检测试验中，某地用某种抗原来诊断试验者是否患有某种疾病.设事件表示试验者的检测结果为阳性，事件表示试验者患有此疾病.据临床统计显示，，．已知该地人群中患有此种疾病的概率为.（下列两小题计算结果中的概率值精确到）（1）对该地某人进行抗原检测，求事件与同时发生的概率；（2）对该地个患有此疾病的患者进行抗原检测，用随机变量表示检测结果为阳性的人数，求的分布和期望．20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知为坐标原点，曲线和曲线有公共点，直线与曲线的左支相交于、两点，线段的中点为．（1）若曲线和有且仅有两个公共点，求曲线的离心率和渐近线方程；（2）若直线经过曲线上的点，且为正整数，求的值；（3）若直线与曲线相交于、两点，且直线经过线段中点，求证：．21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）如果曲线存在相互垂直的两条切线，称函数是“正交函数”．已知，设曲线在点处的切线为．（1）当时，求实数的值；（2）当，时，是否存在直线满足，且与曲线相切？请说明理由；（3）当时，如果函数是“正交函数”，求满足要求的实数的集合；若对任意，曲线都不存在与垂直的切线，求的取值范围．参考答案一.填空题1．；2．.；3．；4．；5．；6．；7．；8．；9．；10．；11．；12．.二.选择题13．D；14．C；15．B；16．C．三. 解答题17．[解]（1）在中，由已知得，………2分由正弦定理得，………4分而，，所以；……6分（2）在中，由余弦定理得，………8分即，而，解得，………10分因为，则，………12分，所以的面积为.……………14分18．[解]（1）设与相交于点，因为平面，平面，所以，………2分由，，得，因此，，可得，………………4分因为，所以，即，又因为，，所以平面；………6分（2）如图，建立空间直角坐标系，则，，，所以，，……………8分设平面的一个法向量，则即令，则，，于是，……10分平面的一个法向量为，则，…………12分由图形可知二面角为锐角，所以二面角的余弦值是. ……14分[解](1)由题意可得，；……6分(2)设，则，，，………8分，．………10分的分布为，…12分．…………14分20．[解]（1）由条件知，曲线的半焦距，所以曲线的离心率，…………2分渐近线方程为；……4分（2）联立方程组，得，所以，，故直线的方程为，依题意直线经过点，代入得，…………6分因为直线与曲线的左支相交于两点，故，得………………8分又曲线和有公共点，所以，且为正整数，根据，得，所以；………10分【供参考：因为直线与曲线的左支相交于、两点，所以，又，为正整数，所以】（3）由（2）可得，……………12分同理，联立直线与曲线，可得，……………14分因为，所以，…………………16分又因为，所以，即．……………18分21．[解]（1）由题设，函数定义域为，且，………………2分由，则；……………4分（2）当时，，则，………6分即的斜率，假设存在，则的斜率，则有解，即在上有解，………8分该方程化简为，解得或，符合要求，因此该函数存在另外一条与垂直的切线；……10分（3），当时，严格减；当时，严格增；………………10分【供参考：令，则，当时，严格减；当时，严格增.】设曲线的另一条切线的斜率为.1°当时，，显然不存在，即不存在两条相互垂直的切线；……12分2°当时，，且，趋近于0或趋向于正无穷大时，都趋向于正无穷大，所以在上各有一个零点，故当或时，都有，当时，故必存在，即曲线存在相互垂直的两条切线，所以.…14分因为，由2°知，曲线存在相