山东省菏泽市兴华中学2021-2022学年高三数学理上学期期末试卷含解析

山东省菏泽市兴华中学2021-2022学年高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知单位向量的夹角为

A．

B．

C．

D．参考答案：C2.若，满足，则下列不等式恒成立的是A．

B．

C．

D．

参考答案：D3.设是空间两条不同直线；，是空间两个不同平面；则下列选项中不正确的是A．当时，“”是“∥”成立的充要条件

B．当时，“”是“”的充分不必要条件C．当时，“”是“”的必要不充分条件D．当时，“”是“”的充分不必要条件参考答案：C4.为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文→密文（加密）,接收方由密文→明文（解密）,已知加密规则为:明文a,b,c,d对应密文a+2b,2b+c,2c+3d,4d,例如,明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16．当接收方收到密文14,9,23,28时,则解密得到的明文为

（

）

A．．4,6,1,7

B．7,6,1,4

C．6,4,1,7

D．1,6,4,7参考答案：C5.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球体积为（） A． B． C．32π D．8π参考答案：B【考点】球的体积和表面积；简单空间图形的三视图． 【分析】由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，其外接球相当于一个长，宽，高分别为，，2的长方体的外接球，计算出球的半径，代入球的体积公式，可得答案． 【解答】解：由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥， 其外接球相当于一个长，宽，高分别为，，2的长方体的外接球， 故外接球的半径R==， 故球的体积V==， 故选B． 【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状． 6.已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2=b2+c2﹣bc，bc=4，则△ABC的面积为(

) A． B．1 C． D．2参考答案：C考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：由已知及余弦定理可求cosA，从而可求sinA的值，结合已知由三角形面积公式即可得解．解答： 解：∵a2=b2+c2﹣bc，∴由余弦定理可得：cosA===，又0＜A＜π，∴可得A=60°，sinA=，∵bc=4，∴S△ABC=bcsinA==．故选：C．点评：本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式的应用，解题时要注意角范围的讨论，属于基本知识的考查．7.已知函数f（x）=x2+cosx，f′（x）是函数f（x）的导函数，则f′（x）的图象大致是（）A． B． C． D．参考答案：A考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：由于f（x）=x+cosx，得f′（x）=x﹣sinx，由奇函数的定义得函数f′（x）为奇函数，其图象关于原点对称，排除BD，取x=代入f′（）=﹣sin=﹣1＜0，排除C，只有A适合．解答：解：由于f（x）=x+cosx，∴f′（x）=x﹣sinx，∴f′（﹣x）=﹣f′（x），故f′（x）为奇函数，其图象关于原点对称，排除BD，又当x=时，f′（）=﹣sin=﹣1＜0，排除C，只有A适合，故选：A．点评：本题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力，同时考查导数的计算，属于中档题．8.已知各项均为正数的等差数列{an}的公差为2，等比数列{bn}的公比为-2，则（

）A. B.C. D.参考答案：B【分析】由已知求得等比数列{bn}的通项公式，作比即可得到．【详解】∵等差数列{an}的公差为2，数列{bn}是公比为﹣2的等比数列，∴，∴．故选：B．【点睛】本题考查等差数列与等比数列的通项公式，是基础题．9.设是定义在上的偶函数,且当时,.若对任意的,不等式恒成立,则实数的最大值是

（

）.(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：C10.已知函数，则关于的方程的实根个数不可能为（

）A.个

B.个

C.个

D.个参考答案：A【知识点】根的存在性及根的个数判断．B9当时，即或，∴，当时，即或，∴，∴，其图象如下图所示：故选：A．【思路点拨】首先，根据所给函数，求解的图象，然后，根据图象，得到相应的结果．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图所示，在一个边长为1的正方形内，曲线和曲线围成一个叶形图（阴影部分），向正方形内随机投一点（该点落在正方形内任何一点是等可能的），则所投的点落在叶形图内部的概率是

.参考答案：12.的解集是

参考答案：13.若实数，则的取值范围为

．参考答案：略14.已知数列的通项公式为，其前

n项和为，则在数列中，有理数项的项数为________．参考答案：略15.设函数的定义域为D，如果存在正实数，使对任意，都有，且恒成立，则称函数为D上的“型增函数”．已知是定义在R上的奇函数，且当时，，若为R上的“型增函数”，则实数的取值范围是

．参考答案：略16.△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列，若sinB=，cosB=，则a+c的值为

