2018届高考必备：高中数学公式大全

2018届高考必备：高中数学公式大全

必修1数学知识点第一章、集合与函数概念§1.1.1、集合集合是由一些元素组成的总体，元素是研究的对象。集合的三个要素是确定性、互异性和无序性。如果两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等。常见的集合有正整数集合：{1,2,3,…}，整数集合：{…,-2,-1,0,1,2,…}，有理数集合：{p/q|p,q∈Z,q≠0}，实数集合：R。集合可以用列举法或描述法表示。§1.1.2、集合间的基本关系如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，则称集合A是集合B的子集。如果集合A是集合B的子集，但存在元素x∈B，且x∉A，则称集合A是集合B的真子集。规定空集合是任何集合的子集。集合A的子集有2^n个，其中n是集合A中元素的个数。§1.1.3、集合间的基本运算由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合称为集合A与B的并集，记作A∪B。由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合称为A与B的交集，记作A∩B。全集是包含所有元素的集合，补集是与某个集合的交集为空集的集合。§1.2.1、函数的概念如果按照某种确定的对应关系，集合A中的任意一个数都有唯一确定的数和它对应，那么就称这个对应关系为集合A到集合B的一个函数。一个函数的构成要素为定义域、对应关系和值域。如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等。§1.2.2、函数的表示法函数可以用解析法、图象法或列表法表示。§1.3.1、单调性与最大（小）值证明函数单调性的一般格式是设f(x1)<f(x2)，然后推出x1<x2。如果对于函数f(x)，有f(-x)=f(x)，则称函数为偶函数；如果对于函数f(x)，有f(-x)=-f(x)，则称函数为奇函数。第二章、基本初等函数（Ⅰ）§2.1.1、指数与指数幂的运算指数是幂的次数，指数幂是底数的指数次幂。当指数为奇数时，指数幂的值与底数的符号相同；当指数为偶数时，指数幂的值为非负数。运算性质包括乘方法则、幂的乘法法则和幂的除法法则。§2.1.2、指数函数及其性质指数函数的图象是上升的曲线。指数函数的性质包括：当x→-∞时，f(x)→0；当x→+∞时，f(x)→∞。§2.2.1、对数与对数运算对数是幂的指数，对数运算是指数运算的逆运算。对数的性质包括：对数的底数为正数且不等于1；对数的值域是实数集；换底公式等于两个底数的对数的商等于以其中一个底数为底的对数与以另一个底数为底的对数的商。2.2.2对数函数及其性质记住对数函数的图像。2.3幂函数掌握几种幂函数的图像。第三章函数的应用3.1.1方程的根与函数的零点对于函数f(x)，如果它在某个区间内有实根，则它的图像在这个区间内是连续不断的一条曲线，并且有与x轴有交点，这个交点就是函数f(x)的零点。如果函数f(x)在某个区间内有零点，即存在x使得f(x)=0，则x就是函数f(x)的根。3.1.2用二分法求方程的近似解掌握二分法的应用。3.2.1几类不同增长的函数模型了解不同增长率的函数模型。3.2.2函数模型的应用举例解决问题的常规方法：先画出散点图，再用适当的函数进行拟合，最后进行检验。必修2数学知识点1.空间几何体的结构常见的多面体有棱柱、棱锥、棱台，常见的旋转体有圆柱、圆锥、圆台、球。棱柱是有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。棱台是用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。2.空间几何体的三视图和直观图中心投影是把光由一点向外散射形成的投影，它的投影线交于一点。平行投影是在一束平行光线照射下的投影，它的投影线是平行的。3.空间几何体的表面积与体积圆柱的侧面积为2πrh，圆锥的侧面积为πrl，圆台的侧面积为π(r1+r2)l，体积公式为V=Ah，球的表面积为4πr²，体积为(4/3)πr³。第二章点、直线、平面之间的位置关系1.公理1：如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。2.