空间几何中的平行与垂直-高考数学一轮复习举一反三精讲精练

7.1空间几何中的平行与垂直（精讲）（提升版）

思路平移法：杞线平移到面内找方法

三角形边等比例（中枝■线）构造平行四边形

方法线面平行的性质平行的传递性空间向量

面面平行的性质线面垂直的性质

文字语言：平面外一备直线与此平面内的一条直线平行，

判则该宜线与此平曲平行（线线平行＞纥面平行）

定

定杯号语音：'：l//a,aCa,Ka,/.I//a

理

线

面

文字语一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面

平1•:

性

行与此平面的交纥与该直线平行（筒记为“线面平行2线线平行”）

质

定符号语言：~：l//a,IC3,aHp=b,：.\//b

理

文字语音：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，

平则这两个平面平行（筒记为“线面平行〉面面平行”）

行存号语言：：a〃B,b//0,aCb=P,aCa,bCa,a〃B

判定

定理

面图形语言

面

平文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那其支线乎行

行

存号语1":：a〃B,aAY=a,0Oy=b,：.a//b

性质

定理

图形语言

两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直纥平行于另一个平面

性质定理

线工平行普譬一线面平行康普:",面1平行

I性质定理性质定理,

判定定理

J平行间的关系

正方舫、矩形、菱将直角边或向角线垂直

图肪r----------------------------------------------------

------T等媵三角形、等边三角将取中原

为践定理

线线_边长

垂直--------正余弦定理

线面垂直定义

线面垂直线I与平面a内的任意一条直线都垂直,，就说直线I与平面a互相垂直

宜的定义

文字语言：一备直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,

判则该直线与此平面垂直

定

定1±a

理

l±b

•<=>lla

空aDb=0

间符■号语言a、bca图杉语言

性

几

质

何

线文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行

定

面

中

理

垂

的a±a

直,Oab

垂符号语言bla图形语言

直

常若一条直线垂直于一个平面，则这条红线叁立于这个平面内的任意直线

见

结若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一备也垂直于这个平面

论

垂直于同一■条直线的断个平面平行

一条直线垂直于断平行乎面中的一个,则这一条直线与另一个平面也垂直

两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面

文字法言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直

判定

定理L

1CP)/

、符号语言11a图将语言，'"夕

面

面文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的互线与

垂另一个平而垂直

直

性质a±p

定理lup

olla/

afip=a

/0j

旃号语塞Ila图形语言[a_2

唐立呈旗

线线平行

考点一平行问题

【例1-1】（2022•广东珠海）如图，在三棱柱4BC-A8©中，点。是A3的中点，求证：4G//

平面COB1

A

【例『2］（2022•河南・商丘市第一高级中学）在直三棱柱ABC-aqG中，E,F分别是AC,

4片的中点，求证：EF〃平面BBC。

4G

【例1-3］（2022•云南・弥勒市一中）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABC。为直角梯形,

其中AD//BC,AD=3,AB=BC=2,且"=3.点用在棱PD上，点N为BC中点，证明:

若DM=2MP,则直线MN〃平面P4B

【例1-4］（2022•辽宁葫芦岛）如图，在四面体ABC£）中，CB=CD,点M是AO

的中点，NwBD,且直线MN〃面A8C,直线MN〃直线AB

A

M

\/I

\\//

\\//

\\//

c

【例l-5］（2022.甘肃酒泉）如图，在四棱锥P-43MN中，是边长为2的正三角形，

AN//BM,AN=3,BM=1，AB=2立,C,。分别是线段A8,NP的中点，求证：8〃

平面P8A7

【例1-6］（2022•山西临汾）如图（1）,在梯形ABC。中，A£>〃8c且4）_LCZ）,线段AZ）上

有一点E,满足8=DE=1,AE=BC=2,现将△ABE,△C£>E分别沿BE,CE折起，使

AD=y/5,BD=6，得到如图（2）所示的几何体，求证：AB//CD

D

B

图(2)

