辽宁省大连市普市第一高级中学高三数学理月考试题含解析

辽宁省大连市普市第一高级中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数则，，的大小关系为(

)A． B．C．

D．

参考答案：略2.函数的单调增区间为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：D3.下列函数中，不满足f（2x）=2f（x）的是(

)A．f（x）=x+1 B．f（x）=x﹣|x| C．f（x）=|x| D．f（x）=﹣x参考答案：A【考点】抽象函数及其应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】代入选项直接判断正误即可．【解答】解：对于A，f（x）=x+1，f（2x）=2x+1≠2f（x）=2x+2，A不正确；对于B，f（x）=x﹣|x|，f（2x）=2x﹣|2x|=2f（x）=2x+2|x|，B正确；对于C，f（x）=|x|，f（2x）=2|x|=2f（x）=2|x|，C正确；对于D，f（x）=﹣x，f（2x）=﹣2x=2f（x）=﹣2x，D正确；故选：A．【点评】本题考查抽象函数的应用，函数的值的求法，基本知识的考查．4.函数的定义域为R，,对任意x∈R,，则的解集为

A．

B．

C．

D．参考答案：D5.过点M（3，0）的直线交⊙于A、B两点，C为圆心，则

的最小值是

（

）

A．8

B．6

C．

D．4参考答案：答案:B6.的三个内角所对的边分别为，，则（A） （B） （C） （D）参考答案：D略7.下列三个不等式中，恒成立的个数有

①

②

③.

A．3

B.2

C.1

D.0参考答案：B当时，①不成立。由，得所以成立，所以②横成立。③恒成立，所以选B.8.用反证法证明命题：“设为实数，则方程至少有一个实根”时，要做的假设是 (A)方程没有实根 (B)方程至多有一个实根 (C)方程至多有两个实根 (D)方程恰好有两个实根参考答案：A“至少有一个”的对立面应是“没有”,故选A9.在△ABC中，AB=AC，，则向量与的夹角为（ ）A．

B．

C．

D．参考答案：B∵，，∴，则向量与的夹角为.

10.已知函数f（x）=x3+ax2﹣9x+1，下列结论中错误的是（） A． ?x0∈R，f（x0）=0 B． “a=3”是“﹣3为f（x）的极大值点”的充分不必要条件 C． 若x0是f（x）的极小值点，则f（x）在区间（x0，+∞）单调递增 D． 若3是f（x）的极值点，则f（x）的单调递减区间是（﹣1，3）参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.动点在边长为1的正方体的对角线上从向移动，点作垂直于面的直线与正方体表面交于，，

则函数的解析式为

参考答案：12.不等式的解集是

．参考答案：13.已知向量满足，且，则与的夹角为_____________________.参考答案：14.已知直线x+y+m=0与圆x2+y2=2交于不同的两点A、B，O是坐标原点，，那么实数m的取值范围是．参考答案：【考点】直线与圆相交的性质．【分析】根据直线与圆有两个交点可推断出圆心到直线的距离小于或等于半径，根据，利用平行四边形法则推断出和的夹角为锐角，利用直线的斜率可推断出其与x轴的夹角，看当和的夹角为直角时求得原点到直线的距离，进而可推断出d＞1，最后综合可得d范围，然后过原点作一直线与x+y+m=0垂直，两直线交点可得，进而求得d和m的关系，进而根据d的范围求得m的范围．【解答】解：∵直线x+y+m=0与圆x2+y2=2交于相异两点A、B，∴O点到直线x+y+m=0的距离d＜，又∵，由平行四边形可知，夹角为钝角的邻边所对的对角线比夹角为锐角的邻边所对的对角线短，∴和的夹角为锐角．又∵直线x+y+m=0的斜率为﹣1，即直线与x的负半轴的夹角为45度，当和的夹角为直角时，直线与圆交于（﹣，0）、（0，﹣），此时原点与直线的距离为1，故d＞1综合可知1≤d＜，过原点作一直线与x+y+m=0垂直，即y=x，两直线交点为（﹣，﹣），则d=|m|综上有：﹣2＜m≤﹣或≤m＜2故答案为：15.若复数

