2020高考数学全国卷1卷试题及答案详解

2020高考数学全国卷1卷试题及答案详解

2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试卷，共23题（含选考题），满分150分，考试时间120分钟。考生答题前需在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。选择题需用2B铅笔在答题卡上涂黑对应题目的答案标号，非选择题需用黑色签字笔直接在答题卡上对应的答题区域内作答。选考题需先在答题卡上涂黑所选题目的题号，再将答案写在答题卡上对应的答题区域内。考试结束后，将试卷和答题卡一并上交。一、选择题共12小题，每小题5分，共60分。1.若z=1+i，则z2-2z=？A.B.1C.2D.22.设集合A={x|x2-4≤0}，B={x|x+2≤1}，且A∩B=∅，则a=？A.-4B.-2C.2D.43.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥。以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为？A.B.C.D.4.已知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=？A.2B.3C.6D.95.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：℃）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(x_i,y_i)(i=1,2,...,20)得到散点图。在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是？A.y=a+bxB.y=a+bx2C.y=a+bexD.y=a+blnx6.函数f(x)=x4-2x3的图像在点(1,f(1))处的切线方程为？A.y=-2x-1B.y=-2x+1C.y=2x-3D.y=2x+17.设函数f(x)=cos(πx)，则f(x)在[0,1]上的最小值为？A.-1B.-0.5C.0D.0.58.已知函数f(x)在[0,1]上连续，f(0)=f(1)=0，且f(x)在(0,1)内有两个不同的极大值点和两个不同的极小值点，则f(x)的图像与x轴的交点个数为？A.2B.3C.4D.59.如图，正方体ABCD-EFGH的棱长为1，点P为棱EF的中点，点Q在棱AD上，且AP=2PQ，则△DPQ的面积为？（图略）A.B.C.D.10.已知函数f(x)=sinx，g(x)=cosx，h(x)=f(x)g(x)，则h(x)在[0,π]上的最大值为？A.1/2B.1/√2C.√2/2D.111.已知函数f(x)=x3-3x2+2x+1，g(x)为f(x)的反函数，则g'(1)为？A.-1/6B.0C.1/6D.1/212.在平面直角坐标系中，已知点A(2,0)，B(0,2)，C(-2,0)，D(0,-2)，以及点P(x,y)，且AP=BP=CP=DP=2，则x2+y2=？A.4B.8C.12D.161.将文章中的符号格式化，删除明显有问题的段落。2.改写每段话，使其更加清晰易懂。1.题目部分A.问题：给出一个函数f(x)，其图像如下，求f(x)的最小正周期。B.解答：根据图像，可以看出函数的一个周期为2π/3，因此最小正周期为2π/3。2.题目部分A.问题：求多项式(x+y)⁵的展开式中x³y³的系数。B.解答：根据二项式定理，展开式中x³y³的系数为10。3.题目部分A.问题：已知3cos²α-8cosα=5，求sinα的值。B.解答：将3cos²α-8cosα=5化简为3cos²α-8cosα-5=0，解得cosα=1/3或cosα=-5/3。由于α∈(0,π)，因此cosα=1/3，sinα=√8/3。4.题目部分A.问题：已知球O的表面上有三个点A、B、C，且O₁为△ABC的外接圆心，若O₁的面积为4π，AB=BC=AC=OO₁，求球O的表面积。B.解答：根据题意，可以得到△ABC为正三角形，且OO₁=AB=AC=BC，因此球O的半径为AB/2，表面积为4πAB²=48π。5.题目部分A.问题：已知M:x²+y²-2x-2y-2=0，直线l:2x+y+2=0，P为l上的动点，过点P作M的切线PA，PB，切点为A，B，求PM·AB的最小值，并给出直线AB的方程。B.解答：将M表示为(x-1)²+(y-1)²-4=0，可以得到M的圆心为(1,1)，半径为2。由于PA和PB是M的切线，因此PA和PB的斜率分别为x-1和y-1。根据斜率公式，可以得到直线PA和PB的方程为y-1=(x-1)·(x-2)和y-1=(x-1)·(x+2)。由于AB垂直于PA和PB，因此AB的斜率为-1/[(x-1)·(x+2)]，代入PM·AB的表达式中，求导得到x=5/3，此时PM·AB的最小值为2√10，直线AB的方程为2x-y-1=0。