江西省部分学校2023届高三联考文科数学试题及答案解析

江西省部分学校2023届高三联考试卷

文科数学

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂

黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将

答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的.

1.设全集U={-2，T，°，2,3},若集合A={—2,—1,3},3={-2,—1,0,1},则6)=

()

A.{-2,0,2,3}B.{—2,2,3}C.{0,2,3}D.

{-2,—1}

2.已知复数2=。-1,2(2+。=2(匕+。，其中a,6eR,则6=()

A1B.2C.3D.a+2

3.为提升学校教职工的身体素质，某校工会组织学校600名教职工积极参加“全民健身运动

会“，该运动会设有跳绳、仰卧起坐、俯卧撑、开合跳、健步走五个项目，教职工根据自己

的兴趣爱好最多可参加其中一个，参加各项目的人数比例的饼状图如图所示，其中参加俯卧

撑项目的教职工有75名，参加跳绳项目的教职工有125名，则该校()

A.参加该运动会的教职工的总人数为450

B.参加该运动会的教职工的总人数占该校教职工人数的80%

C.参加开合跳项目的教职工的人数占参加该运动会的教职工的总人数的12%

D.从参加该运动会的教职工中任选一名，其参加跳绳或健步走项目的概率为0.6

4.已知双曲线C:三-一匚=1的一条渐近线的方程为y=2x,则加的值为（）

mm-3

A.-3B.-1C.4D.6

5.（cosl5-cosl05^sinl5-sin75）=（）

A.--⑺-Ro.-L「g--

222

6.如图是下列四个函数中的某个函数的部分图象，则该函数是（）

x2-cosX

B.y=2~~

X+1

2x-sin2x2x2-x4

°J-%2+1D,y=­FT

x+1

7.《九章算术》中有如下问题：“今有圆亭（圆亭可看作圆台），下周三丈，上周二丈，高

一丈.”则该圆亭的侧面积为（）

B.巫亘平方丈

4兀471

C..兀2+1平方丈D13+5,4兀2+1平方丈

2兀4兀

8.已知a=log3夜/=log43,c=0.3<2,则(

A.a>b>cB.b>c>a

Cc>a>bD.c>b>a

9.在平面四边形ABC。中，ABlBC.AC.LCD.AB=BC=CDf若

AC=AAB^-^AD,则4+〃=()

2

43

A.—B.Jr2C.一D.2

3Y2

10.已知函数/（X）=cos佶x-外，则下列结论错误的是（）

B.小-g兀

A/(X-4TI)=/(X)=一〃一x）

C.伶-2xJ=〃2x）D./俨+升上

11.已知4,民。三点在球。球面上，且ACJ_BC,AC=2j"BC=2,若球0上的动

点D到点A,B,C所在平面的距离的最大值为V6+V3.则球。的表面积为（）

A.164B.24〃C.8"乃D.

24娓兀

,,《

12.已知正数a,b满足"+"”了=1,贝I]()

a+ha

A.a2>bB.a2<b

C.a>b2D.a<b2

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

x-3y-l<0

13.若MV满足约束条件2x+y-2<0,则x—2y最小值为.

3x-2y+4>0

14.若直线y=2工一。与曲线y=21nx+Z?相切，则。++=.

22

15.椭圆二+与=1（。>〃>0）的四个顶点为A、B、c、D,若四边形A5CQ的内切圆

a"b~

恰好过椭圆的焦点，则椭圆的离心率是.

16.在.ABC中，点。在边6C上，AB=BD+l,AC^DC+\,AD=42,则边8C的最

小值为.

三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必

考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选做题，考生根据要求作答.

3

（-）必考题：共60分.

17.已知数列｛q｝的前〃项和为S.,q=1,4=2,且〃..2时，S"+|=4S.T+3.

（1）求数列｛4｝的通项公式；

⑵记a=an（a„-2）,求数列出｝的前八项和T„.

18.据统计，某校高三打印室1-4月份购买的打印纸的箱数如表：

月份代号r1234

打印纸的数量y（箱）60657085

（1）求相关系数r,并从r的角度分析能否用线性回归模型拟合y与f的关系（若卜|75,

则线性相关程度很强，可用线性回归模型拟合）；

（2）建立y关于/的回归方程，并用其预测5月份该校高三打印室需购买的打印纸约为多

少箱.

