天津窦庄子中学2021年高三数学理模拟试题含解析

天津窦庄子中学2021年高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知，则（）A、

B、3

C、0

D、参考答案：B==【考点】同角三角函数间的基本关系的应用，二倍角公式。

2.设实数x，y满足，则2xy的最大值为（）A．25 B．49 C．12 D．24参考答案：A【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用基本不等式进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由图象知y≤10﹣2x，则2xy≤2x（10﹣2x）=4x（5﹣x））≤4（）2=25，当且仅当x=，y=5时，取等号，经检验（，5）在可行域内，故2xy的最大值为25，故选：A．3.下列函数中，周期为，且在上为减函数的是

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：A略4.（5分）（2011?开封一模）已知条件p：x≤1，条件q：＜1，则q是￢p成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件参考答案：【考点】：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】：计算题．【分析】：首先解不等式，然后再找出┐p和q的关系．解：∵p：x≤1，?p：x＞1，q：＜1?x＜0，或x＞1，故q是?p成立的必要不充分条件，故选B．【点评】：找出?p和q的关系，考查必要条件和充要条件的定义，比较简单．5.已知双曲线（，）的一条渐近线的方程是，且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B6.函数是定义在上的偶函数,且满足,当时,,若方程恰有三个不相等的实数根,则实数的取值范围是A.

B.

C.

D.参考答案：A7.若复数z满足(3－4i)z=|4+3i|，则z的虚部为（

）A.4

B.－4

C.D.参考答案：C8.如图，AB是⊙O的直径，VA垂直⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A、B的任意一点，M、N分别为VA、VC的中点，则下列结论正确的是()A．MN∥ABB．MN与BC所成的角为45°C．OC⊥平面VACD．平面VAC⊥平面VBC参考答案：D依题意，MN∥AC，又直线AC与AB相交，因此MN与AB不平行；注意到AC⊥BC，因此MN与BC所成的角是90°；注意到直线OC与AC不垂直，因此OC与平面VAC不垂直；由于BC⊥AC，BC⊥VA，因此BC⊥平面VAC.又BC?平面VBC，所以平面VBC⊥平面VAC.综上所述可知选D.9.圆的一条切线与圆相交于，两点，为坐标原点，则（

）A. B.－2 C.2 D.参考答案：B【分析】根据向量的点积的坐标运算得到，再由向量点积的定义式得到，根据直线和圆的位置关系以及半径的大小，得到结果即可.【详解】切线与圆切于点E，由题干知圆心均为O点，则根据向量点积坐标公式得到：，故得到：故答案为：B.【点睛】这个题目考查了向量的点积运算，包括向量点积的坐标运算，属于基础题.10.、为两个互相垂直的平面，、为一对异面直线，下列条件：①、；②、；③、；④、且与的的距离等于与的距离，其中是的充分条件的有（

）

A．①④

B．①

C．③

D．②③参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，若S9=27，则a2﹣3a4等于

．参考答案：﹣6【考点】等差数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】在等差数列{an}中，由S9=27求得a5，利用a4﹣a2=2（a5﹣a4）可求解a2﹣3a4的值．【解答】解：因为数列{an}为等差数列，且Sn为其前n项和，由S9=27，得9a5=27，所以a5=3．又在等差数列{an}中，a4﹣a2=2（a5﹣a4），所以a2﹣3a4=﹣2a5=﹣6．故答案为﹣6．【点评】本题考查了等差数列的前n项和，考查了等差数列的性质，考查了学生的灵活变形能力，是基础题．12.在的展开式中的常数项为

.参考答案：1013.已知集合A=,B=,则AB=

。参考答案：14.在一个容量为5的样本中，数据均为整数，已测出其平均数为10，但墨水污损了两个数据，其中一个数据的十位数字1未污损，即9，10，11，，那么这组数据的方差s2可能的最大值是