．参考答案：3．【考点】余弦定理．【分析】由a，b，c成等比数列，可得b2=ac，由sinB=，cosB=，可解得ac=13，再由余弦定理求得a2+c2=37，从而求得（a+c）2的值，即可得解．【解答】解：∵a，b，c成等比数列，∴b2=ac，∵sinB=，cosB=，∴可得=1﹣，解得：ac=13，∵由余弦定理：b2=a2+c2﹣2accosB=ac=a2+c2﹣ac×，解得：a2+c2=37．∴（a+c）2=a2+c2+2ac=37+2×13=63，故解得a+c=3．故答案为：3．【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，以及同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，属于中档题．17.设向量，，若，则实数的值为______.参考答案：【分析】根据向量垂直知其数量积为0,根据坐标计算即可.【详解】∵，,∴，∴.故答案为.【点睛】本题主要考查了向量垂直的条件，属于中档题.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知f（x）=ln（x+m）﹣mx．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）设m＞1，x1，x2为函数f（x）的两个零点，求证：x1+x2＜0．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论m的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）构造函数g（x）=emx﹣x，g（x）=emx﹣x与y=m图象两交点的横坐标为x1，x2，问题转化为证明令，根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=ln（x+m）﹣mx，∴，当m≤0时，∴，即f（x）的单调递增区间为（﹣m，+∞），无减区间；当m＞0时，∴，由f'（x）=0，得，时，f'（x）＞0，时，f'（x）＜0，∴m＞0时，易知f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为，（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为．不妨设﹣m＜x1＜x2，由条件知，即，构造函数g（x）=emx﹣x，g（x）=emx﹣x与y=m图象两交点的横坐标为x1，x2，由g'（x）=emx﹣1=0可得，而m2＞lnm（m＞1），∴知g（x）=emx﹣x在区间上单调递减，在区间上单调递增．可知欲证x1+x2＜0，只需证，即证，考虑到g（x）在上递增，只需证由g（x2）=g（x1）知，只需证令，则，即h（x）单增，又，结合知h（x1）＜0，即成立，即x1+x2＜0成立．19.浙江电视台2013年举办了“中国好声音”第二届大型歌手选秀活动，过程分为初赛、复赛和决赛，经初赛进入复赛的40名选手被平均分成甲、乙两个班．下面是根据这40名选手参加复赛时获得的100名大众评审的支持票数制成的茎叶图：赛制规定：参加复赛的40名选手中，获得的支持票数排在前5名的选手可进入决赛，若第5名出现并列，则一起进入决赛；另外，票数不低于95票的选手在决赛时拥有“优先挑战权”．（Ⅰ）分别求出甲、乙两班的大众评审的支持票数的中位数、众数与极差；（Ⅱ）从进入决赛的选手中随机抽出3名，求其中恰有1名拥有“优先挑战权”的概率．参考答案：【考点】古典概型及其概率计算公式；茎叶图；极差、方差与标准差．【分析】（I）将甲乙两班的大众评审的支持票数从小到大排列，根据众数、中位数与极差的定义和解法分别进行计算，即可求出答案．（II）根据已知求出：①符合条件的情况数目，②全部情况的总数；二者的比值就是其发生的概率．【解答】解：（I）甲班的大众评审的支持票数：62，66，67，67，68，69，72，72，72，76，77，78，81，81，82，85，85，86，88，90．72出现了3次，出现的次数最多，故众数是72，从小到大排列最中间的两个数是76，77，则中位数是76.5．最大数为90，最小值为62，故极差为28，乙班的大众评审的支持票数：65，67，68，69，73，74，76，78，81，82，84，86，87，88，89，90，91，95，95，98．95出现了2次，出现的次数最多，故众数是95，从小到大排列最中间的数是82，84，则中位数是83．最大数为98，最小值为65，故极差为33，（II）共有6名选手进入决赛，其中有3名拥有“优先挑战权”．所有的基本事件共=20种，符合题意的基本事件有=9种，故随机抽出3名，其中恰有1名拥有“优先挑战权”的概率P=20.如图6所示，F1、F2为椭圆C：＋＝1（b0）的左、右焦点，D、E分别是椭圆C的右顶点和上顶点，椭圆的离心率e＝，＝1－.若点M(x0,y0)在椭圆C上，则点N(，)称为点M的一个“椭点”，直线l与椭圆交于A、B两点，A、B两点的“椭点”分别为P、Q，已知以PQ为直径的圆过坐标原点.（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）问是否存在过左焦点F1的直线l，使得以PQ为直径的圆过坐标原点？若存在，求出该直线的方程，若不存在，请说明理由．

参考答案：解：（I）e＝＝

c=a,b=aSDEF2＝(a-c)b=1－a=2,b=1故椭圆C的标准方程为＋y2＝1………………….5分（Ⅱ）①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－此时A（－，），B（－，－）所以对应的“椭点”坐标为P（－，），Q（－，－）·=0，所以此时以PQ为直径的圆不过坐标原点．②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k(x+)(4k2+1)x2＋8k2x＋12k2－4＝0

x1＋x2＝

,

x1·x2＝·=＋y1·y2＝x1·x2＋k2(x1＋x2)+3k2＝0

k2＝，k＝．直线方程为y＝x+或y＝－x-………13分

略21.

“开门大吉”是某电视台推出的游戏益智节目．选手面对1-4号4扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐(将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎)，选手需正确回答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金．正确回答每一扇门后，选手可自由选择带着奖金离开比赛，还可继续挑战后面的门以获得更多奖金．（奖金金额累加）但是一旦回答错误，奖金将清零，选手也会离开比赛．在一次场外调查中，发现参加比赛的选手多数分为两个年龄段：20~30；30~40（单位：岁），其猜对歌曲名称与否人数如图所示．

每扇门对应的梦想基金：（单位：元）

（Ⅰ）写出列联表；判断是否有90%的把握认为猜对歌曲名称与否与年龄有关？

说明你的理由．（下面的临界值表供参考）P（K2≥k）0.100.050.0250.0100.0050.001k2.7063.8415.0246.6357.87910.828

（Ⅱ）若某选手能正确回答第一、二、三、四扇门的概率分别为，正确回

答一个问题后，选择继续回答下一个问题的概率是，且各个问题回答正确与否互

不影响．设该选手所获梦想基金总数为，求的分布列及数学期望．参考公式

其中）

参考答案：解：（Ⅰ）根据所给的二维条形图得到列联表，……………2分

正确错误合计20~30（岁）10304030~40（岁）107080合计