参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据（为例）«=1,2,3,,〃），其回归直线

与=乳+令的斜率和截距的最小二乘估计分别为

Z(—)(—)Zx^t-rixy

b=J----------------=-------------"-y-bx,

E(^-^)2nX；-位2

i=li=l

£（­）（»-歹）

相关系数〃=I，

Vi=\V/=1

参考数据：＞/70»8.37

19.如图，三棱柱ABC-AgG中，AB=BC=耳A=5C，O是AC的中点，AB｝LBD.

4

B

（1）证明：旦。J■平面ABC；

（2）若AB=及，点与到平面ACC.A的距离为亚，求三棱锥C.-A5.C的体积.

2

20.已知函数/（%）=分2-x+（x+l）lnx.

（1）当a=0时，求/（x）的单调区间；

（2）若/（力存在极值点，求实数”的取值范围.

21.已知点F为抛物线C:y2=2px（p>0）的焦点，点M（4,a）在抛物线上，且|月图=6.

（1）求抛物线C的方程；

（2）过点F分别作两条互相垂直的直线与抛物线C分别交于A,3与P,Q,记

AFP,BFQ的面积分别为S,,S2,求S1+S2的最小值.

（二）选做题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所

做的第一题计分.

［选修4-4：坐标系与参数方程］

,2sin2a

*一］-I2"■~2，

22.在平面直角坐标系X。），中，曲线C的参数方程为2°sa—smag为参数），

v2sinacosa

y—5-—

cos“a-sm~a

jr

以坐标原点为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为。=一（夕eR）.

（1）求C的普通方程与/的直角坐标方程；

（2）求/与C交点的极坐标.

［选修4・5：不等式选讲］

5

23.已知函数/（%）=麻—1|一（。一1）|斗

（1）当a=2时，求不等式/（力＞2的解集；

（2）若“«1'2）时，+1恒成立,求实数”的取值范围.

6

答案解析

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的.

1.设全集U={-2，T，°，2,3},若集合A={-2,7,3},3={-2,—1,0,1},则电(AB)=

()

A.{-2,0,2,3}B.{-2,2,3}C.{0,2,3}D.

{-2,-1}

【答案】C

【解析】

【分析】根据集合交并补的运算法则求解.

【详解】由A={-2,-1,3},8={-2,—1,0,1},得AB=所以

6(Ac8)={0,2,3}：

故选：C.

2.已知复数2=<7—1,2(5+。=2(6+1),其中a,6eR,则人=()

A.1B.2C.3D.a+2

【答案】C

【解析】

【分析】先求出共朝复数，根据复数乘法法则计算.

【详解】1=a+i，由z=a-i,z0+i)=2(7?+i),

,_、,,a2+2=2b

得z(Z+i)=zf+zi=a-+2+ai=2(0+i),,解得6=3.

47=2

故选：C.

3.为提升学校教职工的身体素质，某校工会组织学校600名教职工积极参加“全民健身运动

会“，该运动会设有跳绳、仰卧起坐、俯卧撑、开合跳、健步走五个项目，教职工根据自己

的兴趣爱好最多可参加其中一个，参加各项目的人数比例的饼状图如图所示，其中参加俯卧

撑项目的教职工有75名，参加跳绳项目的教职工有125名，则该校()

7

A.参加该运动会的教职工的总人数为450

B.参加该运动会的教职工的总人数占该校教职工人数的80%

C.参加开合跳项目的教职工的人数占参加该运动会的教职工的总人数的12%

D.从参加该运动会的教职工中任选一名，其参加跳绳或健步走项目的概率为0.6

【答案】D

【解析】

【分析】根据饼状图结合频数与频率的关系判断A,B,C,根据古典概型概率公式判断D.

75

【详解】参加该运动会的教职工的总人数为一二=500,故选项A错误，

15%

参加该运动会的教职工的总人数与该校教职工人数的比值为迎x100%«83%，选项B错

600

误；

125

由已知参加跳绳项目教职工的人数占比砺x100%=25%,

所以参加开合跳项目的教职工的人数占比1一15%—15%-35%—25%=1()%,故选项C

错误.

参加参加跳绳或健步走项目的教职工的人数为500X(25%+35%)=300,

所以任选一名，其参加跳绳或健步走项目的概率2=迎=0.6,故选项D正确；

500

故选：D.

4.已知双曲线C：工——匚=1的一条渐近线的方程为y=2x,则用的值为()

mm-3

A.-3B.-1C.4D.6

【答案】B

【解析】

丫22.1^2—3ill—3

【分析】首先令——0=0,得出丁=——%2,再根据其渐进线方程得出——=4,

mm-3mm

8

即求得加的值.