(为虚数单位)，则

.参考答案：因为，则。16.已知||＝1，||＝2，||＝2，则||＝．参考答案：略17.已知集合，则实数a的值为_____.参考答案：2三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）

某环境保护部门对某处的环境状况用“污染质素”来检测，据测定，该处的“污染指数”与附近污染源的强度和距离之比成正比，比例系数为常数，现已知相距36的两家化工厂（污染源）的污染强度分别为1和，它们连线段上任意一点处的污染指数等于两化工厂对该处的污染指数之和，设。（1）试将表示为的函数，指出其定义域；（2）当时，处的“污染指数”最小，试求化工厂的污染强度的值。参考答案：19.（本小题满分13分）

某汽车租赁公司为了调查A，B两种车型的出租情况，现随机抽取这两种车型各50辆，分别统计了每辆车在某个星期内的出租天数，统计数据如下表:A型车出租天数34567车辆数330575B型车出租天数34567车辆数101015105（I）试根据上面的统计数据，判断这两种车型在本星期内出租天数的方差的大小关系（只需写出结果）；（Ⅱ）现从出租天数为3天的汽车（仅限A，B两种车型）中随机抽取一辆，试估计这辆汽车是A型车的概率；（Ⅲ）如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要购买一辆汽车，请你根据所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由.参考答案：解：（I）由数据的离散程度可以看出，B型车在本星期内出租天数的方差较大………………3分（Ⅱ）这辆汽车是A类型车的概率约为

这辆汽车是A类型车的概率为

………………7分（Ⅲ）50辆A类型车出租的天数的平均数为

………………9分50辆B类型车出租的天数的平均数为

………………11分答案一：一辆A类型的出租车一个星期出租天数的平均值为4.62，B类车型一个星期出租天数的平均值为4.8，选择B类型的出租车的利润较大,应该购买B型车

………………13分答案二：一辆A类型的出租车一个星期出租天数的平均值为4.62，B类车型一个星期出租天数的平均值为4.8，而B型车出租天数的方差较大，所以选择A型车

………………13分20.设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ为常数，且A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示．（1）求A，ω，φ的值；（2）设θ为锐角，且f（θ）=﹣，求f（θ﹣）的值．参考答案：【分析】（1）由图象可得A，最小正周期T，利用周期公式可求ω，由，得，k∈Z，结合范围0＜φ＜π，可求φ的值（2）由已知可求，由，结合，可得范围，利用同角三角函数基本关系式可求cos（2θ+）的值，利用两角差的正弦函数公式即可计算得解．【解答】（本题满分为14分）解：（1）由图象，得，…∵最小正周期，∴，…∴，由，得，k∈Z，∴，k∈Z，∵0＜φ＜π，∴．…（2）由，得，∵，∴，又∵，∴，∴，…∴==．…21.已知椭圆与抛物线在第一象限的交点为P，椭圆E1的左、右焦点分别为F1、F2，其中F2也是抛物线E2的焦点，且.（1）求椭圆E1的方程；（2）过F2的直线l（不与x轴重合）交椭圆E1于M、N两点，点A为椭圆E1的左顶点，直线AM、AN分别交直线于点B、C，求证：为定值.参考答案：（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）根据题意，由抛物线性质可求焦点坐标和点坐标，结合椭圆定义，可求，计算即可求解；

（2）设，讨论直线与轴否垂直，再根据直线与椭圆方程联立方程组法，结合韦达定理，计算，即可证明.【详解】（1）抛物线的焦点为，，∴，∴，∴，又，∴，∴，∴，又∵，∴，∴椭圆的方程是：；（2）设当直线与轴垂直时，易得：或，又，∴，或者，∴