【一隅三反】

1.（2022•山东滨州）如图，在四棱锥P-A3CZ）中，底面A8C£＞是平行四边形，点E是尸8

的中点，求证：PD〃平面E4C

2.（2022.辽宁营口）如图，三棱柱ABC-AgG中，E为中点，/为AA,中点，求证：EFP

平面48c

3（2022•江苏宿迁）如图，三棱柱ABC-A4c中，AB=AC=AAi=2,

Z^AB=ZA,AC=NBAC=60。，点、M,N分别在AC,和8c上,且满足AM=；AC,,BN=^BC,

证明：MN〃平面AB8M

4.（2022•全国•高三专题练习）如图所示，四棱锥P-458的底面438是直角梯形，

BC//AD,ABVAD,AB=BC=,A。,PA，底面ABC£>,过3c的平面交PD于M,交P4

2

于N（M与。不重合）.求证：MN"BC、

p

M

D

5.（2022.江苏省镇江第一中学）如图，三棱柱43。-4片。1中M，N,P,。分别为CG，

BC,Ag，8c的中点，求证：PN〃面ACG4

6.（2022.新疆•三模（文））多面体A30EC中，△BCD与2A8C均为边长为2的等边三角形，

△CDE为腰长为逐的等腰三角形，平面CDE，平面BCD,平面ABC，平面BCD,F为BC

的中点，求证：AF〃平面EC。

D

考点二空间几何中的垂直问题

【例2-1］（2022•云南师大附中高三阶段练习）如图，AABC是边长为4石的等边三角形，E,

产分别是AB,AC的中点，G是AABC的重心，将尸沿£尸折起，使点A到达点尸的位置,

点P在平面跳尸C的射影为点G.证明：BELPC

【例2-2X2022・湖北・鄂州市教学研究室）在如图所示的几何体中，四边形ABC。是正方形,

平面ABC。，平面以8,E,尸分别是线段AdP8的中点，PA=AB.&］：

(1)E尸〃平面PDC；

(2)PB_L平面DEF.

【例2-3］（2022•四川成都）如图，三棱锥P-ABC中，等边三角形AP8C的重心为O,

NB4C=90。，4?=AC=2,PA=28,E,F,M分别是棱8C,BP,A尸的中点，。是线

段AM的中点.

⑴求证：MO〃平面OEF；

（2）求证：平面DEF_L平面PBC.

【一隅三反】

1.（2022•全国•高三专题练习）如图，四棱锥P-ABC。中，侧面R4O为等边三角形，且平

面以£)_!_底面ABC£>,AB=BC=^AD=],ZS4D=Z48c=90',证明：PDVAB

p

2.(2022•北京丰台)如图，在直角梯形ABC。中，AB//CD,ABLAD,AB=2CD=2,并

将直角梯形ABCD绕AB边旋转至ABEF.

(1)求证：直线平面4DF；

⑵求证：直线CE〃平面4OF；

(3)当平面平面ABEF时，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为

已知，使平面AOE与平面BCE垂直.并证明你的结论.

条件①：AE=0

条件②：AD=1；

条件③：BEVDE.

3.(2022•四川宜宾)如图，正方形ABEQ的边长为1,AC=BC,平面ABE。，平面ABC,

直线CE与平面ABC所成角的正切值为正.

（1）若G,尸分别是EC,8。的中点，求证：GF//平面ABC；

⑵求证：平面BC£）J_平面ACD

考点三空间几何中的定理辨析

【例3-1］（2022•全国•长垣市第一中学高三开学考试（理））设加，”表示两条不同的直线，a

表示平面，且加//〃，则“〃_La"是"加"La”成立的（）

A.充要条件B.必要不充分条件

C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件

【例3-2］（2022.湖北武汉.高三开学考试）（多选）如图，已知正方体ABCD-AMGR,M,N

分别是A。，的中点，则下列结论正确的是（）

C.MV//平面ABC。D.必VJ■平面

BDD.B,

【一隅三反】

1.（2022.上海.高三专题练习）设孙〃是两条不同的直线，a,夕是两个不同的平面，则下

列说法错误的是（）

A.若〃z_L",mVa,nL（3,则a_L£B.若〃?〃“，mYa,"//夕，则tzJL/?