22

【详解】因为方程三-“一=1表示双曲线,

mm-3

所以令《——匕=0,得y2=里二

mm—3m

又因为其一条渐近线的方程为y=2x,

所以y2=4%2,

解得机=-1,

故选：B.

5.(cosl5-cosl05)(sinl5-sin75)=()

A.一立B.--C.—

222

【答案】A

【解析】

【分析】利用诱导公式及余弦的二倍角公式可得答案.

【详解】注意到cos105°=cos(90°+15°)=-sin15°,

sin75°=sin(90°-15°)=cos15°.

则原式=(cos15°+sin15°)(sin150-cos15")=sin215°-cos215°

2

故选：A.

6.如图是下列四个函数中的某个函数的部分图象，则该函数是（）

9

2x-cosxx2cosx

A.y=B.y=

x2+1x2+l

2x-sin2x2%2_/

C.y=D.y=

x2+1x2+1

【答案】C

【解析】

【分析】根据函数的奇偶性及特殊值的函数值，结合已知函数图象，即可选择.

【详解】由题图可知该函数为偶函数，x=l时的函数值接近于1,

2x-cosx-2xcos(-x)_2x♦cosx

对于A,y=/(x)=,/（一力一/（尤），函数

2

x2+1(r『+lx+1

为奇函数，故排除A；

71

cos

对于B,X=1时,cosl=也，故排除B：

y------<_4

224

对于C,x=l时，y=sin2接近于1,故C符合;

y=g,故排除D；

对于D,x=l时,

故选：C.

7.《九章算术》中有如下问题：“今有圆亭（圆亭可看作圆台），下周三丈，上周二丈，高

一丈则该圆亭的侧面积为（）

A.“1+1平方丈B.5"兀2+1平方丈

4714兀

C.+1平方丈D.13+5屈71平方丈

2兀4兀

【答案】B

【解析】

【分析】由条件求圆台的底面半径和侧棱长，再由圆台侧面积公式求解.

【详解】如图，A8CO是圆台的轴截面，0,”分别为AB,8的中点，

则过点C作CGLAB于G,

31

由题意知0B=—丈，HC=一文,CG=1丈，

2兀71

10

74K2+1

所以该圆亭的侧面积为S=TI(OB+HC)-BC=

2兀

所以5=毡匹i(平方丈).

8.已知a=log3夜,b=log43,c=0.3<2,则（）

A.a>b>cB.b>c>a

C.c>a>bD.c>b>a

【答案】D

【解析】

【分析】根据对数函数以及指数函数的单调性，即可比较大小.

【详解】因为a=glog32<；,<=log42<log43=b<l,c=0.342>i,所以c>8>a.

故选:D

9.在平面四边形A8CD中，AB1BC,AC±CD,AB^BC=CD,若

AC=AAB+^iAD,则彳+〃=()

43

A.—B.J2C.—D.2

32

【答案】B

【解析】

【分析】设AB=&，建立以AC所在直线为x轴，AC的垂直平分线为丁轴的平面直角

坐标系，利用平面向量的坐标法即可得答案.

【详解】设AB=J5，

如图，以AC所在直线为X轴，AC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，

11

则A（-1,0）,B（0,-l）,C（l,0）,£>（l,V2）,AC=（2,0）,AB==（2,何,

因为AC=/IAB+〃A£）,所以（2,0）=/l（l,—l）+〃（2,a）,

A.+2u-2

所以〈r,

-/l+V2//=0

解得A=2>/2—2,//=2—y/2,所以几+〃=s/2.

故选：B

A./（X-4TC）=/（X）

C./ly-2X/（2x）D.心+升《一2冶)

【答案】D

【解析】

【分析】根据周期的计算可判断A,根据对称轴以及对称中心可判断BC,代入验证

/12x+§J,/(-的表达式可判断D.

2元

【详解】由f(x)=cos(gx-t)，得/(x)的最小正周期为1=1=4无，故选项A正确;

因为一~=c°s(一万］=°,所以/(x)关于点［--1，0卜寸称,故选项B正确；

因为/cos0=l,所以〃x)关于直线无=1对称，故选项C正确;

12

_71)1(-71)7t兀

L因为2尤+彳|=cos2x+--—cosx,而f

k3)213766

，所以/(2x+1Jw/(_2x_g

=C°W=8S(Y)故选项D错误.