6.填空题A.问题：已知约束条件2x+y-2≤0，x-y-1≥0，y+1≥0，求z=x+7y的最大值。B.解答：将2x+y-2≤0和x-y-1≥0化简为y≤-2x+2和y≥x+1，将它们与y+1≥0联立，可以得到区域S为{(x,y)|-1≤x≤1/2，-2x+2≤y≤-x-1}。因此z的最大值为3/2。7.填空题A.问题：已知a+b=1，求a-b的值。B.解答：根据(a+b)²=a²+2ab+b²=1，可以得到a²+b²+2ab=1。将a+b=1代入，化简得到ab=1/4。因此(a-b)²=a²-2ab+b²=3/4，a-b的值为±√3/2。的前n项和，则Sna12a23a3nana122a1322a1n22n1a1a12a112nn2n1a132nn2n1a132nn2n1232nn2n232n12nn22n32n1因为12n0，当n趋近于无穷大时，2n趋近于0，所以limnSn2.故limnnanlimnSn2.故命题成立．18.解：（1）如图，连接AD、AE，由题意得PA平面PBC，所以∠PAB=90°，∠PAC=90°，∠BAD=90°，∠CAE=90°，所以四边形ABCD和四边形ACEF都是矩形，因此AB=CD=2，AC=BD=3，AE=BF=4，PC=2，PE=4，故cos∠BPC=cos∠BPE=cos∠APE=cos45°=.（2）如图，连接BE，由余弦定理得cos∠BPC=cos∠BPE+cos∠EPC2cos∠BPEcos∠EPC=22424444442444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444解题过程中出现了一些格式错误和明显有问题的段落，已经删除。下面是修改后的文章：1.对于数列$\{a_n\}$，已知$a_n=(-2)^n$，求前$n$项和$S_n$。解：根据题设和公式，有$a_n=(-2)^n$，因此：$$S_n=1+2(-2)+3(-2)^2+\cdots+n(-2)^{n-1}$$同时，根据公式，有：$$n-2S_n=-2+2(-2)+\cdots+(n-1)(-2)$$将上述两式相加，得到：$$3S_n=1+(-2)+(-2)+(-2)^2+\cdots+(-2)^n-n(-2)^n$$化简后得到：$$S_n=-\frac{2^{n+1}}{3}+\frac{1}{3n+1}$$2.在三角形$ABC$中，$D$是边$BC$上的点，且$AD$与$BC$垂直。若$AB=AC=\sqrt{10}$，$BC=6$，求$AD$。解：首先根据题设和勾股定理，得到$BD^2=BC^2-CD^2=36-10=26$，因此$BD=\sqrt{26}$。又因为$\triangleABD$为等腰直角三角形，所以$AD=BD=\sqrt{26}$。3.已知空间直角坐标系中，平面$P$过点$A(1,-1,2)$，且垂直于向量$\vec{n}=(2,1,-1)$。求平面$P$的解析式。解：由题设可知，平面$P$的法向量为$\vec{n}=(2,1,-1)$，因此平面$P$的解析式可以表示为：$$2x+y-z+d=0$$其中$d$为平面$P$与原点的距离。由点$A$在平面$P$上，可得：$$2\times1+(-1)-2+d=0$$解得$d=1$，因此平面$P$的解析式为：$$2x+y-z+1=0$$4.在一场比赛中，甲乙丙三人依次参加，每个人的胜率分别为$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{3}{4}$。比赛采用循环赛制，即每个人都要与另外两个人比赛一次，胜者得$2$分，平局得$1$分，负者得$0$分。若比赛共进行$5$场，求以下概率：（1）甲连胜四场的概率；（2）比赛至少需要进行四场的概率；（3）丙最终获胜的概率。解：（1）甲连胜四场的概率为$\frac{1}{2^4}=\frac{1}{16}$。（2）比赛至少需要进行四场的概率为$1-\frac{1}{2^3}=\frac{7}{8}$。（3）比赛四场结束后，共有三种情况：甲连胜四场、乙连胜四场、胜负各两场。其中甲连胜四场和乙连胜四场的概率分别为$\frac{1}{16}$和$\frac{4}{81}$。对于胜负各两场的情况，需要进行第五场比赛，此时丙最终获胜的概率为$\frac{3}{4}\times\frac{2}{3}\times\frac{1}{4}+\frac{3}{4}\times\frac{1}{3}\times\frac{3}{4}+\frac{1}{4}\times\frac{2}{3}\times\frac{3}{4}=\frac{19}{48}$。因此，比赛四场结束且丙最终获胜的概率为$\frac{1}{16}+\frac{4}{81}+\frac{19}{48}\approx0.56$。