C.若，"_L",mlta,nl//3,则a//夕D.若机〃“，mVa,n工。，则a〃/7

2.（2022•全国•模拟预测（理））已知，”、〃是两条不同的直线，a、。是两个不同的平面，则

下列结论一定成立的是（）

A.若，〃_L”,，w_La,则"〃aB.若mHa、a〃夕，则，〃〃夕

C.若/n_La,a邛,则加〃夕D.若，”J_a,则a_L£

3.（2022・全国•高三专题练习）如图，在四棱柱ABCD-ASGR中，AB=AD=A\=1,

ADrAAt,AD±AB,NAAB=6O。，M,N分别是棱AB和BC的中点，则下列说法中不正

确的是（）

A.A，G，M,N四点共面B.4N与AB共面

C.AOJ■平面ABBH口.A"J.平面458

7.1空间几何中的平行与垂直（精讲）（提升版）

思路平移法：杞线平移到面内找方法

三角形边等比例（中枝■线）构造平行四边形

方法线面平行的性质平行的传递性空间向量

面面平行的性质线面垂直的性质

文字语言：平面外一备直线与此平面内的一条直线平行，

判则该宜线与此平曲平行（线线平行＞纥面平行）

定

定杯号语音：'：l//a,aCa,Ka,/.I//a

理

线

面

文字语一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面

平1•:

性

行与此平面的交纥与该直线平行（筒记为“线面平行2线线平行”）

质

定符号语言：~：l//a,IC3,aHp=b,：.\//b

理

文字语音：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，

平则这两个平面平行（筒记为“线面平行〉面面平行”）

行存号语言：：a〃B,b//0,aCb=P,aCa,bCa,a〃B

判定

定理

面图形语言

面

平文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那其支线乎行

行

存号语1":：a〃B,aAY=a,0Oy=b,：.a//b

性质

定理

图形语言

两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直纥平行于另一个平面

性质定理

线工平行普譬一线面平行康普:",面1平行

I性质定理性质定理,

判定定理

J平行间的关系

正方舫、矩形、菱将直角边或向角线垂直

图肪r----------------------------------------------------

------T等媵三角形、等边三角将取中原

为践定理

线线_边长

垂直--------正余弦定理

线面垂直定义

线面垂直线I与平面a内的任意一条直线都垂直,，就说直线I与平面a互相垂直

宜的定义

文字语言：一备直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,

判则该直线与此平面垂直

定

定1±a

理

l±b

•<=>lla

空aDb=0

间符■号语言a、bca图杉语言

性

几

质

何

线文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行

定

面

中

理

垂

的a±a

直,Oab

垂符号语言bla图形语言

直

常若一条直线垂直于一个平面，则这条红线叁立于这个平面内的任意直线

见

结若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一备也垂直于这个平面

论

垂直于同一■条直线的断个平面平行

一条直线垂直于断平行乎面中的一个,则这一条直线与另一个平面也垂直

两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面

文字法言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直

判定

定理L

1CP)/

、符号语言11a图将语言，'"夕

面

面文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的互线与

垂另一个平而垂直

直

性质a±p

定理lup

olla/

afip=a

/0j

旃号语塞Ila图形语言[a_2

唐立呈旗

线线平行

例题剖析

考点一平行问题

【例1-1】（2022•广东珠海）如图，在三棱柱4BC-A8©中，点。是A3的中点，求证：4G//

平面COB1

【答案】证明见解析:

【解析】连接8G交C4于E,连接EQ,由A8C-A4G为一棱柱，则BCG用为平行四边

形，所以E是BC中点，又£＞是43的中点，故在△A4G中。E//AG，DEu面C。&，AC,

面COBj所以AC"/平面CO”

【例1-2］（2022•河南•商丘市第一高级中学）在直三棱柱ABC-^Q中，E,尸分别是AC,

A声的中点，求证：EF//平面BB©C

B

【答案】证明见解析

【解析】证明：在直三棱柱ABC-AqG中，E,尸分别是AC,的中点，取BC的中点

G,连接EG,BQ,如图，则EG〃AB且EG=（A8,又8/〃AB且用E=；AB,所以

EG〃BFHEG=B1F,所以四边形EG男尸是平行四边形，所以EF〃4G.因为BQu平

面BB£C,所0平面BBCC，所以所〃平面88CC；

【例1-3］（2022.云南•弥勒市一中）如图，在四棱锥P-ABCZ）中，底面ABCZ）为直角梯形,

其中AO//8C,AD=3,AB=BC=2,且"=3.点M在棱上，点N为BC中点，证明:

