可压缩一维非定常流动课件

第4章可压缩一维非定常流动§4.1可压缩、无粘、非定常基本方程组的数学结构及一维流动4.1.1可压缩、无粘、完全气体非定常流动基本组的数学结构4.1.2一维非定常无粘流基本方程组特征值与特征方程§4.2守恒变量与原始变量基本方程组间的相互转换及特征分析4.2.1双曲型方程组的左右特征向量矩阵及特征标准型方程4.2.2两类基本方程组间的相互转换及特征分析§4.3双曲型守恒律方程的弱解及熵函数、熵通量、熵条件下一页4.3.1熵函数与熵通量4.3.2强间断以及接触间断面两侧参数间的关系4.3.3典型模型方程的经典解4.3.4单个守恒律方程及Oлейник熵条件§4.4双曲型偏微分方程初、边值问题的提法4.4.1双曲型方程边界条件提法的一般性原则4.4.2单向波动方程的初、边值问题的提法4.4.3一维非定常Euler方程组初、边值问题的提法§4.5广义一维非定常流动的特征线和相容关系4.5.1有摩擦、加热、添质效应的广义一维非定常流动上一页下一页4.5.2广义一维非定常流动沿特征线的相容关系§4.6非定常一维均熵流动及分析4.6.1均熵流动下的黎曼不变量4.6.2初值问题的依赖域与影响区4.6.3简单波区的性质及流动参数计算§4.7波的相互作用4.7.1特征线在刚性边界上的反射4.7.2膨胀波或压缩波在开口端处的反射4.7.3等熵波之间的相互作用§4.8有间断面的一维非定常流动4.8.1运动激波与驻激波之间的共性及其重大区别4.8.2运动正激波在静止气体中的传播4.8.3激波的相互作用及接触间断面的计算4.8.4初始间断的分解及黎曼问题的精确解法上一页下一页§4.9激波管及流动分析4.9.1激波管各区流动的计算与分析4.9.2获得较高试验温度与速度的途径上一页4.1.1可压缩、无粘、完全气体非定常流动基本组的数学结构将上述方程按照运动方程式（4-1-5）、连续方程式（4-1-20）及能量方程式（4-1-15）的次序排列，便得到如下矩阵形式(4-1-5)(4-1-15)(4-1-20)下一页返回

4.1.2一维非定常无粘流基本方程组特征值与特征方程

一、一个空间变量的一阶拟线性双曲型方程组式中，A,B均为的矩阵，为未知函数组成的列向量；也为列向量。如果在所考察的区域内并且特征方程有n个实根即；设li为对应于的左特征行向量：上一页下一页

（4-1-25）如果构成完全组，即这些特征向量是完备的线性无关的，并且此时称方程组式（4-1-25）为双曲型方程组。二、方程组式（4-1-24）的特征方程组式（4-1-24）的特征方程为（4-1-24）上一页下一页其根为因此一维方程组式（4-1-24）是严格双曲型的，它的三族特征曲线分别为上一页返回4.2.1双曲型方程组的左右特征向量矩阵及特征标准型方程

上式被称为特征标准型方程，它是由n个如下所示的标量方程所组成，即如果曲线上的任意一点（）满足则曲线被称作第i族特征线。由式（4-2-23）得出，沿第i族特征线有（这里不对作和）

(4-2-23)下一页返回4.2.2两类基本方程组间的相互转换及特征分析

令，于是（4-2-47）式又可写为令，则有也就是说与为相似矩阵，由线性代数知道它们有相同的特征值。矩阵与的具体表达式为上一页下一页返回于是，对于矩阵，注意到式（4-2-41），则有这里为对角矩阵。因此，便可很方便的得到了矩阵的左特征矩阵与右特征向量矩阵，即上一页返回4.3.1熵函数与熵通量

熵函数与熵通量函数都是标量函数，尤其是熵函数它满足下列两点性质：1.是的凸函数，即的Hessian矩阵2.满足相容性条件，即下一页返回4.3.2强间断以及接触间断面两侧参数间的关系