如果比赛需要进行第五场，那么从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况：胜胜负胜、胜负空胜、负空胜胜，概率分别为$\frac{3}{8}$、$\frac{1}{8}$、$\frac{1}{8}$。因此，比赛五场结束且丙最终获胜的概率为$\frac{3}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=\frac{1}{2}$。综上所述，丙最终获胜的概率为$\frac{1}{16}+\frac{4}{81}+\frac{19}{48}\times\frac{1}{2}=\frac{83}{288}\approx0.29$。5.已知三角形$ABC$中，$AB=4$，$AC=3$，$BC=5$，$D$是边$BC$上的点，且$\angleBAD=\angleCAD$。求$\angleBAC$的大小。解：首先根据余弦定理，得到$BC^2=AB^2+AC^2-2AB\cdotAC\cos\angleBAC$，因此$\cos\angleBAC=-\frac{7}{40}$。又因为$\angleBAD=\angleCAD$，所以$\angleBAC=\angleBAD+\angleCAD=2\angleBAD$。因此，$\cos\angleBAD=\sqrt{\frac{1-\cos\angleBAC}{2}}=\frac{\sqrt{10}}{40}$。根据余弦定理，得到$BD^2=BC^2-CD^2=16$，因此$BD=4$。又因为$\triangleABD$为等腰三角形，所以$AD=BD=4$。根据余弦定理，得到$\cos\angleBAD=\frac{3}{8}$，因此$\sin\angleBAD=\sqrt{1-\cos^2\angleBAD}=\frac{\sqrt{55}}{8}$。最终，根据正弦函数的定义，得到$\sin\angleBAC=2\sin\angleBAD=\frac{\sqrt{55}}{4}$，因此$\angleBAC=\arcsin\frac{\sqrt{55}}{4}\approx74.5^\circ$。由$AG\cdotGB=8$得$a-1=8$，即$a=9$。设$C(x_1,y_1)$，$D(x_2,y_2)$，$P(6,t)$。若$t\neq\pm3$，设直线$CD$的方程为$x=my+n$，由题意可知$-3<n<3$。因为$PA$垂直于$CD$，所以$PA$的斜率为$-\frac{1}{m}$。又因为$PA$通过点$P$，所以$PA$的方程为$y-\frac{t}{6}=-\frac{1}{m}(x-6)$。同理，$PB$的方程为$y=x-3$。将$C$，$D$带入$PA$，$PB$的方程中，得到$y_1=(x_1+3)$，$y_2=(x_2-3)$。由于$E$在单位圆上，所以$x_1^2+y_1^2=1$，$x_2^2+y_2^2=1$。将$y_1$，$y_2$代入$PA$的方程中，得到$27y_1y_2=-(x_1+3)(x_2+3)$。将$y_1y_2$的值代入$PB$的方程中，得到$2x_2(x_2+3)(x_2-3)+y_2^2=1$。将$y_2$的值代入$27y_1y_2=-(x_1+3)(x_2+3)$中，整理得到$(m+9)(n^2-9)-2mn(n+3)+(m^2+9)=0$。解得$n=-3$（舍去）或$n=\frac{3}{2}$。若$t=\pm3$，则直线$CD$的方程为$y=\pm\frac{1}{m}(x-6)$，过点$\left(\frac{3}{2},0\right)$。综上，直线$CD$过定点$\left(\frac{3}{2},0\right)$。（1）当$a=1$时，$f(x)=e^x-x$，$f'(x)=e^x-1$。因为$f'(x)>0$，所以$f(x)$在$(-\infty,0)$单调递减，在$(0,+\infty)$单调递增。（2）$f(x)\geq\frac{1}{3}(1-x^2)\frac{x+1}{x}$等价于$\frac{x^3-ax^2+x+1}{2x}\geq\frac{1}{3}$。设函数$g(x)=\frac{x^3-ax^2+x+1}{2x}$，则$x^2g'(x)=\frac{-(a-2)x^3+(3-a)x^2+2}{2x^2}$。当$a\leq2$时，$x^2g'(x)<0$，所以$g(x)$在$(0,+\infty)$单调递减，$g(x)\geqg(0)=\frac{1}{2}$。当$a>2$时，$x^2g'(x)>0$，所以$g(x)$在$(0,+\infty)$单调递增，$g(x)\geqg(2)=\frac{8-4a}{4}$。因此，当$a\leq2$时，原不等式成立；当$a>2$时，原不等式成立当且仅当$\frac{8-4a}{4}\geq\frac{1}{3}$，即$a\leq\frac{5}{2}$。1.当$x\in(0,2)$时，$g(x)>1$，不符合题意。当$x\in(2