第六章　§5　正态分布

第六章概率§5正态分布课后篇巩固提升合格考达标练1.已知随机变量X~N(0,σ2).若P(X>2)=0.023,则P(-2<X≤2)=()A.0.477 B.0.628 C.0.954 D.0.977答案C解析因为随机变量X~N(0,σ2),所以正态曲线关于直线x=0对称.又P(X>2)=0.023,所以P(X≤-2)=0.023,所以P(-2<X≤2)=1-P(X>2)-P(X≤-2)=1-2×0.023=0.954.2.某校有1000人参加某次模拟考试,其中数学考试成绩近似服从正态分布N(105,σ2)(σ>0),试卷满分150分,统计结果显示数学成绩优秀(高于120分)的人数占总人数的15,则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为(A.150 B.200 C.300 D.400答案C解析因为P(X<90)=P(X>120)=15P(90≤X≤120)=1-25所以P(90≤X≤105)=310所以此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为1000×310=3.已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),且P(ξ<4)=0.8,则P(0<ξ<2)=()A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.6答案B解析因为随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),μ=2,即对称轴是x=2,P(ξ<4)=0.8,所以P(ξ≥4)=P(ξ≤0)=0.2,所以P(0<ξ<4)=0.6,所以P(0<ξ<2)=0.3.4.某学校的两个班共有100名学生,一次考试后数学成绩ξ(ξ∈Z)服从正态分布N(100,σ2),已知P(90<ξ≤100)=0.4,估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为()A.20 B.10 C.7 D.5答案B解析由考试成绩服从正态分布(100,σ2),且P(90<ξ≤100)=0.4,得P(ξ>110)=1-2P(90<ξ≤100)2=0.1,所以估计该班学生数学成绩在1105.某校1000名学生的某次数学考试成绩X服从正态分布,其正态曲线如图所示,则成绩X位于区间(52,68]的人数大约是()A.997 B.954 C.683 D.341答案C解析由题图知X~N(μ,σ2),其中μ=60,σ=8,所以P(μ-σ<X≤μ+σ)=P(52<X≤68)≈0.6826.所以人数大约为0.6826×1000≈683.6.已知离散型随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),且P(ξ<3)=0.968,则P(1<ξ<3)=.

答案0.936解析因为随机变量X服从正态分布N(2,σ2),所以μ=2,得对称轴是x=2.因为P(ξ<3)=0.968,所以P(2<ξ<3)=P(ξ<3)-0.5=0.468,所以P(1<ξ<3)=0.468×2=0.936.7.一年时间里,某校高一学生经常利用课余时间参加社区志愿者公益活动,据统计,他们参加社区志愿者公益活动时长X(单位:时)近似服从正态分布N(50,σ2),且P(30<X<70)=0.7,该校高一学生中参加社区志愿者公益活动超过30小时的人数有1275,估计该校高一年级学生人数为.

答案1500解析由P(30<X<70)=0.7,得P(X≤30)=12×(1-0.7)=0所以P(X>30)=1-0.15=0.85.所以估计该校高一年级学生人数为1275÷0.85=1500.8.已知正态总体的数据落在区间(-3,-1]里的概率和落在区间(3,5]里的概率相等,那么这个正态总体的数学期望为.