公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。3.公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。4.公理4：平行于同一条直线的两条直线平行。5.定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。6.线线位置关系：平行、相交、异面。7.线面位置关系：直线在平面内、直线和平面平行、直线和平面相交。8.面面位置关系：平行、相交。9.线面平行：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。10.面面平行：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。11、线面垂直：垂直的定义是当一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线时，这条直线和这个平面垂直。当一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直时，则该直线与此平面垂直。垂直于同一个平面的两条直线平行。12、面面垂直：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，则这两个平面互相垂直。当一个平面经过另一个平面的一条垂线时，这两个平面垂直。两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。第三章：直线与方程1、倾斜角与斜率：倾斜角和斜率是直线的两个重要特征。倾斜角是直线与水平方向的夹角，斜率是直线的倾斜程度。2、直线方程：直线方程有四种形式：点斜式、斜截式、两点式和一般式。点斜式用于已知直线上一点和斜率的情况，斜截式用于已知直线截距和斜率的情况，两点式用于已知直线上两点的情况，一般式则是将直线方程化为标准形式。3、直线的位置关系：直线有四种位置关系：相交、平行、重合和异面直线。相交的直线有交点，平行的直线没有交点且方向相同，重合的直线完全重合，异面直线则不在同一个平面内。4、直线的方程解析：直线的方程解析包括求直线的斜率、截距、倾斜角等。斜率可以通过两点坐标计算得出，截距可以通过截距式或点斜式计算得出，倾斜角可以通过斜率计算得出。5、两点间距离公式：两点间距离公式是求两点之间距离的公式，可以通过勾股定理得出。6、点到直线距离公式：点到直线距离公式是求点到直线距离的公式，可以通过点到直线的垂线长度计算得出。第四章：圆与方程1、圆的方程：圆的方程有两种形式：标准方程和一般方程。标准方程是以圆心和半径表示，一般方程则是将圆的方程化为标准形式。2、两圆位置关系：两圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切和内含。外离的圆完全不相交，外切的圆有一个公切线，相交的圆有两个交点，内切的圆有一个公切点，内含的圆完全包含在另一个圆内。3、空间中两点间距离公式：空间中两点间距离公式是求空间中两点之间距离的公式，可以通过勾股定理得出。必修3数学知识点第一章：算法1、算法的三种语言是自然语言、流程图和程序语言。2、算法的三种基本结构是顺序结构、选择结构和循环结构。3、流程图中的图框有起止框、输入输出框、处理框、判断框和流程线等规范表示方法。4、循环结构中常见的两种结构是当型循环结构和直到型循环结构。5、基本算法语句包括赋值语句、输入输出语句、条件语句和循环语句。6、辗转相除法是一种基于同余思想的算法。第二章：统计1、抽样方法有三种：简单随机抽样、系统抽样和分层抽样。2、总体分布的估计可以通过一表二图和茎叶图来表示。3、茎叶图适用于数据较少的情况，可以清晰地展示数据的分布和中位数、众位数等。90°的三角函数值及其推导过程。§1.2.2、三角函数的基本性质1、周期性：2、奇偶性：3、单调性：4、界值：§1.2.3、三角函数的图像与性质1、正弦函数、余弦函数、正切函数的图像及其性质。2、三角函数的图像平移、伸缩和反转的规律及其公式。§1.3、三角函数的应用1、解三角形：①已知两边及其夹角，求第三边；②已知两角及其夹边，求第三角；③已知一角和一边，求其余各边和角；2、解直角三角形：①已知两边，求斜边和角；②已知一边和一角，求其余各边和角；3、利用三角函数解实际问题：①角度的测量；②三角形的面积；③建立三角函数模型，解决实际问题。