空间几何体的表面积与体积8大题型

空间几何体的表面积与体积8大题型

空间几何体的结构特征与斜二测画法是立体几何的基础，空间几何体的表面积和

体积是高考的重点与热点。几何体的表面积与体积与多个结合体结合是主要的命

题形式，有时作为解答题的一个构成部分考查几何体的表面积与体积，有时结合

面积、体积的计算考查等积变换等转化思想。考生在复习时，不仅要对空间几何

体的基本结构了如指掌，还应加强几何体表面积和体积的多种方法训练。

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满分技巧

一、立体图形的直观图的画法

斜二测画法：我们常用斜二测画法画空间图形及水平放置的平面图形的直观图.

(1)"斜"：在已知图形的%0y平面内与x轴垂直的线段,在直观图中均与%'轴承

45°或135°

(2)"二测"：两种度量形式，即在直观图中，平行于，轴或/轴的线段长度不变；

平行于y'轴的长度变成原来的一半.

二,常见几何体的外接球

1、长方体的外接球：长方体的同一顶点的三条棱长分别为a.h,c,外接球的

半径为R,

贝！］=y/a2+b2+c2

2、正方体的外接球：正方体的棱长为a,外接球半径为R,则2R=V3a

长方体的外接球正方体的外接球

3、直棱柱的外接球：直棱柱的外接球球形是上下底面三角形外心的连线的中点

4、正棱锥的外接球：正棱推顶点在底面的投影为底面多边形的外心，球心在高

线上。

V-6a

（1）正三棱锥：设正三棱锥的棱长a,外接球的半径R=4

V-2

2a

（2）正四棱锥：设正四棱锥的棱长为a,外接球半径R=

三、能补形为长方体的类型

1、墙角模型：找三条两两垂直的线段，直接用公式（2尺）2=/+〃+/,即

2R=yla2+b2+c2,求出R

【补充】图1为阳马，图2和图4为鳖月需

2、对棱相等：对棱相等指四面体的三组对棱分别对应相等，且这三组对棱构成

长方体的三组对面的对角线。

推导过程:三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等（AB=CD,AD=BC,

AC=BD)

