弹性压杆的临界荷载课件

弹性压杆的临界荷载重点：稳定方程的建立边界条件的提出等效为单个压杆

难点：稳定方程的建立边界条件的提出刚度系数的确定一、基本假设二、材料力学中的结果三、简单刚架等效为单压杆稳定的简化分析方法四、弹性压杆的稳定方程的建立，临界荷载的求法

本节内容提要弹性压杆的临界荷载

一、基本假设1.理想的中心受压直杆

2.材料在弹性范围内，服从虎克定律

3.屈曲变形微小，PKMPKM无限刚性杆的受压计算PPljKM弹性杆的受压计算μ为长度系数，μL为相当长度。

欧拉公式：

μ=2.0μ=1.0μ=0.7μ=0.5二、材料力学中的结果

xyM(x)Plj推导欧拉公式已知，下端铰为什么没有水平约束力？yxPljL/2L/2δyx方程的解：A、B

为待定系数，与边界条件有关。

yxPljL/2L/2δyx代入方程，得：（n=1，2，3，...，）n=1时得：

三、简单刚架等效为压杆稳定的简化分析方法

EIEIEIPP例1正对称失稳时的半结构P等效为单个压杆PEIEIEIPP

P反对称失稳时的半结构P等效为单个压杆例2

PABABP例3EI1=∞EIPPKNKNPKN或例4PPP正对称失稳时的半结构等效压杆P

PP例4PP反对称失稳时的半结构PPKMPKM或PP例5

PPKMKM反对称失稳PPPKMKM正对称失稳PPPKMKMPPKMKM四、弹性压杆的稳定方程，临界荷载

例题1上端无转角但可侧移，弹簧铰刚度KM

，杆的刚度为EI，杆长L，求临界荷载。

PM（x）yKMA解：①建立图示坐标系，设A端转角为θ，x处的挠度y，B端的侧移为δPKMBAyxyPδAθ②取x截面以下为研究对象，∑Mx=0，M（x）+KMθ=Py

M（x）+KMθ=Py以代入方程中③方程通解：yxyPδAθ④边界条件：ⅰ）当x=0时，y=0，得：

ⅱ）当x=0时，，得：Bk=θⅲ）当x=L时，，得：⑤求解稳定方程

边界条件中的A、B、θ有非零解，其系数行列式D=0

讨论：

①当KM=∞时，原来结构的稳定问题就是：下端固定，上端可滑动

取n=1得：

此时压杆的长度系数为1

PKMBA②当KM=0时，原来结构的稳定问题就是：下端铰支，上端可滑动

取n=1得临界荷载

此时压杆的长度系数为2

例题2求图示结构体系的稳定方程，求出临界荷载。

HH/2PEIABC∞解：设C处的水平位移δ，A处的转角θ，画出失稳模态

θxyyδP取整体为研究对象，求得A处的水平约束力Pδ/H再取x截面以下为研究对象，如图。

xyM（x）HAPxyM（x）HAP取x截面为力矩中心边界条件：

θxyyδPkf(k)0.83-2.5634099610.84-2.4222202250.85-2.2436909720.86-2.0141521230.87-1.7124015020.88-1.3036762190.89-0.7267314270.90.1373320550.911.5538282610.924.2601748960.9311.357669870.9476.012762970.95-31.325414230.96-16.184870650.97-12.070931540.98-10.167493070.99-9.0790556181-8.3805150061.01-7.898587089H=5m，kH=0.895*5=4.475tankH=kH，=0.7例题3

EI1=∞EIHHPABC解：做出失稳模态取BC为研究对象∑MB’=0，Pδ=HCH得

yxyM（x）PδPHCδyxyM（x）PδM（x）yHCP取x坐标以上为研究对象，∑Mx=0，得：

方程的特解：

方程的通解：

例题4

L/2L/2L/2LPEIAB等效单个压杆KNP刚度法求KN1KN解：1）等效压杆如图所示

KN可由刚度法求得

KN也可由柔度法求得

P=1L/2LL/2柔度法求KN2）建立稳定方程yHxyPABδ设B处的侧移为δ，弹簧的约束力H=KNδ（向左），A支座的水平约束力KNδ（向右）取x截面以下为研究对象，∑Mx=0，得：