第二章、解析几何§2.1、平面直角坐标系1、平面直角坐标系的定义及其基本要素。2、向量的概念及其性质。§2.2、直线1、点斜式、斜截式、截距式、两点式的定义及其相互转化的公式。2、直线的性质：斜率、倾斜角、平行、垂直、距离公式。§2.3、圆1、圆的标准方程、一般方程及其推导过程。2、圆的性质：圆心、半径、直径、弦、弧、切线、切点、圆内接四边形、圆外接四边形等。§2.4、二次函数1、二次函数的定义及其一般式、标准式、顶点式、描点式的相互转化公式。2、二次函数的性质：对称轴、顶点、开口方向、零点、值域、单调性、最值、图像及其平移、伸缩和翻折的规律。§2.5、解析几何的应用1、直线与圆的位置关系及其求法。2、二次函数的应用：建立模型，解决实际问题。§1.2.2同角三角函数的基本关系式同角三角函数之间存在平方关系和商数关系。其中平方关系表示为：$$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$$$$\tan^2\theta+1=\sec^2\theta$$$$\cot^2\theta+1=\csc^2\theta$$商数关系表示为：$$\frac{\sin\theta}{\cos\theta}=\tan\theta$$$$\frac{\cos\theta}{\sin\theta}=\cot\theta$$§1.3三角函数的诱导公式三角函数的诱导公式包括六个，其中第二到第六个公式都是由第一个公式推导得出的。第二个诱导公式：$$\sin(\pi-\theta)=\sin\theta$$$$\cos(\pi-\theta)=-\cos\theta$$$$\tan(\pi-\theta)=-\tan\theta$$第三个诱导公式：$$\sin(\pi+\theta)=-\sin\theta$$$$\cos(\pi+\theta)=-\cos\theta$$$$\tan(\pi+\theta)=\tan\theta$$第四个诱导公式：$$\sin(2\pi-\theta)=-\sin\theta$$$$\cos(2\pi-\theta)=\cos\theta$$$$\tan(2\pi-\theta)=-\tan\theta$$第五个诱导公式：$$\sin(-\theta)=-\sin\theta$$$$\cos(-\theta)=\cos\theta$$$$\tan(-\theta)=-\tan\theta$$第六个诱导公式：$$\sin(\theta+2k\pi)=\sin\theta$$$$\cos(\theta+2k\pi)=\cos\theta$$$$\tan(\theta+2k\pi)=\tan\theta$$§1.4.1正弦、余弦函数的图象正弦函数和余弦函数的图象具有一定的规律性，需要记住它们的图象。同时，根据图象可以讲出正弦、余弦函数的相关性质，包括定义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、奇偶性、单调性、周期性等。此外，还需要掌握五点法作图。§1.4.2正弦、余弦函数的性质正弦函数和余弦函数都是周期函数，它们的周期分别为$2\pi$。周期函数的定义为：如果存在一个非零常数$T$，使得当取定义域内的每一个值时，都有$f(x+T)=f(x)$，那么函数就叫做周期函数，非零常数$T$叫做这个函数的周期。§1.4.3正切函数的图象与性质正切函数的图象也具有一定的规律性，需要记住它的图象。同时，根据图象可以讲出正切函数的相关性质，包括定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性等。§1.5函数函数的图象是非常重要的，需要能够讲出函数的图象。同时，还需要掌握函数的平移、伸缩变换关系，其中包括振幅$A$、周期$T$、初相、相位、频率等概念。§1.6三角函数模型的简单应用需要熟悉课本中的例题，掌握三角函数模型的简单应用。第二章平面向量§2.1.1向量的物理背景与概念向量分为四种常见类型：力、位移、速度、加速度。向量是既有大小又有方向的量。§2.1.2向量的几何表示带有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度。向量的大小，也就是向量的长度（或称模），记作$|\vec{a}|$；长度为零的向量叫做零向量；长度等于1个单位的向量叫做单位向量。