第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；

第二步：设出长方体的长宽高分别为仇。，

AD=BC=xfAB=CD=y,AC=BD=z,

列方程组,

2222

/+,2=y2n（2R）=a+b+c=」士，士三

补充：VA_BCD=abc——abcx4=-abc

第三步：根据墙角模型，2R-^a2+b2+c2=+Z

四、最短路径问题解题思路

1、解题思想：化曲为直，化折为直，立体展开成平面

2、方法总结：解决空间几何体表面最短路径问题关键是把立体图形平面化，即

把立体图形沿着某一条直线展开，转化为平面问题之后，借助"两点之间，线段

最短"，构造三角形，借助解三角形的方法求解。

热点题型解读

题型1空间几何体的结构特征题型5空间几何体中的最短路径

题型2空间几何体的表面积题型6空间几何体的外接球

空间几何体的

表面积与体积

题型3空间几何体的体积题型7空间几何体的内切球

题型4斜二测画法及应用题型8空间几何体的截面问题

【题型1空间几何体的结构特征】

【例11（2022.全国.高三专题练习）以下四个命题中，真命题为（）

A.侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥

B.底面是矩形的平行六面体是长方体

C.直四棱柱是直平行六面体

D.棱台的侧棱延长后必交于一点

【变式2]（2023.重庆沙坪坝.重庆南开中学校考模拟预测）已知〃：“四棱柱

A8C0-A8CQ是正棱柱”，q-“四棱柱钻8-ABQQ的底面和侧面都是矩形”,

则〃是夕的（）条件

A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充

分也不必要

【变式1-2]（2023秋・浙江杭州•高三浙江省桐庐中学期末）（多选）下列命题正

确的是（）

A.两个面平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台

B.棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形

C.用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形

D.棱柱的面中，至少有两个面互相平行

【变式1-3]（2023安徽淮北统考一模）如图所示,在三棱台ARC-ABC中，沿

平面KBC截去三棱锥ABC,则剩余的部分是（）

A.三棱锥B.四棱锥C.三棱柱D.组合体

【变式1-4]（2022・全国.高三专题练习）正方体ABCD-AECQ中，用平行于A4

的截面将正方体截成两部分，则所截得的两个几何体不可能是（）

A.两个三棱柱B.两个四棱台C.两个四棱柱D.一个三棱柱

和一个五棱柱

【题型2空间几何体的表面积】

［例2］（2023・云南曲靖•统考一模）如图是某灯具厂生产的一批不倒翁型台灯外

形，它由一个圆锥和一个半球组合而成，圆锥的高是0.4m,底面直径和球的直

径都是0.6m,现对这个台灯表面涂胶，如果每平方米需要涂200克，则共需涂

胶（）克（精确到个位数）

A.176B.207C.239D.270

【变式2-1］（2023•河南郑州•统考一模）河南博物院主展馆的主体建筑以元代登

封古观星台为原型，经艺术夸张演绎成'戴冠的金字塔'造型，冠部为“方斗”形，

上扬下覆，取上承“甘露”、下纳“地气”之意.冠部以及冠部下方均可视为正四棱

台.已知一个“方斗”的上底面与下底面的面积之比为1：4，高为2,体积为三，

则该“方斗”的侧面积为（）

A.24B.12C.24x/5D.12所

【变式2-2］（2023•全国•模拟预测）如图1是一栋度假别墅，它的屋顶可近似看

作一个多面体，图2是该屋顶的结构示意图，其中四边形ABbE和四边形DCFE

是两个全等的等腰梯形，AB//CD//EF，一和阳C是两个全等的正三角形.已

知该多面体的棱与平面A3CO所成的角为45。，A8=20,BC=10，则该屋顶

图2

A.100B.10()73C.200D.200^

【变式2-3】（2023•湖北武汉统考模拟预测）某车间需要对一个圆柱形工件进行

加工，该工件底面半径15cm,高10cm,加工方法为在底面中心处打一个半径为

rem且和原工件有相同轴的圆柱形通孔.若要求工件加工后的表面积最大，则一

的值应设计为（）

A.VlOB.V15C.4D.5

【变式2-4］（2023春・江苏常州•高三校联考开学考试）已知正三棱柱ABC-

与以A8C的外接圆为底面的圆柱的体积相等，则正三棱柱与圆柱的侧面积的比

值为（）

A.1B,-C.1D.2

2兀2

【题型3空间几何体的体积】

［例3］（2023春•天津滨海新•高三校联考开学考试）已知A,8,C是半径为近

的球。的球面上的三个点，且AC_LBC,AC=G,BC=1,则三棱锥O-A8C的体积

为（）

A.正B.1C.渔D.巫

6262

【变式3-1】（2023.全国.模拟预测）如图1,位于西安大慈恩寺的大雁塔是我国

现存最早、规模最大的唐代四方楼阁式砖塔，其最高处的塔刹可以近似地看成一

个正四棱锥，如图2,已知正四棱锥P-回。的高为4.87m,其侧棱与高的夹角

为45°,则该正四棱推的体积约为（）（4.87、115.5）

A.231m3B.179m3C.154m3D.77m3

【变式3-2］（2023.全国.模拟预测）如图，已知四棱柱ABCD-AMCQ的体积为V,

四边形ABC。为平行四边形，点E在CG上且CE=3四，则三棱锥。「ADC与三

棱锥的公共部分的体积为（）

c4D-7

【变式3-3】（2023•陕西西安・统考一模）盲盒是一种深受大众喜爰的玩具，某盲

盒生产厂商准备将棱长为8cm的正四面体的魔方放入正方体盲盒内，为节约成本,

使得魔方能够放入盲盒且盲盒棱长最小时，盲盒内剩余空间的体积为（）

C*cm；512&

A.B.D.cm3

3333

【变式3-4]（2023•云南红河・统考一模）如图所示是一块边长为10cm的正方形

铝片，其中阴影部分由四个全等的等腰梯形和一个正方形组成，将阴影部分裁剪

下来，并将其拼接成一个无上盖的容器（铝片厚度不计），则该容器的容积为（）

C.80gom3D.104石cm?

3

【题型4斜二测画法及应用】

【例4】（2023•全国•高三专题练习）如图，RCOW*是一个平面图形的直观图,

若=0,则这个平面图形的面积是（)

C.2A/2D.4及

【变式4-1】（2022•全国•高三专题练习）如图，AEC，是水平放置的△ABC的斜

二测画法的直观图，其中O'C'==2O7T,J1IJAABC是（）

A.钝角三角形B.等腰三角形，但不是直角三角形

C.等腰直角三角形D.等边三角形

【变式4-2】（2022.全国•高三专题练习）如图，平行四边形O'AB'C是水平放置的

一个平面图形的直观图，其中。'4=5,09=2,/AOC=30,则原图形的面积是

)