①对于接触间断面，由定义知它是没有流体穿过的间断面即，因此这时由式（4-3-7）便可得；另外，由式（4-3-8）可得，这表明接触间断面两侧压强相等，速度相等，而气体的密度和温度等可以有任意间断。②对于激波，由式（4-3-10）可知，因为，所以即表示切向速度连续，而气流穿过激波时密度、法向、速度、压强和能量都要产生间断。（4-3-7）（4-3-8）（4-3-10）上一页下一页返回4.3.3典型模型方程的经典解

由常微分方程理论知道，如果与可微分，则上式便有惟一解，不妨将这个解记作并且与满足另外，当时，还要求与由式（4-3-12）给出，于是得到下面形式的方程上一页下一页（4-3-19）在这两个式子中为参量，也就是说式（4-3-19）与式（4-3-20）是关于的参量方程。于是首先由式（4-3-20）得到反函数，然后代入到式（4-3-19）中便得到了u的表达式，即

（4-3-20）上一页下一页返回4.3.4单个守恒律方程及Oлейник熵条件

Oлейник

在研究单个守恒律方程式（4322）的弱解惟一性时，提出了一个熵条件即这里得到严格的数学证明；至于多维方程组，熵条件仅仅是确定惟一物理解的必要条件。式（4-3-43）常称作Oлейник

熵条件。数学上可以证明：满足Oлейник熵条件的弱解是惟一的，并且是物理解。文献[19]还进一步解释了Oлейник

熵条件所对应的物理问题是穿过激波的熵增条件。这里应该指出：尽管对于单个一维守恒型方程，数学上已经证明了满足熵条件的弱解是惟一的物理解，但是对于一维守恒方程组在一般情况下，解的惟一性并没有（4-3-43）上一页返回4.4.1双曲型方程边界条件提法的一般性原则

式中，是阶矩阵，是阶矩阵；与分别为r维与维列向量。当时，则式（4-4-13）变成用矩阵表达的如下形式的边界条件式中，为阶矩阵；与分别为r维与维列向量；M与的表达式为上一页下一页（4-4-13）（4-4-15）这里M矩阵表示了反射规律，即当考虑波的传播时，式（4-4-15）的第一项表示了边界上波的反射规律，也可以理解为流出分量在边界上被部分的反射而转化成的流入分量。式（4-4-15）还表明：对每个流入特征变量应该给边界条件。上一页下一页返回4.4.2单向波动方程的初、边值问题的提法

1.关于纯初值问题图（如图4.2所示）表示。显然，当时，式（4-4-34）可以看作是一个向右传播的波。2.关于初边值问题的提法如果特征线自边界走向求解域内部，则在该边界上应该规定边界条件；反之，若特征线自求解域内部走向边界，则在该边界上不能规定边界条件（如图4.3

）。（4-4-34）上一页下一页返回图4.2波动方程初值问题返回图4.3特征线走向与初边值提法返回4.4.3一维非定常Euler方程组初、边值问题的提法

现在讨论方程组式（4-4-35）在平面上区域R的定解条件。这里R为0≤x≤l，0≤t≤t0的矩形区域，如图4.4所示。为了便于讨论，先假定。（4-4-35）上一页返回图4.4一维Euler流初边值问题的提法返回4.5.1有摩擦、加热、添质效应的广义一维非定常流动一、连续方程的分析一维流动的连续方程在不同的坐标系下其表达形式略有不同，今引进参数，因此在直角坐标系、柱坐标系和球坐标系下的一维连续方程可统一写为二、动量方程的分析

对于摩擦项，设壁面切应力为，摩擦系数，气流横截面接触壁面周长（润湿周长）的平均值为，于是dx控制体上所受的摩擦力在x轴上的投影为下一页

三、能量方程的分析加热和添质对能量方程都会产生影响，并且这时的流动并不是等熵流。由积分形式的能量方程，忽略质量力，有这里是对控制体的加热率。

上一页下一页返回4.5.2广义一维非定常流动沿特征线的相容关系

方程式是沿着特征线成立的关系式，在确定了并将式中消去以后，就是所要求的相容关系。图4.7给出了一维非定常流动的特征线。在xt平面上，特征线共有三族，即迹线，用C0表示；非定常流动的右行波和左行波，用表示，这里为第I族特征线（即右行波），为第II族特征线（即左行波）。上一页返回