KNδPM（x）y3）方程的解

稳定方程

等效单个压杆KNP边界条件例题5具有三个弹簧约束的等直压杆的稳定方程。

K1K2K3PEI,LPθ1

yxθ2M1M2Hδ失稳模态解：失稳模态如图。上端水平位移δ，转角θ2

；下端转角θ1

M1=K1θ1

，M2=K2θ2

，H=K3δ

取整体为研究对象，∑MA=0

Pθ1

yxθ2M1M2Hδ失稳模态A取x截面上端为研究对象，∑Mx=0

δyHPM2M(x)X截面以上隔离体令边界条件：

①当x=0，

由y=0，得：

---------(1)由

，得---------(2)②当x=L时

由，得：----------(3)由（逆时针转角），得：--------------(4)(1),(2),(3),(4)是关于A、B、δ、θ2

的齐次方程组

稳定方程讨论

①K2=∞，K3=0时，θ2=0，原结构问题变为

PKMBA这便是例题1

②若K1=∞，K3=∞（此时δ=0），K2=0，则压杆变为：

PEI,L----(1)----(2)----(3)----(4)以δ=H/K3代入（1）、（2）式中，再联合（3）得关于A,B,H的齐次方程组，其系数行列式=0PEI,L或，直接求临界荷载Pxy设下端的弯矩为MHM取x截面以上为研究对象MxHPPxyHM边界条件：③若K1=∞，K2=0，则压杆变为：

PEI,L或，直接求临界荷载PEI,LPxyPMx边界条件：300300C30混凝土柱受压，L=8,10,12米PEA=∞PEI,LK3K3=118.6,60.75,35.2kN/m算例：P8=1559kN,=1.41P10=1002kN,=1.41P12=674kN,=1.43300*300抗压设计值1287kNC30混凝土柱，300*300，L=8,10,12米L=8mL=10mL=12m抗压标准值：1801kN规范中轴心受压柱的正截面承载力，一般要求以8、10米长，300*300截面柱为例，假定配置4根22钢筋规范计算L0L0/bNu理论计算未考虑钢筋10米柱14.1米470.21329kN1002kN

标准值1801kN

8米柱

11.28米37.60.36564kN1559kN两端固定1033.30.36564设计值1287材料分项系数1.4826.70.50783④若K1=0，K2=0，压杆变为：

K3PM(x)K3δPδxy失稳模态K3δδP取下部分为研究对象，

边界条件：x=0，y=0得：A=0

-------------(1)x=L，y=δ得：

---------------(2)再由整体平衡：Pδ=K3δL---------------（3）

由sinkL=0，得：

称为挠曲失稳

K3P挠曲失稳

由P-K3L=0，得：称为侧倾失稳K3P侧倾失稳⑤若K2=0，K3=∞（此时δ=0），压杆变为：

K1PEI,LK1PEI,L或，直接求临界荷载K1PxyHPPHyMxPH边界条件：⑥若K2=0，K3=0，压杆变为

K1PEI,L或，直接求临界荷载K1PEI,LK1PyxPMx边界条件：⑦若K2=∞，K3=∞，压杆变为

K1PθyK1PEI,LPHM(x)yK1θ边界条件：

K1Pθy关于A，B，，H,的齐次方程⑧K3=∞，压杆变为

K1K2K3PEI,LK1K2PHPPHyxyK1K2P例题5桥墩与刚性基础失稳时将绕C点转动，设地基抗转刚度KM

，试建立稳定方程。

PHaCEIKMCHaKMPEI解：1）作出计算简图2）失稳模态PPyθyxδOC取整体，∑MC=0，Pδ=KMθ，得：

M（x）yPKMθ取x截面以下为研究对象，∑Mx=0，3）稳定方程4）稳定方程的解：边界条件

上式关于A、B、θ的方程的系数行列式D=0时发生失稳。