若DM=2MP,则直线MN//平面248

【答案】证明见解析

【解析】在AO上取一点。，使得AQ=；AD,连接M2,NQ,

•.•格=篝=|,.•.MQ//AP,又MQcz平面碗，PAu平面间,

・•・MQ〃平面P4B；

•/AQ=-AD=1,BN=—BC=1,AD//BC,

32

AQ//BN,AQ=BN,.•.四边形ABN。为平行四边形，.•.AH/QN,

又QN<z平面245,ABI平面B4B，〃平面

QMQTQN=Q,MQ,QNu平面MN。，.•.平面MNQ〃平面R4B,

•.•阴¥<Z平面同可。，，加人〃/平面2处

【例1-4］（2022•辽宁葫芦岛）如图，在四面体ABCD中，CB=CD,点M是AO

的中点，NwBD,且直线MN〃面ABC,直线MN"直线AB

A

【答案】证明见解析

【解析】•.•直线MN//平面ABC,MNuABD,平面相£>c平面A8c=48,.•.MN//45.

【例1-5］（2022•甘肃酒泉）如图，在四棱锥P-A&WN中，△PNM是边长为2的正三角形,

AN//BM,AN=3,BM=1，AB=2夜，C,。分别是线段A3,NP的中点，求证：CD//

平面PBM

【答案】证明见解析

【解析】如图，取MN中点。，连CQ,。。，；。。为中位线，又。平

面BMP,MPu平面8MP,，OQ〃平面8MP,同理，在梯形ABMN中，CQ//MB.又

CQ<Z平面BMP,MBu平面BMP，二CQ//平面BMP，且。。u平面8。，CQu平面CDg,

£>QcCQ=Q,.•.平面C£>Q〃平面BW，又CDu平面CDQ,所以CD〃平面BMP.

【例1-6］（2022.山西临汾）如图（1）,在梯形A8CD中，4。〃8。且相>_18,线段AO上

有一点E,满足8=E>E=1,AE=BC=2,现将△ABE,△CDE分别沿BE,CE折起，使

AD=6BD=4i,得到如图（2）所示的几何体，求证：AB//CD

【解析】证明：在必AEOC中，CD=DE=\,

所以EC=0，NDEC=ZECB=45。,

在△BEC中，EC=6,BC=2,NECB=45。,

由余弦定理得BE=/2+4-2x夜、2乂孝=应，

所以EC2+8E2=8C2,所以8EJ.EC,

同理可得，在△ABE中，AB=立,且

在△ABD中，AB2+BD1=AD2.所以

因为BDcBE=B,BD,8£u平面8OE,所以ABJ_平面,

在中，ED1CD,

在ABDC中，BD2+CD2=BC2,则8D_LC£）,

因为皮）口8。=。，所以CDL平面3DE,

所以A3//C，

1.（2022.山东滨州）如图，在四棱锥P-43CD中，底面A8CO是平行四边形，点E是P8

的中点，求证：PO〃平面E4C

【答案】证明见解析

【解析】证明：连结8”交AC于点O,连接EO.显然，。为8/）的中点，又因为E为。8的

中点，所以EO〃尸。.又因为尸“上面EAC,EOu面EAC,所以PD〃平面E4C；

p

2.(2022.辽宁营口)如图，三棱柱A8C—中，E为8G中点，尸为A4中点，求证：EFP

平面45C

【解析】证明：取8c中点为2连接因为E为8G中点，故E〃〃CG，EO=gcG,

又CCJN，尸为例中点，故&)〃E4,EO=E4，所以四边形EDA尸为平行四边形，故

EF//AD，因为£F<z平面ABC,A£)u平面ABC,故E/〃平面ABC；

3（2022•江苏宿迁）如图，三棱柱ABC-A瓦G中，AB=AC=AAt=2,

ZAAB=幺AC=NBAC=60。，点M,N分别在ACt和8c上，且满足AM=1AQ,BN=^BC,

证明：MN〃平面A88M

G

【答案】见解析

【解析】过点M作MP//CC,,交4c于点P,连接NP,

AMAPBN1

由题意得高=就=正=§，

椒MPHCC/AA\,NP//AB,而A4,u平面ABBA，MPcZ平面ABB^,

■•.MPH平面ABB^,同理得NPH平面ABAA，

而MPC)NP=P,•1.平面MVP〃平面,

;.MN〃平面ABB|A

4.（2022•全国•高三专题练习）如图所示，四棱锥P-AB8的底面ABCO是直角梯形，

BC//AD,ABYAD,A8=3C=gAD,PA_L底面ABC。，过8c的平面交PO于M,交E4

于N（M与。不重合）.求证：MN//BC；

【答案】证明见解析

【解析】证明：在梯形A8CD中，BC//AD,BCa平面A4。，ADu平面PAD,

BC//^PAD.