故选：D

11.已知A,8,C三点在球。的球面上，且ACJ.8C,4C=2j5,3C=2,若球。上的动

点。到点A,8,C所在平面的距离的最大值为、/+百，则球0的表面积为()

A.16%B.24%C.8瓜兀D.

24娓兀

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意可得当点O到平面ABC的距离最大时，。与AB在球的大圆截面且

ODLAB,根据勾股定理求出球的半径，代入表面积公式即可求解.

【详解】因为4C，3C,AC=2j5,3C=2,所以48=26，则外接圆半径为

5

当点。到平面ABC的距离最大时，。与A3在球的大圆截面且0£>_LAB，

所以球0的半径R满足：/?2=(V3)2+(V3+V6-/?)2,

解得R=逐，所以球。的表面积为4万浦=24%.

故选：B.

〃2

12.已知正数。力满足"+'n了=1,则()

a+ba

A.a2>bB.a2<b

C.a>b2D.a<b2

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意将已知条件化简可得Ina—L=ln。—@+'>始2-0,构造函数

aabbab

13

/(x)=lnx--,利用导数判断函数的单调性，进而求解.

/2

+〃n一1阳1。1la.11“。1】/?。人

【详解】由h_1得In一=一+------,lna——=In-----+—>In-----，令

:=—babbaabbab

a+ba

/(x)=lnx--,则因为/，(幻=_1+4>0,所以函数f(x)在(0,+e)

h

上单调递增，则有a>—,即〃>>

a

故选：A.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

x-3y-l<0

13.若乂丁满足约束条件<2x+y-2<0,则x-2y的最小值为.

3x-2j+4>0

【答案】-4

【解析】

【分析】作出可行域，令x-2y=z,由几何意义得出最值.

【详解】作出可行域如图中阴影部分所示，令x-2y=z,平移直线丁=3^,

则当直线x-2y=z过点A(0,2)时，z取最小值，所以x—2y的最小值为0—2x2=T.

故答案为：—4

14.若直线y=2x-a与曲线y=21nx+Z?相切，则。+。=.

【答案】2

14

【解析】

【分析】根据导数的几何意义进行求解即可.

2

【详解】设切点坐标为（.为），由曲线y=21nx+A可得y'=『

2=2

xo=1

则《

y0=2x0-a解得，y0=2-a,所以a+b=2

2-a=b

y0=2}nx0+b

故答案为：2

15.椭圆7+F=l（a〉b>0）的四个顶点为A、B、C>D,若四边形ABC。的内切圆

恰好过椭圆的焦点，则椭圆的离心率是.

【答案】近二1

2

【解析】

【分析】根据题意和四边形A8CD内切圆的性质，分析可得其内切圆的半径的大小等于椭

圆的半焦距的长度，进而得到关于。、。的方程进行求解.

【详解】易知边的直线方程为：-+^-=1,

ab

即6x+ay-ab=0,

则平行四边形ABCD的内切圆的圆心是椭圆的中心,

ab

半径为中心。到直线bx+ay-ab=O的距离r=

\la2+b-

15

即42m2一°2）=（2/_c2）。2,

即c4-342c2+/=0,

即/_3/+1=0，

解得e2="i或e2=±b5>i（舍）,

22

则e=逅=苴二1.

V22

故答案为：叵口.

2

16.在一ABC中，点。在边BC上，AB=BD+l,AC=DC+l,AD^y/2,则边BC的最

小值为.

【答案】1

【解析】

【分析】在VAB£>,VA£>C中，利用余弦定理求出8。,。。的关系，再结合基本不等式求最

值.

【详解】令B£）=x,£）C=y,则A8=x+1,AC=y+1,又AD=叵，在VA8O,VA£）C

厂+2—（X+1）-।丁+2一（。+1）2

中,由余弦定理可得=0,

2>/2x2岳

化简整理得4孙=x+y,因为x>0,y>0,所以（x+y）224孙，所以（x+y）?Nx+y,

即x+yNl,当且仅当x=y时等号成立，所以5c的最小值为1.

故答案为：1

三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必

考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选做题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17.已知数列｛见｝的前"项和为S”,4=1,4=2,且〃..2时，S,川=4S.T+3.

（1）求数列｛q｝的通项公式；

（2）记2=4（%—2）,求数列｛4｝的前八项和7”.

16

【答案】(1)%=2"T

A"+5

(2)T=-------2,,+l

"3

【解析】

【分析】根据S“与%的关系，求出通项公式；

运用分组求和法求和.