．参考答案：36【考点】极差、方差与标准差．【分析】设这组数据的最后2个分别是：10+x，y，得到x+y=10，表示出S2，根据x的取值求出S2的最大值即可．【解答】解：设这组数据的最后2个分别是：10+x，y，则9+10+11+（10+x）+y=50，得：x+y=10，故y=10﹣x，故S2=[1+0+1+x2+（﹣x）2]=+x2，显然x最大取9时，S2最大是36，故答案为：36．【点评】本题考查了求数据的平均数和方差问题，是一道基础题．15.已知等差数列的公差，且，，成等比数列，若，为数列的前项和，则的最小值为____________．参考答案：4依题意可得，当且仅当，等号成立.16.若函数有零点，则k的取值范围为_______.参考答案：；12.17.函数的定义域为___________.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知数列{an}是首项为正数的等差数列，数列{}的前n项和为．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=（an+1）?2，求数列{bn}的前n项和Tn．参考答案：【考点】数列的求和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）通过对cn=分离分母，并项相加并利用数列{}的前n项和为即得首项和公差，进而可得结论；（2）通过bn=n?4n，写出Tn、4Tn的表达式，两式相减后利用等比数列的求和公式即得结论．【解答】解：（1）设等差数列{an}的首项为a1、公差为d，则a1＞0，∴an=a1+（n﹣1）d，an+1=a1+nd，令cn=，则cn==[﹣]，∴c1+c2+…+cn﹣1+cn=[﹣+﹣+…+﹣]=[﹣]==，又∵数列{}的前n项和为，∴，∴a1=1或﹣1（舍），d=2，∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1；（2）由（1）知bn=（an+1）?2=（2n﹣1+1）?22n﹣1=n?4n，∴Tn=b1+b2+…+bn=1?41+2?42+…+n?4n，∴4Tn=1?42+2?43+…+（n﹣1）?4n+n?4n+1，两式相减，得﹣3Tn=41+42+…+4n﹣n?4n+1=?4n+1﹣，∴Tn=．【点评】本题考查求数列的通项及求和，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．19.已知函数，(Ⅰ）当时，求该函数的定义域和值域；(Ⅱ）如果在区间上恒成立，求实数的取值范围.参考答案：(1)当时，令，解得所以函数的定义域为.令，则所以因此函数的值域为(2)解法一：在区间上恒成立等价于在区间上恒成立令当时，，所以满足题意.当时，是二次函数，对称轴为，当时，，函数在区间上是增函数，，解得；当时，，，解得当时，，，解得综上，的取值范围是

解法二：在区间上恒成立等价于在区间上恒成立由且时，，得令，则所以在区间上是增函数，所以因此的取值范围是.20.如图的几何体中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD=DE=2AB=2，F为CD的中点． （1）求证：AF∥平面BCE； （2）求A到平面BCE的距离． 参考答案：【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定． 【分析】（1）通过取CE的中点G，利用三角形的中位线定理和平行四边形的性质及线面平行的判定定理即可证明； （2）利用三棱锥的体积公式计算，即可求A到平面BCE的距离． 【解答】（1）证明：取CE的中点G，连接FG、BG． ∵F为CD的中点，∴GF∥DE且． ∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD， ∴AB∥DE，∴GF∥AB， 又，∴GF=AB． ∴四边形GFAB为平行四边形，则AF∥BG． ∵AF?平面BCE，BG?平面BCE，∴AF∥平面BCE． （2）连接AE，设A到平面BCE的距离为h， 在△BCE中，，， ∴， 又，， ∴由VA﹣BCE=VC﹣ABE，即（CH为正△ACD的高）， ∴ 即点A到平面BCE的距离为． 【点评】熟练掌握线面平行的判定定理和性质定理及棱锥的体积计算公式是解题的关键．21.已知递增的等比数列{an}的前n项和Sn满足：S4=S1+28，且a3+2是a2和a4的等差中项． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）若bn=anlogan，Tn=b1+b2+…+bn，求使Tn+n2n+1=30成立的正整数n的值． 参考答案：【考点】等差数列与等比数列的综合． 【分析】（I）由题意，得，由此能求出数列{an}的通项公式． （Ⅱ）bn=anlogan，Tn=b1+b2+…+bn=﹣（1×2+2×22+…+n×2n），进而可得Tn+n2n+1=30成立的正整数n的值． 【解答】解：（I）设等比数列{an}的公比为q， ∵S4=S1+28，且a1+2是a2和a4的等差中项． ∴， 解得， 即数列{an}的通项公式为an=22n﹣1=2n… （Ⅱ）bn=anlogan，… Tn=b1+b2+…+bn=﹣（1×2+2×22+…+n×2n）① 则2Tn=﹣（1×22+2×23+…+n×2n+1）② ②﹣①，得Tn=（2+22+…+2n）﹣n2n+1=2n+1﹣2﹣n2n+1 即数列{bn}的前项和Tn=2n+1﹣2﹣n2n+1， 则Tn+n2n+1=2n+1﹣2=30， 即2n+1=32， 解得：n=4 【点评】本题考查数列的性质的应用，解题时要认真审题，注意数列与不等式的综合运用，合理地进行等价转化． 22.（本小题满分12分）设点、分别是椭圆的左、右焦点,为椭圆上任意一点,且的最小值为.（I）求椭圆的方程;（II）设直线（直线、不重合）,若、均与椭圆相切，试探究在轴上是否存在定点,使点到、的距离之积恒为1?若存在,请求出点坐标;若不存在,请说明理由.参考答案：（I）设,则有,

由最小值为得,∴椭圆的方程为