方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共线向量），规定：零向量与任意向量平行。§2.1.3相等向量与共线向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。§2.2.1向量加法运算及其几何意义向量加法有三角形法则和平行四边形法则两种表示方法。$\vec{a}+\vec{b}=\vec{c}$表示$\vec{c}$为以$\vec{a}$、$\vec{b}$为邻边的平行四边形对角线。§2.2.2向量减法运算及其几何意义与长度相等方向相反的向量叫做相反向量，表示为$-\vec{a}$。$\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b})$，也就是$\vec{a}$与$-\vec{b}$的向量加法。§2.2.3向量数乘运算及其几何意义向量数乘表示为$k\vec{a}$，其中$k$为实数。规定：当$k>0$时，$k\vec{a}$的方向与$\vec{a}$的方向相同；当$k<0$时，$k\vec{a}$的方向与$\vec{a}$的方向相反。§2.3.1平面向量基本定理平面向量基本定理：如果$\vec{a}$、$\vec{b}$不共线，则$\vec{c}$可以唯一地表示为$\vec{c}=k_1\vec{a}+k_2\vec{b}$的形式，其中$k_1$、$k_2$是唯一确定的实数。必修2：一、二次函数1、标准式：2、顶点式：3、描点法：二、三角函数1、正弦函数：2、余弦函数：3、正切函数：4、反三角函数：必修3：一、导数1、定义：2、求导法则：3、高阶导数：二、不定积分1、定义：2、基本积分公式：3、换元积分法：三、定积分1、定义：2、基本定积分公式：3、换元积分法：必修4：一、向量1、向量的模长：2、向量的加减法：3、数量积：二、平面几何1、正弦定理：2、余弦定理：3、三角形面积公式：必修5：一、等差数列通项公式：二、等差数列求和公式：三、等比数列通项公式：四、等比数列求和公式：五、一次函数1、标准式：2、斜截式：3、点斜式：六、指数函数1、定义：2、性质：七、对数函数1、定义：2、性质：八、三角恒等变换1、两角和差公式：2、二倍角公式：3、半角公式：补集指的是在全集U中，所有不属于集合A的元素所组成的集合，记为A的补集。5.集合的个数：真子集有2^n-1个，非空子集有2^n-1个。6.常用数集：自然数集N，正整数集，整数集Z，有理数集Q，实数集R。二、函数的奇偶性1.奇函数的定义为f(-x)=-f(x)，偶函数的定义为f(-x)=f(x)（注意定义域）。2.奇函数的图像关于原点成中心对称图形，偶函数的图像关于y轴成轴对称图形。如果一个函数的图像关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图像关于y轴对称，那么这个函数是偶函数。二、函数的单调性1.对于定义域为D的函数f(x)，若任意的x1,x2∈D，且x1<x2，则①f(x1)<f(x2)<=>f(x1)-f(x2)<0<=>f(x)是增函数；②f(x1)>f(x2)<=>f(x1)-f(x2)>0<=>f(x)是减函数。2.复合函数的单调性为同增异减。三、二次函数y=ax^2+bx+c的性质1.顶点坐标公式为(-b/2a,-(b^2-4ac)/4a)，对称轴为x=-b/2a，最大（小）值为-(b^2-4ac)/4a。2.二次函数的解析式有三种形式：一般式、顶点式、两根式。四、指数与指数函数1.幂的运算法则为：（1）a^m*a^n=a^(m+n)，（2）(a^m)^n=a^(mn)，（3）(a*b)^n=a^n*b^n，（4）(a/b)^n=a^n/b^n，（5）a^0=1（a≠0），（6）a^(-n)=1/a^n（a≠0），（7）a^(m/n)=n√a^m（a>0），（8）a^(1/n)=n√a（a>0），（9）a^(-1/n)=1/n√a（a>0）。2.根式的性质为：（1）√ab=√a*√b，（2）当n为奇数时，√a^n=a^(n/2)*√a，当n为偶数时，√a^n=a^(n/2)。4.指数函数y=ax^(a>0且a≠1)的性质为：（1）定义域为R，值域为(0,+∞)；（2）图像过定点(0,1)；当a>1时，函数单调递增；当0<a<1时，函数单调递减。5.指数式与对数式的互化公式为a^loga(x)=x，loga(a^x)=x。五、对数与对数函数1.