又BCu平面BCNM,平面3CNMc平面PAD=MN,

所以MN//BC.

5.（2022•江苏省镇江第一中学）如图，三棱柱中M，N,P,O分别为CG，

BC,44，8c的中点，求证：PN〃面ACGA

【答案】证明见解析

【解析】VP,D分别为4瓦，4G的中点，

PD〃AG,且AG平面AcqA,「力仁平面4cqA,

：.PD〃平面ACC0,

VD,N分别为8C，BC的中点，

DN//CC,，且CGu平面ACGA,DN<z平面ACC；4，

DN//平面ACC；A,又PDcDN=D,

平面尸DV〃平面ACCM,

又,JAVu平面PDN,：.PN〃平面ACC|A.

6.（2022・新疆•三模（文））多面体ABDEC^,ABCD与442c均为边长为2的等边三角形，

△CDE为腰长为石的等腰三角形，平面。。£，平面8。，平面ABUL平面BCD,F为BC

的中点，求证：AF〃平面EC。

D

【答案】证明见解析

【解析】证明：取CO的中点G,连接EG

•••△CQE为腰长为右的等腰三角形，EGJ_C。

又•.・平面CZ)E_L平面BCD,EGu平面ECD,平面CDEc平面BCD=CD,

.,.EG_L平面8c。，同理可得，AEL平面£6〃人尸

又：EGu平面ECO,4尸工平面COE,二AF〃平面CDE

考点二空间几何中的垂直问题

【例2-1卜2022•云南师大附中高三阶段练习)如图，AABC是边长为4G的等边三角形，E,

F分别是AB,AC的中点，G是AABC的重心，将AA£F沿E尸折起，使点A到达点P的位置,

点P在平面班尸C的射影为点G.证明：BELPC

【答案】证明见解析；

【解析】连接CE,因AABC是等边三角形，E是A8的中点，G是A43C的重心，所以G在

CE上,BE±CE,

又点P在平面3EFC的射影为点G,即PGL平面跳户C.3Eu平面3瓦C,所以PGJ_8E,

又PGC\CE=G,所以8£_1_平面尸比，又PCu平面PCE,所以8E_LPC.

【例2-2】（2022.湖北嘟州市教学研究室）在如图所示的几何体中，四边形ABCO是正方形,

平面平面布3,E,尸分别是线段AO,P8的中点，以=A8.证明：

（^^〃平面尸。^

（2）PB_L平面DEF.

【答案】（1）证明见解析

（2）证明见解析

【解析】（1）取PC的中点M,连接。M,MF.

•••”,F分别是PC,PB的中点,

?.MF//CB,MF=-CB.

2

,.•E为。A的中点，四边形A8CO为正方形,

DEIICB,DE=-CB,

2

MF//DE,MF=DE,

...四边形DEFM为平行四边形.

/.EF//DM,

"：EF<4平面PDC,DWu平面PDC.

E尸〃平面PDC.

（2）V四边形ABC0为正方形，，AZ），AB.

又平面ABCOJ_平面平面ABCDD平面PAB=AB,ADu平面ABC。，

ADJ"平面PAB.

,/PBu平面PAB,：.ADVPB.

连接4F,VPA=AB,F为尸3中点，AAFYPB.

又AOnAE=A,AD,AFu平面。E凡

P8_L平面DEF.

【例2-3］（2022.四川成都）如图，三棱锥P-43C中，等边三角形APBC的重心为O,

NB4c=90。，AB=AC=2,PA=2日E,F,例分别是棱BC,BP,AP的中点，。是线

段AM的中点.

⑴求证：例O〃平面。EF；

⑵求证：平面DEFJ_平面PBC.

