安徽省宣城市四合中学2022年高一数学理月考试题含解析

安徽省宣城市四合中学2022年高一数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A（2，0），B（0，4），且AC=BC，则△ABC的欧拉线的方程为（）A．x+2y+3=0 B．2x+y+3=0 C．x﹣2y+3=0 D．2x﹣y+3=0参考答案：C【考点】待定系数法求直线方程．【专题】直线与圆．【分析】由于AC=BC，可得：△ABC的外心、重心、垂心都位于线段AB的垂直平分线上，求出线段AB的垂直平分线，即可得出△ABC的欧拉线的方程．【解答】解：线段AB的中点为M（1，2），kAB=﹣2，∴线段AB的垂直平分线为：y﹣2=（x﹣1），即x﹣2y+3=0．∵AC=BC，∴△ABC的外心、重心、垂心都位于线段AB的垂直平分线上，因此△ABC的欧拉线的方程为：x﹣2y+3=0．故选：C．【点评】本题考查了欧拉线的方程、等腰三角形的性质、三角形的外心重心垂心性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．2.函数的零点所在的大致区间是（▲）A．(0,1)B．(1,2) C.(2,3)D．(3,4)参考答案：C3.已知，，，则的大小关系为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：A由题意得，∴．选A．

4.已知是定义在R上的奇函数，时，，则在上的表达式是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B5.样本的平均数为,样本的平均数为,则样本的平均数为

(

)A.

B.

C.2

D.参考答案：B略6.（5分）f（x）=，则f[f（）]（） A． B． C． ﹣ D． D、参考答案：B考点： 函数的值．专题： 函数的性质及应用．分析： 将自变量代入解析式|x﹣1|﹣2得出，将代入求出值．解答： ∵f（x）=，∴=，f[f（）]===故选B．点评： 本题考查分段函数求函数值，按照由内到外的顺序逐步求解．要确定好自变量的取值或范围，再代入相应的解析式求得对应的函数值．7.关于x的方程（x2﹣1）2﹣|x2﹣1|+k=0，给出下列四个命题：①存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根；②存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根；③存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根；④存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根；其中假命题的个数是(

)A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：A【考点】分段函数的应用．【专题】压轴题；数形结合．【分析】将方程的问题转化成函数图象的问题，画出可得．【解答】解：关于x的方程（x2﹣1）2﹣|x2﹣1|+k=0可化为（x2﹣1）2﹣（x2﹣1）+k=0（x≥1或x≤﹣1）（1）或（x2﹣1）2+（x2﹣1）+k=0（﹣1＜x＜1）（2）当k=﹣2时，方程（1）的解为±，方程（2）无解，原方程恰有2个不同的实根当k=时，方程（1）有两个不同的实根±，方程（2）有两个不同的实根±，即原方程恰有4个不同的实根当k=0时，方程（1）的解为﹣1，+1，±，方程（2）的解为x=0，原方程恰有5个不同的实根当k=时，方程（1）的解为±，±，方程（2）的解为±，±，即原方程恰有8个不同的实根故选A【点评】本题考查了分段函数，以及函数与方程的思想，数形结合的思想．8.在△ABC中，若，则其面积等于A.

B.

C.

D.

参考答案：D9.已知△ABC中，A、B、C分别是三个内角，已知=(a–b)sinB，又△ABC的外接圆半径为，则角C为（）A．30°

B．45°

C．60°

D．90°参考答案：解析：C

，故R2(sin2A–sin2C)=(a–b)RsinB，即a2–c2=(a–b)b，a2+b2–c2=ab，cosC=，C=60°.10.对于等式，下列说法中正确的是（

）A．对于任意，等式都成立

B.对于任意，等式都不成立C．存在无穷多个使等式成立D.等式只对有限个成立参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在中，，则最长边的长是

参考答案：

12.若把函数的图象向右平移个单位，所得到的图象关于原点对称，则的最小正值是 参考答案：13.在△ABC中，,其面积，则BC长为________.参考答案：49【分析】根据三角形面积公式求得，然后根据余弦定理求得.【详解】由三角形面积公式得,解得，由余弦定理得.【点睛】本小题主要考查三角形的面积公式，考查利用余弦定理解三角形，属于基础题.14.已知集合，，若，则锐角