D.572

【变式4-3】（2022•全国•高三专题练习）如图，△0/5是水平放置的OA8的直

观图，A'。=6,BO=2,则线段A8的长度为（）

D.4713

【变式4-4】（2022.全国•高三专题练习）如图，AEC表示水平放置的"C根

据斜二测画法得到的直观图在V轴上，8'C与V轴垂直，且8'C'=2JOABC

的边43上的高为（）

A.yj2B.2应C.4D.4x/2

【题型5空间几何体中的最短路径】

【例5】（2023•高三课时练习）如图，圆柱的高为2，底面周长为16，四边形ACDE

为该圆柱的轴截面，点B为半圆弧CD的中点，则在此圆柱的侧面上，从A至!JB

的路径中，最短路径的长度为（）.

A.2V17B.2石C.3D.2

【变式5-1]（2022・全国•高三专题练习）如图是一块长、宽、高分别为6cm、4cm、

3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表

面到长方体上和A相对的顶点8处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是

C.9cmD.(3+2VF3)cm

【变式5-2]（2022.全国.高三专题练习）一竖立在水平地面上的圆锥形物体，一

只蚂蚁从圆锥底面圆周上一点2出发，绕圆锥表面爬行一周后回到2点，已知圆

锥底面半径为1,母线长为3,则蚂蚁爬行的最短路径长为（）

A.3B.3gC.兀D.2兀

【变式5-3]（2022・全国•高三专题练习）如图所示，某圆锥的高为G,底面半径

为1,。为底面圆心,OA,0B为底面半径，且NA08=7,M是母线PA的中点,

则在此圆锥侧面上，从M到8的路径中，最短路径的长度为（）

A.6B.V2-1c.75D.V2+1

【变式5-4］（2022.全国.高三专题练习）如图，直三棱柱ABC-中,

M=2,AB=AC=1,/8AC=12（），点反尸分别是棱世困的中点，一只蚂蚁从点E

出发，绕过三棱柱ABC-A©G的一条棱爬到点尸处，则这只蚂蚁爬行的最短路程

【题型6空间几何体的外接球】

［例6］（2023・陕西西安・统考一模）在三棱锥A-5co,平面AC。，平面SCO,

ACQ是以CD为斜边的等腰直角三角形，△88为等边三角形，AC=4,则该三

棱锥的外接球的表面积为（）

【变式6-1］（2023秋•辽宁•高三校联考期末）正四棱台高为2,上下底边长分别

为2和4,所有顶点在同一球面上，则球的表面积为（）

A.32KB.33兀C.34兀D.35兀

【变式6-2】（2023•全国•模拟预测）如图，在四棱推S-AB8中，AD//BC,

AB=BC=CD=2,SA=4）=DS=4,P为侧棱SA的中点，贝！］四棱锥P—ABC。外

接球的表面积为（）

A.12万B.164C.20兀D.24乃

【变式6-3］（2023•广东梅州统考一模K九章算术》是我国古代著名的数学著作，

书中记载有几何体"刍管’.现有一个刍普如图所示，底面AB8为正方形，EF平

面ABC。，四边形AW石，CDEF为两个全等的等腰梯形，EF=；A8=2,且AE=指，

则此刍鲁的外接球的表面积为（)

C.68不D.727r

【变式6-4】（2023.山西临汾.统考一模）《九章算术・商功》提及一种称之为“羡除”

