湖南省衡阳市 衡东县高塘中学高三数学理月考试题含解析

湖南省衡阳市衡东县高塘中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.过曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点F1作曲线C2：x2+y2=a2的切线，设切点为M，延长F1M交曲线C3：y2=2px（p＞0）于点N，其中曲线C1与C3有一个共同的焦点，若|MF1|=|MN|，则曲线C1的离心率为(

)A． B．﹣1 C．+1 D．参考答案：D【考点】双曲线的简单性质．【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】双曲线的右焦点的坐标为（c，0），利用O为F1F2的中点，M为F1N的中点，可得OM为△NF1F2的中位线，从而可求|NF1|，再设N（x，y）过点F作x轴的垂线，由勾股定理得出关于a，c的关系式，最后即可求得离心率．【解答】解：设双曲线的右焦点为F2，则F2的坐标为（c，0）因为曲线C1与C3有一个共同的焦点，所以y2=4cx因为O为F1F2的中点，M为F1N的中点，所以OM为△NF1F2的中位线，所以OM∥PF2，因为|OM|=a，所以|NF2|=2a又NF2⊥NF1，|FF2|=2c所以|NF1|=2b设N（x，y），则由抛物线的定义可得x+c=2a，∴x=2a﹣c过点F作x轴的垂线，点N到该垂线的距离为2a由勾股定理y2+4a2=4b2，即4c（2a﹣c）+4a2=4（c2﹣a2）得e2﹣e﹣1=0，∴e=．故选：D【点评】本题主要考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，考查抛物线的定义，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．2.与105有大于1的公约数的两位自然数的和是（

）（A）2078

（B）2295

（C）2708

（D）3338参考答案：C3.下列命题中，假命题是（）A．?x∈R，3x﹣2＞0 B．?x0∈R，tanx0=2C．?x0∈R，log2x0＜2 D．?x∈N*，（x﹣2）2＞0参考答案：D【考点】全称命题；特称命题．【专题】函数的性质及应用；简易逻辑．【分析】根据指数函数，对数函数，正切函数，二次函数的图象和性质，分别判断四个答案的真假，可得答案．【解答】解：由指数函数的值域为（0，+∞）可得：?x∈R，3x﹣2＞0为真命题；由正切函数的值域为R可得：?x0∈R，tanx0=2为真命题；由对数函数的值域为R可得：?x0∈R，log2x0＜2为真命题；当x=2时，（x﹣2）2=0，故?x∈N*，（x﹣2）2＞0为假命题，故选：D．【点评】本题考查的知识点是全称命题，函数的值域，是函数与命题的综合应用，难度不大，属于基础题．4.下列四个判断：①某校高三一班和高三二班的人数分别是，某次测试数学平均分分别是，则这两个班的数学平均分为；②名工人某天生产同一零件，生产的件数是设其平均数为,中位数为,众数为，则有；

③从总体中抽取的样本，则回归直线=必过点（）④已知服从正态分布,，且，则

其中正确的个数有：（

）A．个

B．

个

C．

个

D．个参考答案：C5.一个四棱锥的三视图如图所示，则下列结论正确的是（

）

A、该四棱锥是正四棱锥

B、该四棱锥的体积为

C、该四棱锥的侧棱与底面所成的最大角为

D、该四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等参考答案：D6.已知集合，，则（

）A．(0,1)

B．(1,2)

C．(1,+∞)

D．(0,+∞)参考答案：C依题意，∴，故选C.

7.已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于（）A．

B．

C．

D．参考答案：C略8.椭圆的一个焦点为，若椭圆上存在一个点，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段相切于该线段的中点，则椭圆的离心率为A.

B.

C.

D.参考答案：D9.“a=0”是“复数z=a+bi（a，b∈R）为纯虚数”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】常规题型．【分析】由于复数z=a+bi（a，b∈R）为纯虚数，故a=0且b≠0，即“a=0”是“复数z=a+bi（a，b∈R）为纯虚数”的必要不充分条件．【解答】解：依题意，复数z=a+bi（a，b∈R）为纯虚数，?a=0且b≠0，∴“a=0”是“复数z=a+bi（a，b∈R）为纯虚数”的必要不充分条件，故选B．【点评】本题主要考查复数的基本概念，以及必要条件、充分条件的判断，是一道比较基础的题目．10.要得到函数y=2cos（2x－）的图象，只需将函数y=2cos2x的图象（

