2018高考数学全国2卷理科试卷

2018高考数学全国2卷理科试卷

2018年普通高等学校招生全国统一考试（全国2卷）理科数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.作答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知$\frac{1+2i}{1-2i}$的值为（）A.$-\frac{43}{55}+i$B.$-\frac{34}{55}-i$C.$-\frac{43}{55}-i$D.$-\frac{34}{55}+i$2.已知集合$A=\{(x,y)|x+y^2\leq3,x\inZ,y\inZ\}$，则$A$中元素的个数为（）A.9B.8C.5D.43.函数$f(x)=\frac{ex-e^{-x}}{2x}$的图象大致为（）4.已知向量$a,b$满足$|a|=1,a\cdotb=-1$，则$a\cdot(2a-b)$的值为A.4B.3C.2D.$-1$5.双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$的离心率为3，则其渐近线方程为A.$y=\pm2x$B.$y=\pm3x$C.$y=\pm\frac{2}{3}x$D.$y=\pm\frac{3}{2}x$6.在$\triangleABC$中，$\cosC=\frac{4}{5},BC=1,AC=5$，则$AB$的值为A.$\frac{42}{5}$B.30C.29D.257.为计算$S=1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots-\frac{1}{99}+\frac{1}{100}$，设计了右侧的程序框图，开始后，如果$i<100$，则应填入（）开始N=0,T=1i=1是i=i+1否则在空白框中应填入A.i=i+1B.i=i+2C.i=i+3D.i=i+4N=N+(-1)^{i+1}\frac{1}{i}T=T+NS=N-T输出S结束8.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果。哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30=7+23。在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是A.$\frac{1}{12}$B.$\frac{1}{14}$C.$\frac{1}{15}$D.$\frac{1}{18}$9.在长方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，$AB=BC=1,AA_1=3$，则异面直线$AD_1$与$DB_1$所成角的余弦值为A.$\frac{1}{5}$B.$\frac{1}{6}$C.$\frac{1}{5\sqrt{3}}$D.$\frac{2}{10}$10.若$f(x)=\cosx-\sinx$在$[-a,a]$是减函数，则$a$的最大值是A.$\frac{\pi}{4}$B.$\frac{\pi}{2}$C.$\frac{3\pi}{4}$3，...，17），得到模型①：ŷ=-30.4+13.5t；根据,17）建立模型②：ŷ=-130.7+14.5t．（1）用模型①预测2018年的环境基础设施投资额；（2）用模型②预测2020年的环境基础设施投资额；（3）根据以上两个模型，分析该地区环境基础设施投资的趋势．19．（12分）已知函数f(x)在区间[0,1]上连续，且f(x)0．记曲线yf(x)在区间[0,1]上的弧长为L，曲线y1/f(x)在区间[0,1]上的弧长为L'．证明：L·L'≥4．20．（12分）已知函数f(x)在区间[0,1]上二阶可导，且f(0)f(1)0，f''(x)0，证明：对于任意的x[0,1]，有f(x)x(1x)．21．（12分）已知函数f(x)在区间[0,/2]上具有一阶导数，且f(0)0，f(/2)1．证明：对于任意的x[0,/2]，有f(x)xtanx．（二）选考题：共10分。22．（5分）已知函数f(x)在区间[0,1]上连续，且f(x)0，证明：对于任意的x[0,1]，有0xf(t)dt·x011/f(t)dt≥1．23．（5分）已知函数f(x)在区间[0,1]上连续，且f(x)0，记曲线yf(x)在区间[0,1]上的弧长为L，曲线y1/f(x)在区间[0,1]上的弧长为L'．证明：L+L'≥2√2．2010年至2016年的数据建立了两个模型来预测该地区环境基础设施投资额。其中，第一个模型为y=100+20t，第二个模型为y=80+17.5t。现在需要利用这两个模型来预测2018年的环境基础设施投资额，并分析哪个模型更可靠。题目19：给定抛物线C：y^2=4x的焦点F和直线l的斜率k，且已知直线l与C的交点A、B的距离为8。需要求出直线l的方程以及过点A、B且与C的准线相切的圆的方程。题目20：在三棱锥P-ABC中，已知AB=BC=22，PPA=PB=PC=AC=4，O为AC的中点。需要证明PO垂直于平面ABC，并求出PC与平面PAM所成角的正弦值，其中点M在棱BC上且二面角M-PA-C为30度。题目21：给定函数f(x)=e^x-ax^2，需要求出当a=1时，f(x)>=1的证明，以及当f(x)在(0,+∞)中只有一个零点时，a的取值。题目22：给定曲线C的参数方程x=2cosθ，y=4sinθ和直线l的参数方程x=1+tcosα