的几何体，刘徽对此几何体作注：“羡除，隧道也其所穿地，上平下邪.似两鳖月需

夹一堑堵，即羡除之形.”羡除即为：三个面为梯形或平行四边形（至多一个侧面

是平行四边形）,其余两个面为三角形的五面几何体.现有羡除ABCDEF如图所示,

底面ABC。为正方形，防=4,其余棱长为2,则羡除外接球体积与羡除体积之

A.2&兀B.gC.乎7tD.2兀

【题型7空间几何体的内切球】

【例7】（2023秋贵州铜仁•高三统考期末）已知正四棱推的体积为日，则该正

四棱锥内切球表面积的最大值为（）

【变式7-1】（2022秋.山东.高三利津县高级中学校联考阶段练习）已知三棱柱

ABC-4MG中，C,C±AC,\AYBC,平面RBC,平面44出，AC=5,若该三棱

4

柱存在体积为3%的内切球，则三棱推A-A8C体积为（）

A.12B.-4C.2D.4

【变式7-2]（2022.全国.模拟预测）已知某圆锥的轴截面为等边三角形，且该圆

锥内切球的表面积为12万，则该圆锥的体积为（）

A.4万B.4c兀C.9岛D.12岳

【变式7-3]（2022秋・北京昌平•高三昌平一中校考阶段练习）古希腊阿基米德被

称为“数学之神”.在他的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱里内切着一个球，这个球的

直径恰好等于圆柱的高，则球的表面积与圆柱的表面积的比值为（）

Bc

A.?-t-iD-i

【变式7-4]（2023.全国.校联考模拟预测）已知三棱锥P-ABC的所有顶点均在

半径为2的球的。球面上，底面他C是边长为3的等边三角形.若三棱锥P-

ABC的体积取得最大值时，该三棱锥的内切球的半径为「，则『=（）

A.lB.回C-Dg）

4214

【变式7-5]（2022秋•江苏南通・高三江苏省如东高级中学校考阶段练习）已知圆

台的内切球。与圆台侧面相切的切点位于圆台高的I处，若圆台的上底面半径为

出，则球的体积为.

【变式7-6】（2023・云南•高三云南师大附中校考阶段练习）古希腊伟大的数学家

阿基米德（公元前287~公元前212）出生于叙拉古城，在其辉煌的职业生涯中，

最令他引以为傲的是记录在《论球和圆柱》中提到的：假设一个圆柱外切于一个

3

球，则圆柱的体积和表面积都等于球的一倍半（即5）.现有球。与圆柱的

侧面与上下底面均相切（如图），若圆柱又是球的内接圆柱，设球，圆

柱。•的表面积分别为5，邑，体积分别为匕M,则与：邑=；V,：v2=

【题型8空间几何体的截面问题】

［例8］（2023・江西上饶•高三校联考阶段练习）用一平面去截一长方体,则截面

的形状不可能是（）

A,四边形B.五边形C.六边形D.七边形

【变式8-1】（2023湖南•模拟预测）已知三棱锥P-,。为BC中点，

PB=PC=AB=BC=AC=2，侧面P8C1底面ABC,贝I」过点。的平面截该三棱锥夕卜

接球所得截面面积的取值范围为（）

A.兀B,C,?,2兀D.［兀,2兀］

3233L1

【变式8-212023•全国・模拟预测）已知球。中有两个半径为2的截面圆。一Q,

_..27r

圆。与圆。2的相交弦4?=2,AB的中点为P,若卬股=可，则球。的表面

积为（）

A.26兀B.3071C.40兀D.52兀

【变式8-3］（2023春・浙江绍兴•高三统考开学考试底正棱台A8CO-AACQ中,

4?=2A4，M=百,知为棱的中点.当四棱台的体积最大时，平面截该四棱

台的截面面积是（）

A.述B.3亚C.孚D.6人

42

【变式8-4］（2022秋・安徽合肥・高三统考期末）已知正方体ABC。-A4GA的棱

长为2,M、N分别为44、的中点，过M、N的平面所得截面为四边形，

则该截面最大面积为（）

A.20B.26c.通D.I

22

【变式8-5】（2023秋•贵州铜仁高三统考期末）如图，在三棱锥A-88中,平

面A3£）_L平面CBO,AB=3C=C£）=AD=3£>=6,点M在AC上，AM=2MC,

点M作三棱锥A-B8外接球的截面，则截面圆周长的最小值为（）

A.127tB.10nC.87rD.4小

限时检测

（建议用时：60分钟）

1.（2022・全国•高三专题练习）下列说法正确的是（）

A.用一平面去截圆台，截面一定是圆面

B.在圆台的上、下底面圆周上各取一点，则两点的连线就是圆台的母线

C.圆台的任意两条母线延长后相交于同一点

D.圆锥的母线可能平行

2.（2022.全国•高三专题练习）如图,水平放置的4?C的斜二测直观图是图中的

ABV,若AC=2,A^=2,贝!]的面积为（）

A.2^2B.472C.8D.8&

3.（2023秋・广东清远•高三统考期末）在三棱锥A-灰刀中，“三棱锥A-3。为

正三棱锥”是“钻，CO且AC18D”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.（2022秋•安徽六安•高三六安一中校考阶段练习）一个水平放置的平面图形,

用斜二测画法画出了它的直观图，如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正

方形，则原平面图形的面积为（）

A.41B.4夜C.8D.8>/2

5.（2023春・江苏扬州•高三统考开学考试）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹

之一，其形状可视为一个正四棱锥，已知该金字塔的塔高与底面边长的比满足黄

金比例，即比值约为与1,则它的侧棱与底面所成角的正切直约为（）

A屈-五B--1C―+1D回+6

'2'2'2'

