绝对值三角不等式

关于绝对值三角不等式第1页，讲稿共40页，2023年5月2日，星期三

1.绝对值的几何意义：

如：|-3|或|3|表示数-3，3所对应的点A或点B到坐标原点的距离.探究新知第2页，讲稿共40页，2023年5月2日，星期三即实数x对应的点到坐标原点的距离小于3.探究新知

绝对值的几何意义：

第3页，讲稿共40页，2023年5月2日，星期三

同理，与原点距离大于3的点对应的实数可表示为：

探究新知第4页，讲稿共40页，2023年5月2日，星期三

设a,b是任意两个实数，那么|a-b|

的几何意义是什么？x|a-b|abAB探究新知第5页，讲稿共40页，2023年5月2日，星期三

如果用恰当的方法在数轴上把|a|，|b|，|a+b|表示出来?定理1

如果a,b是实数，则|a+b|≤|a|+|b|，当且仅当

ab≥0时，等号成立.探究新知第6页，讲稿共40页，2023年5月2日，星期三

如果把定理1中的实数a,b分别换为向量，能得出(1)当不共线时有(2)当共线且同向时有探究新知第7页，讲稿共40页，2023年5月2日，星期三探究新知|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|

这个不等式俗称“三角不等式”——三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边绝对值三角不等式第8页，讲稿共40页，2023年5月2日，星期三求证：|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|

定理的证明探究新知第9页，讲稿共40页，2023年5月2日，星期三定理2：如果a,b,c是实数，那么探究新知第10页，讲稿共40页，2023年5月2日，星期三典例讲评第11页，讲稿共40页，2023年5月2日，星期三例2两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工,这两个地点分别位于公路路碑的第10公里和第20公里处.现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区,每个施工队每天在生活区和施工地点之间往返一次,要使两个施工队每天往返的路程之和最小,生活区应该建于何处?典例讲评第12页，讲稿共40页，2023年5月2日，星期三解：如果生活区建于公路路碑的第xkm处，两施工队每天往返的路程之和为S(x)km那么S(x)=2(|x-10|+|x-20|)典例讲评第13页，讲稿共40页，2023年5月2日，星期三答:生活区建于两路碑间的任意位置都满足条件.典例讲评2040601020300xy第14页，讲稿共40页，2023年5月2日，星期三求证.例3

已知，证明：典例讲评第15页，讲稿共40页，2023年5月2日，星期三典例讲评第16页，讲稿共40页，2023年5月2日，星期三例5

求证.证明：在时，显然成立.当时，左边

典例讲评第17页，讲稿共40页，2023年5月2日，星期三思考感悟如何理解|a|－|b|<|a±b|<|a|＋|b|的几何意义？提示：三角形任意两边之差小于第三边，三角形任意两边之和大于第三边．第18页，讲稿共40页，2023年5月2日，星期三课堂互动讲练(1)设xy<0，x，y∈R，那么正确的是(

)A．|x＋y|>|x－y|B．|x－y|<|x|＋|y|C．|x＋y|<|x－y|D．|x－y|<||x|－|y||考点一含绝对值不等式的理解考点突破例1第19页，讲稿共40页，2023年5月2日，星期三【思路点拨】(1)由于xy<0，x，y异号，利用|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|判定．(2)题易判定m，n与1的大小关系．第20页，讲稿共40页，2023年5月2日，星期三【解析】

(1)法一：特殊值法：取x＝1，y＝－2，则满足xy＝－2<0，这样有|x＋y|＝|1－2|＝1，|x－y|＝|1－(－2)|＝3，|x|＋|y|＝3，||x|－|y||＝1，∴选项C成立，A，B，D不成立．法二：由xy<0得x，y异号，易知|x＋y|<|x－y|，|x－y|＝|x|＋|y|，|x－y|>||x|－|y||，∴选项C成立，A、B、D不成立．第21页，讲稿共40页，2023年5月2日，星期三【答案】

(1)C

(2)m≤n第22页，讲稿共40页，2023年5月2日，星期三【名师点评】绝对值不等式性质的重要作用在于放缩，放缩的思路主要有两种：分子不变，分母变小，则分数值变大；分子变大，分母不变，则分数值也变大，注意放缩后等号是否还能成立．第23页，讲稿共40页，2023年5月2日，星期三变式训练1