．参考答案：略15.已知a，b为直线，α，β，γ为平面，有下列四个命题：（1）a∥α，b∥β，则a∥b；

（2）a⊥γ，b⊥γ，则a∥b；（3）a∥b，b?α，则a∥α；（4）a⊥b，a⊥α，则b∥α；其中正确命题是．参考答案：（2）【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】利用空间直线与平面的平行与垂直判定及性质即可解决．【解答】解：对于（1），a∥α，b∥β，则a∥b，α、β位置关系不确定，a、b的位置关系不能确定；对于（2），由垂直于同一平面的两直线平行，知结论正确；对于（3），a∥b，b?α，则a∥α或a?α；对于（4），a⊥b，a⊥α，则b∥α或b?α．故答案为：（2）16.函数的单调递减区间是______________．参考答案：(－∞,1)函数有意义，则：，解得：或，二次函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，函数是定义域内的增函数，结合复合函数的单调性可得函数的单调递减区间是.

17.在正方形ABCD中，点E为AD的中点，若在正方形ABCD内部随机取一个点Q，则点

Q落在△ABE内部的概率是______.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）已知数列{an}中，a1=1，an·an+1=()n(n∈N*)，记T2n为{an}的前2n项的和．（1）设bn=a2n，证明：数列{bn}是等比数列；（2）求T2n；（3）不等式64·T2n·a2n≤3（1－ka2n）对于一切n∈N*恒成立，求实数k的最大值.参考答案：

19.如图所示，已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，ABCD是扇形的内接矩形，B，C两点在圆弧上，OE是∠POQ的平分线，连接OC，记∠COE=α，问：角α为何值时矩形ABCD面积最大，并求最大面积．参考答案：【考点】已知三角函数模型的应用问题．【分析】先把矩形的各个边长用角α表示出来，进而表示出矩形的面积；再利用角α的范围来求出矩形面积的最大值即可．【解答】解：设OE交AD于M，交BC于N，显然矩形ABCD关于OE对称，而M，N均为AD，BC的中点，在Rt△ONC中，CN=sinα，ON=cosα．，∴即∴BC=2CN=2sinα故：====∵，∴故当，即时，S矩形取得最大，此时．20.寒假期间，为了让同学们有国际视野，我校组织了部分同学到美国游学．已知李老师所带的队有3名男同学A、B、C和3名女同学X，Y，Z构成，其班级情况如表：

甲班乙班丙班男同学ABC女同学XYZ现从这6名同学中随机选出2人做回访（2017春?嘉峪关校级期中）4月15日我校组织高一年级同学听了一次法制方面的专题报告．为了解同学们对法制知识的掌握情况，学生会对20名学生做了一项调查测试，这20名同学的测试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图：（1）求频率分布直方图中a的值，并估计本次测试的中位数和平均成绩；（2）分别求出成绩落在[50，60）与[60，70）中的学生人数；（3）从成绩在[50，70）的学生中任选2人，求此2人的成绩都在[60，70）中的概率．参考答案：【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；B8：频率分布直方图．【分析】（1）由频率分布直方图中小矩形面积和为1，能求出a，由此能估计本次测试的中位数和平均成绩．（2）利用频率分布直方图能求出成绩落在[50，60）与[60，70）中的学生人数．（3）成绩在[50，70）的学生有5人，其中，成绩落在[50，60）中的学生人数有2人，成绩落在[60，70）中的学生人数有3人．从成绩在[50，70）的学生中任选2人，基本事件总数n==10，此2人的成绩都在[60，70）中包含的基本事件个数m==3，由此能求出此2人的成绩都在[60，70）中的概率．【解答】解：（1）由频率分布直方图中小矩形面积和为1，得：（2a×2+3a+7a+6a）×10=1，解得a=0.005，∵[50，70）的频率为（2×0.005+3×0.005）×10=0.25，[70，80）的频率为7×0.005×10=0.35，∴中位数是70+=，平均数是：55×0.01×10+65×0.015×10+75×0.035×10+85×0.30×10+95×0.010×10=76.5．（2）成绩落在[50，60）中的学生人数有20×0.01×10=2人，成绩落在[60，70）中的学生人数有20×0.015×10=3人．（3）成绩在[50，70）的学生有5人，其中，成绩落在[50，60）中的学生人数有2人，成绩落在[60，70）中的学生人数有3人．从成绩在[50，70）的学生中任选2人，基本事件总数n==10，此2人的成绩都在[60，70）中包含的基本事件个数m==3，∴此2人的成绩都在[60，70）中的概率p=．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．21.（I）（II）参考答案：解：（I）原式=；（II）原式=

略2