图4.7一维非定常流动的特征线

（a）亚声速V＜a；（b）超声速V＞a返回4.6.1均熵流动下的黎曼不变量

因此对于完全气体，则黎曼不变量为在物理平面上，定义：所对应的特征线为第I族特征线，记作；所对应的为第II族特征线，记作；于是沿第I族C+：

下一页这里常数和就是对应的黎曼不变量与的取值。显然，它们沿着一条特征线是常数，而沿不同的特征线其常数值一般也是不同的。另外，式（4-6-18b）与式（4-6-19b）为沿着与特征线的相容性关系。将其与式（4-5-27）相比，显然这里仅仅是在均熵流动这个特定条件下的结果，而式（4-5-27）没有这个限制。当然，如果纯粹想得到式（4-6-18b）与式（4-6-19b）这两个关系式，也可以直接由式（4-5-27）出发，引进均熵流与完全气体这两个约束条件便能够得到。

沿第II族

上一页下一页返回4.6.2初值问题的依赖域与影响区

图4.8（a）所示的三角形abd内任意一点的状态都可以由ab线上的原始状态来决定，因此ab线段称为d点的依赖域。如图4.8（b）所示，自Q点沿气流方向引出两条马赫线表示了该点的微弱扰动传播区域的边界，也就是说该点的信息只能影响如图4.8（b）所示的下游阴影区域，因此该区域称为点Q的影响区。上一页下一页返回

图4.8初值问题的依赖域与影响区

（a）依赖域；（b）影响区返回4.6.3简单波区的性质及流动参数计算一、简单波的性质简单波区的特征线具有一些特殊的性质：（1）考察特征线（如图4.10所示），它们全部穿过均匀区。（2）考察简单区的一条典型的特征线（见图4.10）。（3）在简单波区域内，与a互为单值函数。二、简单波的类型与流动参数计算简单波大体上可分为四类，即右行膨胀波、右行压缩波、左行膨胀波和左行压缩，如图4.11所示。

上一页返回图4.10x－t平面上的简单波区返回图4.11压缩波与膨胀波

（a）右行膨胀波；（b）右行压缩波；（c）左行膨胀波；（d）左行压缩波返回4.7.1特征线在刚性边界上的反射

假设膨胀波前后的压力比已知，波前为静止区①，其参数已知，如图4.14所示。气体在膨胀波通过后由静止变成向左运动，当膨胀波遇到固壁时，波后的运动气体与不动的固壁接触。这时，边界条件就不满足，因为波后气体的速度为，方向向左，而固壁要求气体速度等于零。因此，固壁相当于对气体产生了一个膨胀的扰动，其结果产生一道左行膨胀波。当这一道膨胀波通过后，使波后气体速度，这样就满足了固壁上的边界条件。由此得出结论：膨胀波遇到不动的固壁反射为膨胀波。若封闭端不是静止固壁，而是运动的活塞，该活塞向右运动。当活塞运动速度小于时，仍反射成膨胀波。当活塞运动速度正好等于时，不产生反射波。膨胀波在固壁上反射可用状态平面图表示，如图4.14（b）所示。静止气体①中声速为a，在图上由点1表示。入射波沿特征线，按相容关系下一页（4-7-3）把状态从点1改变为点2。由此得出，与压力比的关系为为了使壁面处流体运动速度为零，反射膨胀波必须沿特征线把状态从点2改变为点3，点3处，即所以，由式（4-7-3）与式（4-7-4）得到入射膨胀波的特征线斜率，其中V和a应按①区和②区的平均值来确定，即根据图4.14（b）上线段12的中点来确定。（4-7-4）上一页下一页返回