答案1解析正态总体的数据落在这两个区间的概率相等说明在这两个区间上位于正态曲线下方的面积相等,另外,因为区间(-3,-1]和区间(3,5]的长度相等,说明正态曲线在这两个区间上是对称的,我们需要找出对称轴.由于正态曲线关于直线x=μ对称,μ的意义是数学期望,因为区间(-3,-1]和区间(3,5]关于x=1对称(-1的对称点是3,-3的对称点是5),所以数学期望为1.9.某工厂包装白糖的生产线,正常情况下包装出来的白糖质量服从正态分布N(500,52)(单位:g).(1)求正常情况下,任意抽取一包白糖,质量小于485g的概率约为多少?(2)该生产线上的检测员某天随机抽取了两包白糖,称得其质量均小于485g,检测员根据抽检结果,判断出该生产线出现异常,要求立即停产检修,检测员的判断是否合理?请说明理由.附:X~N(μ,σ2),则P(μ-σ<X≤μ+σ)≈0.6826,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈0.9544,P(μ-3σ<X≤μ+3σ)≈0.9974.解(1)设正常情况下,该生产线上包装出来的白糖质量为Xg,由题意可知X~N(500,52).由于485=500-3×5,所以根据正态分布的对称性与“3σ原则”可知P(X<485)=12[1-P(500-3×5<X≤500+3×5)]≈12×0.0026=0.(2)检测员的判断是合理的.因为如果生产线不出现异常的话,由(1)可知,随机抽取两包检查,质量都小于485g的概率约为0.0013×0.0013=0.00000169=1.69×10-6,几乎为零,但这样的事件竟然发生了,所以有理由认为生产线出现异常,检测员的判断是合理的.等级考提升练10.已知随机变量X~N(6,1),且P(5<X≤7)=a,P(4<X≤8)=b,则P(4<X≤7)=()A.b-C.1-答案B解析由于P(4<X≤7)=P(4<X≤5)+P(5<X≤7)=b-a11.已知某随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2),且P(0<ξ≤1)=0.3,则P(ξ<2)=()A.0.8 B.0.75 C.0.7 D.0.6答案A解析因为ξ~N(1,σ2),且P(0<ξ≤1)=0.3,所以P(ξ≥2)=P(ξ≤0)=P(ξ<1)-P(0<ξ≤1)=0.5-0.3=0.2.所以P(ξ<2)=1-P(ξ≥2)=1-0.2=0.8.12.已知某市高三一次模拟考试数学成绩X~N(90,σ2),且P(70<X<110)=0.8,则从该市任取3名高三学生,恰有1名学生成绩不低于110分的概率是()A.0.2 B.0.1 C.0.243 D.0.027答案C解析由X~N(90,σ2),且P(70<X<110)=0.8,可知成绩不低于110分的概率是0.1,则3名高三学生,恰有1名学生成绩不低于110分的概率是P=C31(0.1)(0.9)2=0.13.(多选题)若随机变量ξ~N(0,1),Φ(x)=P(ξ≤x),下列等式成立的有()A.Φ(-x)=1-Φ(x)B.Φ(2x)=2Φ(x)C.P(|ξ|<x)=2Φ(x)-1D.P(|ξ|>x)=2-Φ(x)答案AC解析因为随机变量ξ服从标准正态分布N(0,1),所以正态曲线关于直线x=0对称,因为Φ(x)=P(ξ≤x),根据曲线的对称性可得:Φ(-x)=P(ξ≥x)=1-Φ(x),所以A正确;Φ(2x)=P(ξ≤2x),2Φ(x)=2P(ξ≤x),所以Φ(2x)≠2Φ(x),所以B错误;P(|ξ|<x)=P(-x<ξ<x)=1-2Φ(-x)=1-2[1-Φ(x)]=2Φ(x)-1,所以C正确;P(|ξ|>x)=P(ξ>x或ξ<-x)=1-Φ(x)+Φ(-x)=1-Φ(x)+1-Φ(x)=2-2Φ(x),所以D错误.14.某镇农民年平均收入服从μ=5000元,σ=200元的正态分布,则该镇农民年平均收入在5000~5200元间人数的百分比约为.

答案34.13%解析设X表示此镇农民的年平均收入,则X~N(5000,2002).由P(5000-200<X≤5000+200)≈0.6826,得P(5000<X≤5200)≈0.68262=0.341故此镇农民年平均收入在5000~5200元间的人数的百分比约为34.13%.15.为了解高三复习备考情况,某校组织了一次阶段考试.高三全体考生的数学成绩近似服从正态分布N(100,17.52).已知成绩在117.5分以上的学生有80人,则此次参加考试的学生成绩不超过82.5分的概率为;如果成绩大于135分的为特别优秀,那么本次考试数学成绩特别优秀的大约有人.(若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ<X≤μ+σ)≈68.3%,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈95.4%)