【小问1详解】

因为〃22时，S“M=4S,I+3,所以“22时，

S“+2=4S.+3,两式相减可得:S“+2-S”M=4(S“一，

所以〃22时，4+2=4”“，

乂4=1,。2=2,〃eN>%=2~,%=2。/=2、4=2,,,cin+l=2an,即｛q,｝是首项

为1.

公比为2的等比数列，所以｛4｝的通项公式为。“=2"-'：

【小问2详解】

由(1)知a=4(4-2)=4,2—2%=4"-2".

23

所以雹=4+%++2=(1+4+42++4«-')-(2+2+2++2")

「一4"2(1-2")«+5*

1-41-23

4〃4-S

所以数列｛2｝的前"项和7；=土F-2,,+|；

综上，an=2'-',7；==1—2"，

18.据统计，某校高三打印室1-4月份购买的打印纸的箱数如表:

月份代号r1234

打印纸的数量y(箱)60657085

17

（1）求相关系数r,并从/•的角度分析能否用线性回归模型拟合y与r的关系（若卜|20.75,

则线性相关程度很强，可用线性回归模型拟合）；

（2）建立y关于/的回归方程，并用其预测5月份该校高三打印室需购买的打印纸约为多

少箱.

参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据（x,,yj（i=l,2,3,,〃），其回归直线

§=》x+%的斜率和截距的最小二乘估计分别为

£（为一可（》一歹）Zx/一衣9

b=上―............=母-----------,a^y-bx,

x-J2

E（-）^xr-rix-

i=\/=1

£（一）（»-刃

相关系数「二建旦了

2

Jta-灯料（%-歹）

\i=l1Vi=\

参考数据：V70®8.37

【答案】（1）0.957,线性相关程度很强，可用线性回归模型拟合y与1的关系;

⑵y=8f+50,90箱.

【解析】

【分析】（1）利用相关系数公式结合条件即得;

（2）根据最小二乘法可得线性回归直线方程，然后将r=5代入回归方程即得.

【小问1详解】

,,皿g—r,Fi—1+2+3+45__60+65+70+85

由己知数据可得，=-----------=一,了=

424

44

又》=『+2?+3?+4?=30》y.=602+652+702+852=19950，

i=li=\

4

2注=1x60+2x65+3x70+4x85=740,

i=\

18

44

EU-?)(x-y)2?，)厂4fy

i=li=l

所以「

44

T序fN”4尸柩#-4歹2

740-4x-x70

2

V19950-4X702

40

75x7350噜…,

因为r>().75,所以线性相关程度很强，可用线性回归模型拟合），与f的关系;

【小问2详解】

4

-行y740-4X-X70.

________2_____40

因为人二鸟----------8,4=70-8x2=50,

3。-咤厂5

刀-4尸2

i=l

所以y关于r的回归方程为y=8t+50'

将l=5代入回归方程，得9=8x5+5（）=90箱，

所以预测5月份该校高三打印室需购买的打印纸约为90箱.

19.如图，三棱柱ABC-中，AB=BC=4A=4。,。是AC的中点，AB,1BD.

B

（1）证明：g。，平面ABC；

（2）若45=正，点与到平面的距离为巫，求三棱锥G-4SC的体积.

2

【答案】（1）证明见解析

19

【解析】

【分析】(1)根据AB=8C,。是AC的中点得到BD1AC，利用线面垂直的判定得到BD±

平面A8C，进而得到8。工用。，再利用线面垂直的判定即可证明；

(2)根据线面垂直的判定得到AC_L平面6片。，进而得到面面垂直，利用面面垂直的性

质，过点⑸作用”于点”，进而得到4"_L平面ACGA，求出所需的各边长，

进而计算即可求解.

【小问1详解】

因为=是AC的中点，

所以BOL4C,因为Ag_L8r>,AgcAC=A,A5「ACu平面

所以3。人平面ABC，又与。u平面AB。，

所以8£>_LBQ,

因为gA=4C。是AC中点，所以8QAAC,

又因为5。J.4£),BOcAC=。，8£),ACu平面ABC,

所以耳。，平面48c.

【小问2详解】

由(1)知50,AC,6QJ,AC,5Oc5Q=0,BD,B】Du平面BBQ,

所以AC_L平面8片。，因为AB=BC=5A=BC，所以60=与。，

取AG的中点R,连接DR,BR,

可得BBt//DD],所以平面BDD,B,即为平面BBQ,又ACu平面ACC^,

所以平面溢，平面ACGA，

过点B,作用"_LDD]于点H,则用H1平面ACC.A，

所以旦”=也，

12

在三棱柱ABC-AAG中，四边形月为平行四边形，

所以NBIBD=NBIRD,因BD=BQ,

所以NBiBD=NBBQ=W，所以8。=与，=1,所以B1B=桓,

又因为A8=J1，所以AD=1,.