对数的运算法则为：（1）a^b=N<=>b=loga(N)，（2）a^1=0，（3）loga(a)=1，（4）loga(ab)=loga(a)+loga(b)，（5）loga(a^b)=b，（6）a^loga(N)=N，（7）loga(MN)=loga(M)+loga(N)，（8）loga(M/N)=loga(M)-loga(N)，（9）换底公式：loga(N)=logb(N)/logb(a)。2.推论为：若a>1，则loga(x)单调递增；若0<a<1，则loga(x)单调递减。常用对数和自然对数是常见的对数形式。常用对数以10为底数，自然对数以e≈2.71828为底数。对数函数y=logax（其中a>0且a≠1）具有以下性质：定义域为(0,+∞)，值域为R；当a>1时，函数图像在第一象限内单调递增；当0<a<1时，函数图像在第一象限内单调递减。幂函数y=xa的图像形状取决于a的取值。当0<a<1时，函数图像在第一象限内下凸；当a>1时，函数图像在第一象限内上凸。例如，y=x2的图像为开口向上的抛物线。图像平移是指将函数图像向左、右、上或下移动一定的距离。对于函数y=f(x)，若将其图像向右移动h个单位，向上移动k个单位，则得到函数y=f(x-h)+k。平均增长率是指某个量在一段时间内平均每单位时间增长的比率。若原产值基础数为N，平均增长率为r，则在t时间内的总产值为N(1+r)t。函数的零点是指函数曲线与x轴相交的点的横坐标。二分法是一种求函数零点的有效方法。步骤如下：先确定包含零点的区间，然后取区间中点，计算函数值并判断零点在左半区间还是右半区间，不断重复直至达到所需精确度。直线与圆是几何学中常见的图形。直线的方程有斜截式、点斜式、两点式、截距式和一般式等。两条直线的位置关系可以通过斜率和截距的比较来判断。两点间距离公式为两点间距离的绝对值等于它们横、纵坐标差的平方和的平方根。点到直线的距离公式为点到直线的垂直距离。圆的方程有标准方程和一般方程，圆心坐标为(a,b)，半径为r。圆的方程可以表示为x^2+y^2=r^2，或者是以圆心为(a,b)，半径为r的圆的方程为(x-a)^2+(y-b)^2=r^2，一般方程可以表示为x^2+y^2+Dx+Ey+F=0。点与圆的位置关系有三种情况：点在圆外、点在圆上、点在圆内。直线与圆的位置关系可以通过圆心到直线的距离d来判断。判定两个圆的位置关系，需要知道它们的圆心分别为O1和O2，半径分别为r1和r2。圆的切线方程分为两种情况：已知圆上的切点和斜率为k的切线方程。对于已知切点的情况，当圆内时，切线只有一条，其方程为y=kx+b，其中k和b可以通过相切条件求得；当圆外时，切线方程为过两个切点的切点弦方程。对于已知斜率的情况，切线方程为y=kx+b，其中k和b可以通过相切条件求得，注意要考虑到可能存在两条切线的情况，特别是不要漏掉平行于y轴的切线。线线平行判定定理有四种情况：平行于同一条直线的两条直线互相平行；垂直于同一平面的两直线平行；一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。线面平行判定定理有两种情况：若平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线都与另一个平面平行。面面平行判定定理是如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行。线线垂直判定定理是如果一直线垂直于一平面，则这条直线垂直于这个平面内的所有直线。线面垂直判定定理有两种情况：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面；如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。面面垂直判定定理是如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。证明直线与直线的平行可以通过转化为判定共面二直线无交点、转化为二直线同与第三条直线平行、转化为线面平行、转化为线面垂直、转化为面面平行。证明直线与平面的平行可以通过转化为直线与平面无公共点、转化为线线平行、转化为面面平行。九、证明平面与平面平行的思考途径有三种：1.转化为判断两个平面是否有公共点；2.转化为判断一条直线是否与其中一个平面平行；3.转化为判断一条直线是否与其中一个平面垂直。十、证明直线与直线垂直的思考途径有三种：1.转化为判断两条直线是否相交且垂直；2.