【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析

【解析】（1）连接尸E,因为APBC为等边三角形，且。为重心，所以尸,0、E三点共线,

PMPO

因为何为"中点是线段,的中点，所以说=2=颉，所以#MO3DE,所以

MO//DE,

因为£>Eu平面DEF,MO<Z平面DE凡所以〃平面DEF

(2)连接AE、BD,如图所示

因为“PBC为等边三角形，E为8c中点，

所以PE1BC,

因为43=AC,ABAC=90°,E为8c中点，

所以A£_LBC,

因为PE,AEu平面PAE,

所以BC_L平面PAE,

因为£>Eu平面PAE,

所以8C_LCE,

在△「相中，PBuBC*AB2+AC?=2四，AB=2,/=2\/3)

所以AB?+「伊"A?，即

所以cosNPAB=,

PA283

在△A£>8中，AD=—,

2

由余弦定理得BO?=AO,+AB2-2AD-ABcosZPAB=—,

在ABDE中,EB=；BC=4i,BEYDE,

所以06=BO?_8炉=口_2=3,

44

在APOE中，尸。=孚，PE=^x2&=瓜,

所以尸£）2即DE_LPE,

因为PE,BCu平面P8C,

所以。EJL平面PBC,

因为OEu平面OE尸，

所以平面£＞所J_平面PBC

【一隅三反】

1.（2022•全国•高三专题练习）如图，四棱锥P-ABCD中，侧面尸4）为等边三角形，且平

面PA£）J_底面ABC。，AB=BC=-AD=\,ZBAD=ZABC=9Q,证明：PDA.AB

【答案】证明见解析

【解析】证明：取A。的中点O,连OC,OP,

：△24。为等边三角形，且。是边AO的中点，

二POLAD,

•••平面PAOJJ氐面ABC。，且它们的交线为"），

PO_L平面A8CD,则ABJ_PO,

VABLAD,且ADcPO=O,

二AB_L平面PA£）,

PDA.AB；

2.（2022•北京丰台）如图，在直角梯形ABCD中，AB//CD,ABLAD,AB=2CD=2,并

将直角梯形ABCD绕AB边旋转至ABEF.

⑴求证：直线A3,平面AOE；

⑵求证：直线CE〃平面AOF；

(3)当平面ABCD_L平面A8E尸时，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为

已知，使平面AOE与平面BCE垂直.并证明你的结论.

条件①：AE=C;

条件②：4)=1；

条件③：BEYDE.

【答案】⑴证明见解析

(2)证明见解析

(3)答案见解析

【解析】(1)证明：在直角梯形ABCD中，ABHCD,ABA.AD,将直角梯形ABCD绕43边

旋转至ABEF,

所以钙_LAF,

又AZ)nAF=4,AD,AFu平面45F,

所以A8_L平面A£>F；

(2)证明：依题意可得。。/所且Z)C=E尸，

所以四边形DCEF为平行四边形，

所以CE//DF,Z)尸u平面4)尸，CE(Z平面4)尸，

所以CE〃平面AOE；

(3)证明：因为平面ABC£>JL平面A8EF,A8_LAO,平面A8C£>n平面=AB,ADu平

面ABCQ,

所以ADL平面A8EF,BEu平面4BEF,所以AD_LBE,

过点E作E/0_LAB,交48于点〃，

若选①，AE=框,EF=1,所以AF=JA£_E尸2=&，

所以BE=』+(⑹=A此时8S/AEB=生篇泻

所以60°<NAE8v90。

如图过点E作J-AE交力8的延长线于点”，

因为4?_L平血48EF,E〃u平面4班广，所以A£>_LE"，

ADr\AE=A,AZ),AEu平面相)E,所以£W_L平面AOE,

又团u平面〃CE,

所以平面〃CE_L平面ADE,显然平面BCE与平面A£)E不垂直；

若选②：A£)=l,则A尸=1,所以AE=JAF」+E尸2=&,BE=>/12+12=-J2>

所以4£2+3炉=AB?，即A£J_£B，

又ADcAE=A,AQAEu平面A£>£,所以£B1.平面AOE,

又EBu平面BCE,

所以平面BCE_L平面ADE；

若选③：BELDE,又ADLBE,ADcDE=D,A。,AEu平面AOE,所以£B_L平面AOE,

又EBu平面BCE,

所以平面BCE_L平面ADE；

3.(2022.四川宜宾)如图，正方形ABED的边长为