因为与。,平面ABC,

乂=-x—x2xlxl=i,

所以忆棱锥坛-A8C=§*/*ACDBxDB[

1323

因为吃棱锥G-A8C=%棱飒-A8C，所以匕棱锥G-A4c=§•

20.已知函数/(1)=公2-x+(x+l)lnr.

（1）当。=0时，求/（X）的单调区间;

（2）若/（X）存在极值点，求实数”的取值范围.

【答案】（1）/（X）的单调递增区间为（0,+。），无单调递减区间

（2）（-00,0）

【解析】

【分析】（1）对原函数求导，二次求导研究导函数值的符号，确定原函数的单调区间；

（2）“X）存在极值点，，即一2。=4+如存在变号实根，构造〃（力=二+也，利用

XXXX

导数研究/2（X）的单调性并分析，求范围即可.

【小问1详解】

/（x）的定义域为（（）,+"），当a=0时，域（x）=-x+（x+l）lnx,

21

则广(x)=lnx+L令g(x)=/'(x)，贝iJg'(x)=，--r=

当xe(O,l)时，g'(x)<0,g(x)单调递减，xe(l,+8)时，g'(x)>0,g(x)单调递增,

所以/'(x)=g(x)»g(1)=1>。，所以〃x)在(0,+©)上单调递增，

所以/(x)的单调递增区间为(0,+")，无单调递减区间.

【小问2详解】

“X)存在极值点等价于/'(x)=2ox+J+lnx存在变号零点，等价于-2a=5+1?存在

变号实根，

.,/X1In%r-，/\x-xlnx-2

令/z(x)=1+-^,则/(x)=——3——，

令9(x)=x_xln%_2,则0'(x)=_lnr,

当尤e(O,l)时，"(x)>0,夕(x)单调递增，

当xe(l,+8)时,“(x)<0,0(x)单调递减，

所以e(%)4夕(1)=一1<0,

所以〃'(x)<0,所以〃(x)单调递减，

令y=l+xlnx,xe(0,+e),所以y'=l+lnx,令y'=0,解得

e

当0<x<1时，><0,所以y=l+xlnx在(0」)上单调递减，

ee

当x>［时，y>0,所以y=l+xlnx在(1,+8)上单调递增，

e

所以当x=,时，y=l+xlnx取得极小值即最小值，

e

所以y=l+xlnxNl+』lnL=l-4>0,所以/z(x)=±+>0,

eeex~x

1

+Inx

一2T

当x无限趋I可于0时,X趋向于正无穷大,

当x无限趋向于正无穷大时，/z(x)=-V+U竺趋向于0,所以一2。>0,即。<0.

XX

故实数。取值范用为(-8,0).

21.已知点厂为抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点，点M(4,a)在抛物线上，且上河|=6.

22

（1）求抛物线。的方程;

（2）过点F分别作两条互相垂直的直线与抛物线C分别交于A8与P,。，记

_AFP,_BFQ的面积分别为S],S2,求，+S2的最小值.

【答案】（1）V=8x

（2）32

【解析】

【分析】（1）利用定义法求出抛物线的方程；

（2）抛物线焦点弦的性质：过抛物线的焦点F的直线与抛物线交于点A,8,设其方程为

lAB-.x=my+2,与抛物线联立，利用韦达定理，求出面积的表达式，然后将式子代入,

利用基本不等式即可求解.

【小问1详解】

由|FM|=6,知4+^=6,

所以〃=4,所以抛物线C的方程为y2=8x.

【小问2详解】

由题意知直线AB与PQ的斜率均不为0,

设4（%,M）,5（々,%）,尸（七,%），。（彳4，%），3：x=my+2,

x=my+2,今

联立《2o消去X得＞2-8m），-16=0,则y+%=8%

y=8x,

1Q

因为A5J_PQ,用一一替换加得/+%=一一，%为二一16

m

所以S1=^\AF\-\PF\=^l+m2

52=；|叫3=91+苏|讣/系刃=嗡•昆切，

cc11+m2

所以S]+S2=-X"

23

1+ITT[,{/111

—：~7—xl6=16+|加|>32,当且仅当网=网,"?=±1时等号成立.

加