6.（2023•广东茂名•统考一模）已知菱形ABC。的各边长为2,48=60。.将一ABC沿

AC折起，折起后记点8为P,连接PD,得到三棱锥P-A8,如图所示，当三

棱锥P-ACD的表面积最大时，三棱锥P-A8的外接球体积为（）

A.—nB,—nC.2&D.逑兀

333

7.（2023秋・浙江绍兴・高三统考期末）在四棱锥E-A88中，正方形ABC。所在

平面与皿所在平面相互垂直，AEJ.BE,F为EC上一点，且出FEC,。为正方形

4

ABCD的中心，四棱锥E-MCZ）体积的最大值为］,贝U三棱锥。一成户的夕卜接球

的表面积为（）

E

A.3兀B.4兀C.5TID.6兀

8.（2023•福建漳州•统考二模）已知某圆锥的底面半径为1,高为百，则它的侧

面积与底面积之比为（）

A.yB.1C.2D.4

9.（2022秋・天津南开•高三统考阶段练习）用底面半径为3cm的圆柱形木料车出

7个球形木珠，木珠的直径与圆柱形木料的高相同.下料方法:相邻的木珠相切，

与圆柱侧面接触的6个木珠与侧面相切，如图所示是平行于底面且过圆柱母线中

点的截面.则7个木珠的体积之和与圆柱形木料体积之比为（）.

10.（2023秋・天津南开•高三南开中学校考阶段练习）已知一个正四棱柱所有棱

长均为3,若该正四棱柱内接于半球体，即正四棱柱的上底面的四个顶点在球面

上，下底面的四个顶点在半球体的底面圆内，则半球体的体积为（）.

A.生色兀B.54拒KC.27娓KD.276兀

2

11.（2023秋•江苏南通高三统考期末）在《九章算术•商功》中将正四面形棱台

体（棱台的上、下底面均为正方形）称为方亭在方亭ABCD-AAGR中，

A8=2Ag=4,方亭的体积为『,则侧面的面积为（）

A.3亚B.V7C.2x/2D.3而

12.（2023春湖北襄阳•高三襄阳市襄州区第一高级中学校考开学考试）如图，已

知四面体ABCDdp,AB=AC=BD=CD=2y/2,AD=BC=2,E,F分另（J是AD,BC的中

点.若用一个与直线EE垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面a去截该四面

体,由此得到一个多边形截面很1］该多边形截面面积的最大值为（)

13.（2023春・河南濮阳•高三统考开学考试）已知圆柱的下底面圆。2的内接

正三角形ABC的边长为6,P为圆柱上底面圆。上任意一点，若三棱锥他。

的体积为126,则圆柱0a的外接球的表面积为（）

A.367rB.647rC.1447tD.252兀

14.（2023秋•山东泰安・高三统考期末）在轴截面顶角为直角的圆锥内，作一内

接圆柱，若圆柱的表面积等于圆锥的侧面积，则圆柱的底面半径与圆锥的底面半

径的比值为（）

A/B.日C.1D.孝

15.（2023秋・河北保定•高三统考期末）已知三棱锥ABC的所有棱长均为2,

以BD为直径的球面与ABC的交线为L,则交线L的长度为（）

A2y/3itB4也怎c2"兀口4后兀

'9'9'9'9

16（2023春・湖南长沙•高三长沙一中校考阶段练习应四面体PA3C中，必，至，

PAA.AC,N84C=120。，AB=AC=AP=2，则该四面体的夕卜接球的表面积为（）

A.12KB.16KC.187：D,207r

17.（2023・贵州毕节统考一模）正方体ABCO-ABCa的棱长为夜，点加为A田

的中点，一只蚂蚁从〃点出发，沿着正方体表面爬行，每个面只经过一次，最

后回到M点.若在爬行过程中任意时刻停下来的点与M点的连线都与AG垂直,

则爬行的总路程为（）

D.3

18.（2023.广东深圳.统考一模）如图，一个棱长1分米的正方体形封闭容器中盛

有V升的水，若将该容器任意放置均不能使水平面呈三角形，则V的取值范围

19.（2023.湖南•模拟预测）在三棱锥A-中，A3」平面BC。，

BCLCD,CD=2AB=2BC=4,则三棱锥A-BCD的外接球的表面积与三棱推

A-B8的体积之比为（）

A.B.乎C.2兀D.9兀

42

20.（2023安徽合肥统考一模）已知正方体ABCO-ABCP的棱长为4,M,N

分别是侧面3和侧面8G的中心，过点M的平面”与直线N。垂直，平面a截

正方体AC所得的截面记为S,则S的面积为（）

A.B.46C.7瓜D.9"