转化为判断一条直线是否与一个平面垂直；3.利用三垂线定理或逆定理。十一、证明直线与平面垂直的思考途径有五种：1.转化为判断该直线是否与平面内任一直线垂直；2.转化为判断该直线是否与平面内相交的两条直线垂直；3.转化为判断该直线是否与平面的一条垂线平行；4.转化为判断该直线是否垂直于另一个平行平面；5.利用三垂线定理或逆定理。十二、证明平面与平面垂直的思考途径有两种：1.转化为判断两个平面的夹角是否为直角；2.转化为判断一条直线是否与其中一个平面垂直。三、空间几何体一、正三棱锥的性质：1.底面为正三角形，边长为a时，外接圆半径为a/√3，内切圆半径为a/2√3，面积为a²/4√3。2.辅助线作法为：作PO⊥底面ABC于O，则O为底面中心，PO为棱锥高，取AB中点D，连结PD、CD，得到直角三角形△POD和△POC。二、正四棱锥的性质：1.底面为正方形，边长为a时，外接圆半径为a/√2，内切圆半径为a/2，面积为a²。2.辅助线作法为：作PO⊥底面ABCD于O，则O为底面中心，PO为棱锥高，取AB中点E，连结PE、OE、OA，得到直角三角形△POE和△POA。三、长方体的性质：长方体的一条对角线长的平方等于长、宽、高的平方和。四、正方体与球的性质：1.设正方体的棱长为a，外接球半径为R1，内切球半径为R2，则R1=a/2，R2=a/2√3。2.正方体的一条对角线长为a√3。3.球的体积为4/3πR³，表面积为4πR²。4.正方体的体积为a³，表面积为6a²。五、几何体的表面积体积计算公式：1.圆柱：表面积为2πrh+2πr²，体积为πr²h。2.圆锥：表面积为πr²+πrl，体积为πr²h/3（其中l为母线长）。3.圆台：表面积为π(r1+r2)l+πr1²+πr2²，体积为πh(r1²+r2²+r1r2)/3。4.球：表面积为4πR²，体积为4/3πR³。5、正方体的表达式为：边长为a，表面积为S=6a²，体积为V=a³。6、长方体的表达式为：长为a，宽为b，高为c，表面积为S=2(ab+ac+bc)，体积为V=abc。7、棱柱的表达式为：全面积为S=侧面积+2×底面积，体积为V=Sh。8、棱锥的表达式为：全面积为S=侧面积+底面积，体积为V=Sh/3。9、棱台的表达式为：全面积为S=侧面积+上底面积+下底面积。三视图是指几何体的正视图、俯视图和侧视图。其中，正视图是光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图，俯视图是光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图，侧视图（或左视图）是光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图。在画几何体的三视图时，实线表示能看见的轮廓线和棱，虚线表示不能看见的轮廓线和棱。另外，三视图之间有一个投影规律，即―长对正，高平齐，宽相等‖，是画图和读图的重要依据。算法是指在计算机中解决某一类问题的程序或步骤，必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成。程序框是构成算法的图形符号，包括起止框、输入输出框、处理框和判断框等。算法的三种基本逻辑结构是顺序结构、条件结构和循环结构。最大公约数可以用辗转相除法或更相减损术来求解。辗转相除法是用较大的数除以较小的数所得的余数和较小的数构成新的一对数，继续做上面的除法，直到大数被小数除尽，这个较小的数就是最大公约数。更相减损术是以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数。进位制的换算可以根据进制数的不同进行计算。在统计学中，研究对象的全体被称为总体，而从总体中选出的一部分称为样本。可以表示为P(A)=m/n。为了研究总体的性质，通常需要从总体中随机抽取一部分个体作为样本进行研究。样本中个体的数量称为样本容量，而总体中个体的总数称为总体容量。简单随机抽样是从总体中完全随机地抽取调查单位，不进行任何分组、划类或排队等操作。其特点是每个样本单位被抽中的可能性相同。常用的简单随机抽样方法包括抽签法、随机数表法和计算机模拟法。而系统抽样则是按照固定的抽样距离从总体中抽取样本，第一个样本则采用简单随机抽样的方法抽取。分层抽样则是先将总体按照某种特征或标志进行划分，再在各个类型或层次中采用简单随机抽样或系统抽样的方法抽取子样本，最后将这些子样本合起来构成总体的样本。