图4.14膨胀波在管子封闭端反射返回4.7.2膨胀波或压缩波在开口端处的反射

为了确定波在开口端处反射的一般特性，现在讨论一种最简单情形。设有一小扰动的膨胀波，波前后的压力比已知。膨胀波向开口端运动，如图4.16所示。对于均熵流动，假设相应于周围压强的F值是个恒定值，即，又由于是已知的，在出口为亚声速流动时（如图4.17（a）所示）。对于出口为超声速流动，这时两族特征线都从管内入射到开口端上，如图4.17（b）所示，因此不存在反射的特征线，即在超声速流动中，声波不能逆流传播。在这种情况下，出口平面上的状态被与值所予先确定，并且通常出口压强与出口大气压强不同。上一页下一页返回图4.16波在开口端处的反射

（a）与（b）为膨胀波；（c）与（d）为压缩波返回图4.17在开口端处不同流动下的波反射返回4.7.3等熵波之间的相互作用

压缩波与压缩波迎面相交后，其透射波仍为压缩波。膨胀波与压缩波迎面相交后，其透射波与对应的入射波为同一类型。综上所述，简单波与简单波迎面相交后，相互作用的结果遵循这样一个规律即压缩波的透射波仍为压缩波，膨胀波的透射波仍为膨胀波。上一页返回4.8.1运动激波与驻激波之间的共性及其重大区别

在相对坐标系中，由于坐标系固连于激波面上，如图4.19所示，因此在这个坐标系下的观察者（常称相对观察者）看激波就变为驻激波了。注意到式（4-8-15）*，因此，式（4-8-30）中“+”号用于右传波，“–”号用于左传波，对于右传波，它的始终是一个大于1的正值，并且；对于左传波，始终是一个负值，但它的绝对值仍是大于1的正数，并且;通常，运动激波可能出现下面四种情况：①波前亚声速，波后仍是亚声速；②波前亚声速，波后变成超声速；③波前超声速，波后仍是超声速；④波前超声速，波后变成亚声速。（4-8-15）（4-8-30）下一页返回图4.19运动激波的两种坐标系返回4.8.2运动正激波在静止气体中的传播

令与为激波前与波后的速度，N为激波面传播的速度，于是由式（2-2-24）得到正激波的基本方程组为这个方程组共有7个参量：；现在已知，所以剩下的6个参量中只要再给出其中的三个参量则问题便可求解了。原来静止区域中的一般总是已知的，因此另一个条件可以给激波强度，也可以给激波传播的速度N，当然也可以给伴流速度（又称跟随速度）V2

。上一页

下一页返回4.8.3激波的相互作用及接触间断面的计算

一、六种情况的综合分析与计算图4.21给出了常见的六种相互作用的情况。1.激波在固壁上反射设有一道右行入射激波，以某一速度在静止区域①中传播，波后②区中气体速度为V2；当激波遇到固壁时，②区中运动着的气体与固壁相撞，产生较高压力，必然反射一道左传反射激波，如图4.21（a）所示。反射激波后③区气体又恢复静止。2.激波在管道开口端反射激波与管道开口端相互作用可能产生几种不同的结果。这主要取决于管内气体的速度和压力。下面仅讨论一种简单情况，即管口内外气体压力、速度相等的情形。设有一右行激波向开口端运动，如图4.22所示。当激波通过后，波后压力增高。激波到达开口端时，波后②区的气体直接与外界接触。口内气体压力高于口外压力，这时开口端给予气体一个膨胀扰动，因而在开口端反射出一系列膨胀波，又因为压力是突然下降的，所以膨胀波是中心膨胀波，在膨胀波后的③区内，这时。上一页下一页3.两激波相交将产生接触面所谓接触面是气体某些热力学参数的间断面。它的两侧可以是两种不同的气体，也可以是同一种气体。接触面与激波的一个重要区别是激波面有气体通过；而接触面没有气体通过，即接触面与两侧气体一起运动。所以，接触面两侧气体速度相等，压力也相等。如果不考虑掺混、粘性扩散和热传导等输运过程，那么接触面一旦形成，在整个运动过程中应该保持不变。4.激波与接触面的相互作用当激波与接触面相互作用时，如图4.21（e）（f）所示，总会有一个透射激波穿过接触面。另外，在交点上将会产生一个反射波，其反射波的种类可能是激波，也可能是膨胀波，这要依赖于接触面两侧气体的热力学参数和气体的流动参数。另外，理论计算与分析还表明：对于图4.21（e）或者图4.24（b）所示的反射波，其透射波的强度要小于入射激波的强度，而对于图4.21（f）或者图4.24（a）所示的反射波，其透射激波强度要大于入射激波的强度。上一页下一页图4.21激波相互作用的六种情况