热点7-1空间几何体的表面积与体积8大题型

空间几何体的结构特征与斜二测画法是立体几何的基础，空间几何体的表面积和

体积是高考的重点与热点。几何体的表面积与体积与多个结合体结合是主要的命

题形式，有时作为解答题的一个构成部分考查几何体的表面积与体积，有时结合

面积、体积的计算考查等积变换等转化思想。考生在复习时，不仅要对空间几何

体的基本结构了如指掌，还应加强几何体表面积和体积的多种方法训练。

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满分技巧

一、立体图形的直观图的画法

斜二测画法：我们常用斜二测画法画空间图形及水平放置的平面图形的直观图.

(1)"斜"：在已知图形的%0y平面内与x轴垂直的线段,在直观图中均与%'轴承

45°或135°

(2)"二测"：两种度量形式，即在直观图中，平行于，轴或/轴的线段长度不变；

平行于y'轴的长度变成原来的一半.

二,常见几何体的外接球

1、长方体的外接球：长方体的同一顶点的三条棱长分别为a.h,c,外接球的

半径为R,

贝！］=y/a2+b2+c2

2、正方体的外接球：正方体的棱长为a,外接球半径为R,则2R=V3a

长方体的外接球正方体的外接球

3、直棱柱的外接球：直棱柱的外接球球形是上下底面三角形外心的连线的中点

4、正棱锥的外接球：正棱推顶点在底面的投影为底面多边形的外心，球心在高

线上。

V-6a

（1）正三棱锥：设正三棱锥的棱长a,外接球的半径R=4

V-2

2a

（2）正四棱锥：设正四棱锥的棱长为a,外接球半径R=

三、能补形为长方体的类型

1、墙角模型：找三条两两垂直的线段，直接用公式（2尺）2=/+〃+/,即

2R=yla2+b2+c2,求出R

【补充】图1为阳马，图2和图4为鳖月需

2、对棱相等：对棱相等指四面体的三组对棱分别对应相等，且这三组对棱构成

长方体的三组对面的对角线。

推导过程:三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等（AB=CD,AD=BC,

AC=BD)