总体分布可以通过频率分布表、频率分布直方图和频率分布折线图来进行估计。茎叶图适用于数据较少的情况，可以更加直观地看出数据的分布、中位数和众位数等。用样本的数字特征来估计总体的数字特征，如平均值和标准差等。线性回归分析可以用来研究两个变量的线性相关性。回归直线方程和回归系数可以帮助我们进行回归分析，但在进行分析前最好先作出散点图。在概率方面，事件可以分为必然事件、不可能事件和随机事件。古典概型中每个基本事件都是等可能发生的，因此可以用概率计算公式来计算事件发生的概率。概率的基本概念和性质概率是指某一事件发生的可能性大小，通常用P(A)表示。几何概型是一种计算概率的方法，其特点是所有的基本事件是无限个，且每个基本事件都是等可能发生的。根据几何概型概率计算公式，若A∩B=ф，即不可能同时发生的两个事件，那么称事件A与事件B互斥。若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，即不能同时发生且必有一个发生的两个事件，那么称事件A与事件B互为对立事件。概率还有一些基本性质。首先，必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，因此0≤P(A)≤1。其次，当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)。第三，若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)。最后，互斥事件与对立事件的区别与联系，互斥事件是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生，具体包括三种不同的情形，而对立事件是指事件A与事件B有且仅有一个发生，其包括两种情形。三角函数与三角恒等变换三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，它们的定义域分别为R，值域分别为[-1,1]，周期性分别为2π，奇偶性分别为奇函数和偶函数。正弦函数在增区间[-π+2kπ,2kπ]单调递增，在减区间[2kπ,π+2kπ]单调递减；余弦函数在增区间[+2kπ,π+2kπ]单调递减，在减区间[-π+2kπ,2kπ]单调递增。正切函数在每个周期内有一个渐近线，即x=kπ+π/2，其中k∈Z。同角三角函数公式包括sin2α+cos2α=1和tanαcotα=1。二倍角的三角函数公式包括sin2α=2sinαcosα、cos2α=2cos2α-1和tan2α=(2tanα)/(1-tan2α)。降幂公式包括sin2α=(1-cos2α)/2和cos2α=(1+cos2α)/2。升幂公式包括1±sin2α=(sinα±cosα)2、1+cos2α=2cos2α和1-cos2α=2sin2α。两角和差的三角函数公式包括sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ、cos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβ和tan(α±β)=(tanα±tanβ)/(1∓tanαtanβ)。）和=（x2，y2），则+=（x1+x2，y1+y2）（三）、向量的数量积1、定义：设=（x1，y1）和=（x2，y2），则向量的数量积定义为·=x1x2+y1y22、性质：（1）·=·（2）·=0<=>=0或=0（3）·=|·||·|cosθ，其中θ为向量的夹角（四）、向量的投影1、定义：设向量=（x，y）和向量=（a，b），则向量在向量上的投影为proj=·2、性质：（1）proj·=|·|cosθ（2）向量的投影具有向量的平移不变性（五）、向量的夹角1、定义：设向量=（x1，y1）和向量=（x2，y2），则向量的夹角θ满足cosθ=·|·||·|2、性质：（1）θ∈[0,π]（2）夹角θ的余角为π-θ，补角为π/2-θ（六）、向量的线性运算1、定义：设向量=（x1，y1）和向量=（x2，y2），实数λ，向量的线性运算包括向量的加法、数量积和数量乘。2、性质：（1）交换律：+=+（2）结合律：(+)+=+(+)（3）分配律：λ(+)=λ+λ（4）结合律：(λμ)=λ(μ)（5）分配律：(λ+μ)=λ+μ一、解三角形：一个三角形ΔABC的六个元素包括三个角A、B、C和三条边a、b、c，它们之间满足以下关系：1.角的关系：三个角的和等于180度，即A+B+C=π