0<a<1，下列不等式一定成立的是(

)A．|log(1＋a)(1－a)|＋|log(1－a)(1＋a)|>2B．|log(1＋a)(1－a)|<|log(1－a)(1＋a)|C．|log(1＋a)(1－a)＋log(1－a)(1＋a)|<|log(1＋a)(1－a)|＋|log(1－a)(1＋a)|D．|log(1＋a)(1－a)－log(1－a)(1＋a)|>|log(1＋a)(1－a)|－|log(1－a)(1＋a)|第24页，讲稿共40页，2023年5月2日，星期三第25页，讲稿共40页，2023年5月2日，星期三【思路点拨】根据所证结论，对“xy－ab”进行凑配，凑出已知的“x－a，y－b”来．考点二含绝对值不等式的证明例2第26页，讲稿共40页，2023年5月2日，星期三第27页，讲稿共40页，2023年5月2日，星期三【名师点评】含绝对值不等式的证明题主要分两类：一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法，换元法去掉绝对值号转化为常见的不等式证明题，或利用不等式的性质|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|证明不等式，常要对绝对值内的式子进行分析组合、添项减项，使待证式与已知之间联系起来，最后通过绝对值的运算完成证明；另一类是综合性较强的函数型含绝对值不等式，这时，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程根的分布方法来证明．第28页，讲稿共40页，2023年5月2日，星期三第29页，讲稿共40页，2023年5月2日，星期三

已知a，b，c是实数，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，g(x)＝ax＋b，当－1≤x≤1时，|f(x)|≤1.(1)证明：|c|≤1；(2)证明：当－1≤x≤1时，|g(x)|≤2.【思路点拨】对于(1)用一般到特殊的思想，即c＝f(0)．对于(2)分a>0，a＝0，a<0根据函数的单调性讨论．例3第30页，讲稿共40页，2023年5月2日，星期三【证明】

(1)由条件当－1≤x≤1时，|f(x)|≤1，取x＝0，得|c|＝|f(0)|≤1，即|c|≤1.(2)当a>0时，g(x)＝ax＋b在[－1,1]上是增函数，∴g(－1)≤g(x)≤g(1)．∵|f(x)|≤1(－1≤x≤1)，|c|≤1，∴g(1)＝a＋b＝f(1)－c≤|f(1)|＋|c|≤2，g(－1)＝－a＋b＝－f(－1)＋c≥－(|f(－1)|＋|c|)≥－2，第31页，讲稿共40页，2023年5月2日，星期三由此得|g(x)|≤2；当a<0时，g(x)＝ax＋b在[－1,1]上是减函数，∴g(－1)≥g(x)≥g(1)．∵|f(x)|≤1(－1≤x≤1)，|c|≤1，∴g(－1)＝－a＋b＝－f(－1)＋c≤|f(－1)|＋|c|≤2，g(1)＝a＋b＝f(1)－c≥－(|f(1)|＋|c|)≥－2，由此得|g(x)|≤2；当a＝0时，g(x)＝b，f(x)＝bx＋c.第32页，讲稿共40页，2023年5月2日，星期三∵－1≤x≤1，∴|g(x)|＝|f(1)－c|≤|f(1)|＋|c|≤2.综上，得|g(x)|≤2.【名师点评】本题利用函数的单调性，结合最值或值域，求绝对值的取值．第33页，讲稿共40页，2023年5月2日，星期三变式训练3设f(x)＝x2－x＋13，实数a满足|x－a|<1.求证：|f(x)－f(a)|<2(|a|＋1)．证明：|f(x)－f(a)|＝|(x－a)(x＋a－1)|＝|x－a|·|x＋a－1|<|x＋a－1|＝|(x－a)＋2a－1|≤|x－a|＋|2a|＋1<1＋2|a|＋1＝2(|a|＋1)．∴|f(x)－f(a)|<2(|a|＋1)．第34页，讲稿共40页，2023年5月2日，星期三例误区警示第35页，讲稿共40页，2023年5月2日，星期三【错因】本题错误在于不能保证1＋|a＋b|≥1＋|a|,1＋|a＋b|≥1＋|b|成立．第36页，讲稿共40页，2023年5月2日，星期三第37页，讲稿共40页，2023年5月2日，星期三对|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|的诠释方法感悟定理的构成部分特征大小关系等号成立的条件左端|a|－|b|可能是负的≤中间部分中间部分为|a＋b|时，ab≤0，且|a|≥|b|时，左边的等号成立；中间部分为|a－b|时，ab≥0，且|a|≥|b|时，左