第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；

第二步：设出长方体的长宽高分别为仇。，

AD=BC=xfAB=CD=y,AC=BD=z,

列方程组,

2222

/+,2=y2n（2R）=a+b+c=」士，士三

补充：VA_BCD=abc——abcx4=-abc

第三步：根据墙角模型，2R-^a2+b2+c2=+Z

四、最短路径问题解题思路

1、解题思想：化曲为直，化折为直，立体展开成平面

2、方法总结：解决空间几何体表面最短路径问题关键是把立体图形平面化，即

把立体图形沿着某一条直线展开，转化为平面问题之后，借助"两点之间，线段

最短"，构造三角形，借助解三角形的方法求解。

热点题型解读

题型1空间几何体的结构特征题型5空间几何体中的最短路径

题型2空间几何体的表面积题型6空间几何体的外接球

空间几何体的

表面积与体积

题型3空间几何体的体积题型7空间几何体的内切球

题型4斜二测画法及应用题型8空间几何体的截面问题

【题型1空间几何体的结构特征】

【例11（2022.全国.高三专题练习）以下四个命题中，真命题为（）

A.侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥

B.底面是矩形的平行六面体是长方体

C.直四棱柱是直平行六面体

D.棱台的侧棱延长后必交于一点

【答案】D

【解析】A中，如图，若AD=BD=AC=BC,且AOwDC,

则该三棱锥不是正三棱锥，A是假命题；

B中，平行六面体中侧棱与底面矩形不一定垂直，B是假命题；

C中，直四棱柱的底面不一定是平行四边形，

故直四棱柱不一定是直平行六面体，C是假命题；

D中，根据棱台的定义，D是真命题.故选：D

【变式1-1】（2023•重庆沙坪坝•重庆南开中学校考模拟预测）已知"："四棱柱

ABCO-AMCQ是正棱柱”，q:“四棱柱钻。-AACQ的底面和侧面都是矩形”,

则〃是4的（）条件

A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充

分也不必要

【答案】A

【解析】当四棱柱AB。-ABCQ是正棱柱时，其底面为正方形，侧面为矩形，

即2是4的充分条件；

当四棱柱ABCD-4禺CQ的底面和侧面都是矩形时，底面不一定是正方

形，

故四棱柱ABCD-AfCQ不一定是正棱柱，

故?不是夕的必要条件，则?是夕的充分不必要条件，故选：A

【变式1-2］（2023秋・浙江杭州•高三浙江省桐庐中学期末）（多选）下列命题正

确的是（）

A.两个面平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台

B.棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形

C.用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形

D.棱柱的面中，至少有两个面互相平行

【答案】BD

【解析】对A,棱台指f棱锥被平行于它的底面的一个平面所截后，

截面与底面之间的几何形体，其侧棱延长线需要交于一点，故A错误；

对B,棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形，故B正确；

对C,用平面截圆柱得到的截面也可能是椭圆，故C错误；

对D,棱柱的面中，至少上下两个面互相平行，故D正确；故选：BD

【变式1-3]（2023.安徽淮北.统考一模）如图所示，在三棱台Od-ABC中,沿

平面A'BC截去三棱锥ABC,则剩余的部分是（）

A.三棱锥B.四棱锥C.三棱柱D.组合体

【答案】B

【解析】三棱台A'8'C'-A8C中，沿平面48c截去三棱推,

剩余的部分是以4为顶点，四边形BCC'B'为底面的四棱锥A-3CC®教

选：B.

【变式1-4]（2022.全国•高三专题练习）正方体"CO-A4CQ中,用平行于4瓦

的截面将正方体截成两部分，则所截得的两个几何体不可能是（）

A.两个三棱柱B.两个四棱台C.两个四棱柱D.一个三棱柱

和一个五棱柱

【答案】B

【解析】在正方体AB。-ABCQ中，连接触,明，

因为ABJ/CQ,4由a平面4。。田，GRu平面ARGB,

所以44〃平面ADC/,则截面ADC/把正方体截成两个三棱柱；

分别取AA，4G，阴，小的中点E，F，G,",连接EF,FG,GH,HE,

则可得EF//A圈//G",又£Fu平面EFG”,人田仁平面EFG”,

AA耳〃平面EFG”,则截面EFG”把正方体截成一个三棱柱和一个五棱

柱；

分别在BC,AD上取点M,N使MB=；BC，NA=：AD,

同理可得平面EFMN,则截面EFMN把正方体截成两个四棱柱；

不存在平行于A声的截面将正方体截成两个四棱台.故选：B.

【题型2空间几何体的表面积】

［例2］（2023.云南曲靖.统考一模）如图是某灯具厂生产的一批不倒翁型台灯外

形，它由一个圆锥和一个半球组合而成，圆锥的高是0.4m,底面直径和球的直

径都是0.6m,现对这个台灯表面涂胶，如果每平方米需要涂200克，则共需涂

胶（）克（精确到个位数）

C.239D.270

【答案】B

【解析】由已知得圆锥的母线长1=由已+0.4?=0.5,

所以台灯表面积为S=nrl+2nr2=7tx0.3x0.5+27tx0.32=0.33兀,

需要涂胶的重量为033兀x200=66兀a66x3.14=207.247207（克），故选：

B.

【变式2-1】（2023河南郑州统考一模）河南博物院主展馆的主体建筑以元代登

封古观星台为原型，经艺术夸张演绎成“戴冠的金字塔”造型，冠部为“方斗”形，

上扬下覆，取上承“甘露”、下纳“地气”之意.冠部以及冠部下方均可视为正四棱

台.已知一个“方斗”的上底面与下底面的面积之比为1：4，高为2,体积为三，

则该“方斗”的侧面积为（）

A.24B.12C.24不D.12小

【答案】D

【解析】由题意可知，记正四棱台为,其底面为正方形,

侧面为四个等腰梯形，把该四棱台补成正四棱锥如图，

p

设M是底面ABCD±AC与8D的交点，N是底面AgCQ上AG与BR的

交点

则PM是正四棱推P-ABCC的高，MN为正四棱台ABCD-A耳CQ的高,

设A4="，AB=b,则上、下底面的面积分别为a?、从，

由题意/：〃=1:4,所以b=2a,

在，9中，会=噜="所以A为相的中点，

1A/\DZ

在"中，鲁=鉴=；，所以MN=1M=2，所以必/=4,

PAPM22

又％c/fB1c附=gx（/+ax6+/）x2=*=m,解得a=2,匕=4,

所以E4=JP“+AM2=也2+（2扬2=2",

所以侧棱长4A是后,由勾股定理可得侧面的高为〃=J（病2-F=6,

所以侧面积为S=4xgx（2+4）*石=12后故选：D

【变式2-2】（2023•全国•模拟预测）如图1是一栋度假别墅，它的屋顶可近似看

作一个多面体，图2是该屋顶的结构示意图，其中四边形A3正和四边形DCFE

是两个全等的等腰梯形，AB//CD//EF,£AD和阳C是两个全等的正三角形.已

知该多面体的棱引7与平面A8CD所成的角为45。，A8=20,BC=10，则该屋顶

A.100B.IOOGC.200D.200^3

【答案】D

【解析】如图，过点F作平面A8CO,0为垂足，

作小，他于点N,连接OB,ON,则“30=45°,

因为F。，平面ABCD,。8,ONu平面ABCD,

所以尸O_L08,F0JLON,

易知3尸=10,：.OF=OB=5y/2.