答案0.158711解析P(X≤82.5)=P(X≤μ-σ)=1-P(μ-P(X>117.5)=P(X>μ+σ)=1-P(μ-∵成绩在117.5分以上的学生有80人,∴高三考生总人数约为800.158P(X>135)=P(X>μ+2σ)=1≈0.0228,本次考试数学成绩特别优秀的大约有504×0.0228≈11(人).16.某公司生产某种产品,一条流水线年产量为10000件,该生产线分为两段,流水线第一段生产的半成品的质量指标会影响第二段生产成品的等级,具体见下表:第一段生产的半成品质量指标xx≤74或x>8674<x≤78或82<x≤8678<x≤82第二段生产的成品为一等品概率0.20.40.6第二段生产的成品为二等品概率0.30.30.3第二段生产的成品为三等品概率0.50.30.1从第一段生产的半成品中抽样调查了100件,得到频率分布直方图如图:若生产一件一等品、二等品、三等品的利润分别是100元、60元、-100元.(1)以各组的中间值估计为该组半成品的质量指标,估算流水线第一段生产的半成品质量指标的平均值;(2)将频率估计为概率,试估算一条流水线一年能为该公司创造的利润;(3)现在市面上有一种设备可以安装到流水线第一段,价格是20万元,使用寿命是1年,安装这种设备后,流水线第一段半成品的质量指标服从正态分布N(80,22),且不影响产量.请你帮该公司做出决策,决定是否要购买该设备.说明理由.(参考数据:P(μ-σ<X≤μ+σ)≈0.6826,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈0.9544,P(μ-3σ<X≤μ+3σ)≈0.9974)解(1)平均值为72×0.1+76×0.25+80×0.3+84×0.2+88×0.15=80.2.(2)由频率分布直方图知,第一段生产的半成品质量指标P(X≤74或X>86)=0.25,P(74<X≤78或82<X≤86)=0.45,P(78<X≤82)=0.3,设生产一件产品的利润为X元,则P(X=100)=0.2×0.25+0.4×0.45+0.6×0.3=0.41,P(X=60)=0.3×0.25+0.3×0.45+0.3×0.3=0.3,P(X=-100)=0.5×0.25+0.3×0.45+0.1×0.3=0.29,所以生产一件成品的平均利润是100×0.41+60×0.3-100×0.29=30(元),所以一条流水线一年能为该公司带来利润的估计值是30万元.(3)需购买该设备.因为μ-3σ=74,μ-σ=78,μ+σ=82,μ+3σ=86,设引入该设备后生产一件成品利润为Y元,则P(Y=100)=0.0026×0.2+0.3148×0.4+0.6826×0.6=0.536,P(Y=60)=0.0026×0.3+0.3148×0.3+0.6826×0.3=0.3,P(Y=-100)=0.0026×0.5+0.3148×0.3+0.6826×0.1=0.164,所以引入该设备后生产一件成品平均利润为100×0.536+60×0.3-100×0.164=55.2(元),所以引入该设备后一条流水线一年能为该公司带来利润的估计值是55.2万元,增加收入55.2-30-20=5.2(万元),综上,应该购买该设备.新情境创新练17.某高校为了解全校学生的阅读情况,随机调查了200名学生每周阅读时间X(单位:小时)并绘制如图所示的频率分布直方图.(1)求这200名学生每周阅读时间的样本平均数x和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中间值代表);(2)由直方图可以认为,目前该校学生每周的阅读时间X服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数x,σ2近似为样本方差s2.①一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算:若X~N(μ,σ2),令Y=X-μσ,则Y~N(0,1),且P(X≤a)=PY≤a-μσ.利用直方图得到的正态分布,求P②从该高校的学生中随机抽取20名,记Z表示这20名学生中每周阅读时间超过10小时的人数,求P(Z≥2)(结果精确到0.0001)以及Z的数学期望.参考数据:178≈403,0.773419≈0.0076.若Y~N(0,1),则P(Y≤0.75)=0.7734解(1)x=6×0.03+7×0.1+8×0.2+9×0.35+10×0.19+11×0.09+12×0.04=9,s2=(6-9)2×0.03+(7-9)2×0.1+(8-9)2×0.2+(9-9)2×