）A

向左平移个单位

B

向右平移个单位C

向左平移个单位

D

向右平移个单位参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数f（x）=x2﹣3x的定义域为{1，2，3}，则f（x）的值域为．参考答案：{﹣2，0}【考点】函数的值域．【专题】计算题；函数思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】直接把x的取值代入函数解析式求解．【解答】解：∵函数f（x）=x2﹣3x的定义域为{1，2，3}，得f（1）=﹣2，f（2）=﹣2，f（3）=0．∴f（x）的值域为{﹣2，0}．故答案为：{﹣2，0}．【点评】本题考查函数值域的求法，是基础的计算题．12.已知函数(R)的两个零点分别在区间和内，则的取值范围为 参考答案：略13.若，则向量在向量方向上的投影为

．参考答案：－214.已知三棱锥P-ABC中，侧棱,当侧面积最大时，三棱锥P-ABC的外接球体积为____参考答案：【分析】当三棱锥侧面积最大时，，，两两互相垂直，可知以，，为长、宽、高的长方体的外接球即为三棱锥的外接球，长方体外接球半径为体对角线的一半，从而求得半径，代入球的体积公式得到结果.【详解】三棱锥的侧面积为：，，相互之间没有影响当上述三个角均为直角时，三棱锥的侧面积最大此时，，两两互相垂直以，，为长、宽、高的长方体的外接球即为三棱锥的外接球外接球半径三棱锥的外接球的体积：本题正确结果：【点睛】本题考查多面体的外接球体积的求解问题，关键是能够通过侧面积最大判断出三条棱之间的关系.15.如图，在平面直角坐标系xoy中，将直线y=与直线x=1及x轴所围成的图形绕x轴旋转一周得到一个圆锥，圆锥的体积V圆锥=π（）2dx=|=据此类比：将曲线y=x2（x≥0）与直线y=2及y轴所围成的图形绕y轴旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的体积V=．参考答案：2π【考点】用定积分求简单几何体的体积．【专题】导数的概念及应用；推理和证明．【分析】根据类比推理，结合定积分的应用，即可求出旋转体的体积．【解答】解：根据类比推理得体积V==πydy=，故答案为：2π【点评】本题主要考查旋转体的体积的计算，根据类比推理是解决本题的关键．16.命题“”的否定是_______

______.参考答案：略17.函数的最小正周期为____________．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设等差数列的公差为2，等比数列的公比为2，且，．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列的前n项和Sn．参考答案：（1）（2）【分析】（1）根据题意可得，，联立解方程可得数列的通项公式；（2）通过分组求和法可得数列的前n项和.【详解】解：（1）因为，，所以，，依题意可得，，，故；（2）由（1）可知，，故.【点睛】本题考查等差数列，等比数列的通项公式，考查分组法求和，是基础题.19.已知向量，（1）求的最大值和最小值；（2）若，求k的取值范围。参考答案：解：（1）

……………2分20.（本小题满分12分）单调递增数列的前行项和为，且满足．

(I)求数列的通项公式；

(Ⅱ)数列满足：。求数列的前n项和。参考答案：21.（本小题满分12分）如图，在中，已知,是边上的一点，(Ⅰ)求的值；（Ⅱ）求的值。参考答案：法一：（Ⅰ）由余弦定理得，，

…8分（Ⅱ）得…12分法二：由正弦定理可得,

…8分由正弦定理可得

……12分22.已知函数f（x）=ax3+x．（Ⅰ）若函数f（x）在x=1处取得极值，求实数a的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，函数g（x）=f′（x）（x2+px+q）（其中f′（x）为函数f（x）的导数）的图象关于直线x=1对称，求函数g（x）的最大值．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，根据f′（1）=0，求出a的值，检验即可；（Ⅱ）求出g（x）的解析式，求出函数g（x）的导数，得到函数的单调区间，从而求出g（x）的最大值即可．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=ax3+x有f'（x）=3ax2+1因为f（x）在x=1处取得极值，故f'（1）=3a+1=0∴经检验：当时，符合题意，故（Ⅱ）由（Ⅰ）知：g（x）=（﹣x2+1）（x2+px+q）∵g（x）的图象关于直线x=﹣1对称，故函数g（x﹣1）为偶函数又g（x﹣1）=[﹣（x﹣1）2+1][（x﹣1）2+p（x﹣