在直角三角形"W中，易知0N=/C=5，:.FN=5上,

二在直角三角形F8/V中,BN=5,

，£^=20—2x5=10,二S梯彩枷£=gx(10+20)x5G=75G,

S»BC=¥x1O。=256,

,该屋顶的表面积为2x(756+25@=200打，故选：D.

【变式2-3】（2023•湖北武汉・统考模拟预测）某车间需要对一个圆柱形工件进行

加工，该工件底面半径15cm,高10cm,加工方法为在底面中心处打一个半径为

rem且和原工件有相同轴的圆柱形通孔.若要求工件加工后的表面积最大，则r

的值应设计为（）

A.MB.V15C.4D.5

【答案】D

【解析】大圆柱表面积为2x15?7r+10x2xl57r=750n

小圆柱侧面积为10x2口，上下底面积为2兀户

所以加工后物件的表面积为750兀+20兀-2兀/，当r=5时表面积最大.故

选：D

【变式2-4]（2023春•江苏常州•高三校联考开学考试）已知正三棱柱ABC-ASG

与以的外接圆为底面的圆柱的体积相等，则正三棱柱与圆柱的侧面积的比

值为（）

A.JB.-C.1D.2

2兀2

【答案】D

【解析】设一的边长为J外接圆半径为『，例=〃，

由正弦定理得近，则「=冬，九Cie,,争=¥"%,

2

1a4兀

设圆柱的高为〃，丫酶=5/兀〃=父4",:,b=-^-j=h,

4兀

正三棱柱的侧面积5雌=3他=3〃1万/2,圆柱的侧面积S髀

=2Ttrh=2n--ah,

3

3a.与h

正三棱柱与圆柱的侧面积的比值为一差一=2,故选：D.

In-^a-h

3

【题型3空间几何体的体积】

[例3]（2023春・天津滨海新•高三校联考开学考试）已知A,8,。是半径为右

的球。的球面上的三个点，且AC_LBC,AC=BC=1,则三棱锥。-ABC的体积

为（）

A.正B.显C."D.也

6262

【答案】A

【解析】由题意，BA=2,设AB中点为。，

由直角三角形斜边上的中线等于斜边一半可得4）=BD=CD=1,

则。。，他（三线合一），根据勾股定理，OD=而二而=1,

连接8,^OC2=2=CD2+OD2,

则。DLCQ,^AB^\CD=D,A8,CDu平面ABC,（

故8,平面ABC,

即。。为三棱锥。一A8C的高,

故%-A3C=；xOOxSABc=；xlx¥=f.故选：A

【变式3-1］（2023•全国•模拟预测）如图1,位于西安大慈恩寺的大雁塔是我国

现存最早、规模最大的唐代四方楼阁式砖塔，其最高处的塔刹可以近似地看成一

个正四棱锥，如图2,已知正四棱锥P-A88的高为4.87m,其侧棱与高的夹角

为45。，则该正四棱锥的体积约为（）（4.87,。115.5）

图1图2

A.231m3B.179m3C.154m3D.77m3

【答案】D

【解析】如图所示：

B

设正四棱锥P-钻8的底面边长为am,连接AC,BD交于点。，连接

PO,

则P。/平面A8CD,由题可得NCPO=45。，

故PO=CO=*,所以.4=4.87,解得a=4.87x⑦,

所以该正四棱推的体积丫=%（4.87、&）14.87=m4.873=776）.故选：

D.

【变式3-2]（2023・全国.模拟预测）如图，已知四棱柱ABCD-AMCQ的体积为V,

四边形ABC。为平行四边形，点E在CC,上且CE=3EG,则三棱推。「A。。与三

棱锥的公共部分的体积为（）

【答案】A

【解析】如图，设DE,DC交于点F,AC,BD交于点G,连接FG,

则三棱锥F-CDG就是三棱推ADC与三棱锥E-BCD的公共部

分.

因为33明，所以篝=*4,