（a）激波在刚性壁或封闭端反射；（b）激波入射于恒压开口端；（c）异族激波相交；（d）同族激波相交；

（e）激波入射于接触面；（f）激波入射于接触面返回图4.21激波相互作用的六种情况

（a）激波在刚性壁或封闭端反射；（b）激波入射于恒压开口端；（c）异族激波相交；（d）同族激波相交；

（e）激波入射于接触面；（f）激波入射于接触面返回图4.22激波在开口端的反射返回图4.24激波与接触面的相交返回二、两波作用时接触间断产生的几种情况综上分析，关于两波相互作用能否产生接触间断面问题可以归纳出以下的五点：（1）激波与激波作用要产生接触间断面。（2）激波与接触间断面作用后要产生新的接触间断面。（3）激波与膨胀波作用后要产生接触间断面。（4）膨胀波与膨胀波相互作用后不产生接触间断面。（5）膨胀波与接触面作用后要产生新的接触间断面。上一页下一页返回4.8.4初始间断的分解及黎曼问题的精确解法

一、初始间断的分解图4.25给出的五种类型：①在接触间断（以虚线表示）的左右两边各有一个激波（以粗线表示），其中一个为左行激波，一个为右行激波。这些波都是从初始间断点处出发的，各自以常速度运动。在接触间断面与激波之间的区域都是常数状态区。②在接触间断面的左边有一个左行中心膨胀波（以一束直线表示），在接触面右边有一个右行激波。中心膨胀区的物理量是的函数，并从其波头（又称第一道膨胀波）连续地过渡到波尾。③接触间断面的左边有一个左行激波，右边有一个右行中心膨胀波。④接触面的左边有一个左行中心膨胀波，右边有一个右行中心膨胀波。⑤在初始间断点处的左边发出一个左行中心膨胀波，右边发出一个右行中心膨胀波，在两个中心膨胀波之间出现真空区域。上一页下一页图4.25任意间断分解的五种可能情况返回二、黎曼（Riemann）问题的数学提法三、黎曼问题的精确解考察特征线的斜率与流线的斜率V，由于总有，因此流体的质点总是油左侧进入每一条特征线。简单波可分为压缩波与膨胀波，对于压缩波则，而对于膨胀波则；对于左

行中心膨胀波，取中心为原点（0,0），则特征线为上一页下一页（4-8-67）设左行中心膨胀波的左边界即波头见图4.26（b）为，右边界即波尾为，在左边界处状态为，右边界状态为，于是，；在左行中心波区中有将式（4-8-67）与式（4-8-68）联立解得左行中心波区中的状态分布上一页

返回（4-8-68）它们是的函数。该区中的压强与密度分布为这里为波头处的密度、压强和声速。对于右行简单波，它有一个黎曼不变量为普适常数，并且有如下关系成立，即上一页下一页（4-8-71）考察特征线，流体的质点总是不断地从右侧进入每一条特征线。同样的，对于右行中心膨胀波，取中心为原点时，特征线为设右行中心膨胀波的左边界即波尾（如图4.26（a）所示）为，右边界即波头为，在波头处的状态为；在波尾处的状态为；于是在右行中心膨胀波区中有将式（4-8-72）与式（4-8-71）联立解得右行中心膨胀波区状态的分布上一页下一页（4-8-72）图4.26右行与左行膨胀波返回3.间