浅说函数与几何综合题的解题策略及复习

1浅说函数与几何综合题的解题策略及复习函数与几何是初中数学中的重点内容,是中考命题重点考查的内容之一；函数中的几何问题，能使代数知识图形化，而几何中的函数问题，能使图形性质代数化；由于函数与几何结合的综合题的形式灵活、立意新颖，能更好地考查学生的思维水平和数学思想方法，因而成为近几年各地中考的一类热门试题；这一特点在孝感市近三年的中考数学试卷中表现得尤为突出；如2001年的中考压轴题是以直角三角形为背景，揉合一次函数、相似形、直线与圆的位置关系等知识构成；2002年的中考压轴题是以矩形为背景，揉合轴对称、二次函数、几何证明等知识构成；2003年的压轴题是以二次函数为背景，揉合直角三角形的知识构成；因此，将函数知识与几何知识有机结合编制出综合题作为压轴题是我市中考命题的一大特点，也是今后中考命题的一大趋势；函数知识与几何知识有机结合的综合题，根据构成命题的主要要素可分为以下两类：一类是几何元素间的函数关系问题〔这类问题不妨称简称为“几函〞问题〕，这类问题的特点是：根据几何图形间的位置和数量关系〔如平行、全等、相似，特别是成比例〕建立自变量与函数所表示的几何元素间的等量关系，求出函数关系式，运用函数的性质解决几何图形中的问题；另一类是函数图像中的几何图形的问题〔如三角形、四边形，特别是圆〕〔这类问题不妨简称为“函几〞问题〕，这类问题的特点是：根据函数图像中的几何图形的位置特征，运用数形结合方法解决有关函数、几何问题；本文特从2003年各地的中考试题中略选几例，谈一谈解决这类问题的策略和复习方法，以期到达抛砖引玉的目的。一、函数与几何综合题例析〔一〕“几函〞问题：1、线段与线段之间的函数关系：由于这类试题的主要要素是几何图形，因此，在解决此类问题时首先要观察几何图形的特征，然后依据相关图形的性质〔如直角三角形的性质、特殊四边形的性质、平行线分线段成比例定理及其推论、相似三角形的性质、圆的根本性质、圆中的比例线段等等〕找出几何元素之间的联系，最后将它们的联系用数学式子表示出来，并整理成函数关系式，在此函数关系式的根底上再来解决其它的问题；解决此类问题时，要特别注意自变量的OAOACPFBE例1如图，AB是半圆的直径，O为圆心孝AB令=6域，延行长B暗A到卵F，炕使F剃A=乎AB悟，假设绝P孝为种线段折AF标上的革一个器动点召〔不膝与A起重合液〕，坊过P未点作毛半什圆的靠切线滚，切撇点为袖C，缠过B疯点作甜BE乌⊥淘PC插交P帽C档的延粒长线谜于E工，设直AC巷=x馅，A躲C+拖BE农=y烧，求足y与侧x昆的函骄数关虏系式棍及x拥的取摆值范态围。绵〔2斤00倍3年族山东吓省烟戒台市昏中考周题〕构盏疫评析础：这液是一苍道集因圆、怕直角还三角棋形、静相似雨三角换形与懒函数素的综税合题矿，由蛋于已腔知条败件中毙有切训线，傍因此深可以份联想贝切线凡的性重质、勇切割劫线定丽理、稠弦切葱角定鸡理、火切线威长定随理；拉又因派为有慧直径使这一汽腰条件宪，又绑可联容想构持造直焦径所拢对的讽圆周侨角。拨因潜此，泊连结拌BC狗，构尤造出状“双榴直角序三角旨形〞姿和弦盛切角权定理势的典皆型图与形，尸然后喝利用辞两对与相似悠三角叨形中辉的一裁对建颗立比俭例式隙，再扎结合帅勾股规定理并解决弓问题兵。毒解馆：连可结B韵C，撕∵澡AB散是吉⊙千O的萝直径森，船∠税AC俘B=炊90锈°，禽∴高BC吗2白=3只6-翁x飞2袍粘章又壶∵揭PC呜切芹⊙起O于沉C，植∠垄EC光B=螺∠南BC赠A；价由座BE议⊥军PC汽于E余可知弱，都∠氧AC额B=让∠毕CE盘B=枯90丑°，匆∴窗ΔA旬CB多∽淋ΔC冲EB寻；木，即胃∴适；洪当P府点与蛾A点顿重合绑时，数AC那么=0堤最小厦，但永P点所与A龟点不加重合亡，盼桃∴膀x＞皮0；核当P狠点与截F点巴重合帆时，返x=授AC互最大友，此狸时有袄PC宋2追=P耻A·浩PB稿=6押×1通2，巡详∴潮又暑∠到P=肠∠可P，脏∠坚PC克A=顿∠脸PB季C姿∴铺Δ舒PC幕A脚∽零Δ氧PB挺C狭∴痰BC敲=叶由惜勾股彩定理番得，淡函数筹关系央式为祸：栏2、增面积松与线稍段间禾的函鹅数关图系的推建立俘：淘员甜钢解决胳此类制问题炼除了姻掌握搞第一俩类型加的知膜识外盲，还双要注虏意到蓄以下昂两点浑：〔牛1〕析常见胞图形隶的面亚积公厉式，堵〔2燕〕学寻会灵元活地乔将非母特殊棕图形粗的面两积转撑化为愈特殊尝图形肾的面宏积，顷将同联底〔体或等欣高〕游的两只个三普角形枝的面郑积之腐比转作化为宫它们线的高楼〔或截底〕芹之比徒，将衰相似售三角扑形的葱面积衡之比尖转化厨为相膏似比萄〔或荷周长翠的比身、对蛙应边爆上的积高的卷比、雁对应郑边上蕉的中统线的厌比等引〕的絮平方邪。傍惜免切莲例2很如图才所示刃，已催知A虏、B睬两点壶的坐毛标分竟别为归〔2净8，砖0〕付和〔截0，兽28棚〕，乌动点裂P从客A点掀开始机在线遭段A臣O上抗以每姻秒3储个单翁位长贼度的掏速度挡向原恨点昆O运岛动，潜动直拆线E圣F从哑x轴父开始柏以每碍秒1奋个单道位长预度的遣速度固向上农平移事〔即就EF重∥晌x轴佣〕，沉并且爱分别忍与y诵轴、就线段式AB秒交于遮E、稍F点望，连蜻结雹F性P，踏设动弹点P浮与动艰直线着EF丽同时肢出发纽，运归动时肌间为翼t秒桑。历〔1益〕当野t=咸1时踪，求稀梯形嗓OP泥FE侄的面基积。警t为调何值拆时，宵梯形雀OP隆FE婆的面成积最脊大，帝最大奸面积像是多模少？作〔2猾〕当盏梯形铲OP搏FE雾的面杏积等什于三狂角形涝AP退F的怖面积亚时，观求线被段P殃F的逮长。登〔3拣〕设修t的睬值分搁别取森t驰1奶、t纷2脱时，过〔t桶1瞧≠t纹2救〕，疤所对街应的绪三角翁形分风别是个Δ朱态AF候1旗P劈1订和括Δ蓬含AF奶2没P环2抗，试雪判断令这两脂个三取角形痰是否推相似屋；请榴证明柜你的膨判断苹。狠〔2岔00警3年鸭广西寺南宁寇市中踪考题线〕类评析筐：这骂是一副道综傍合性厌较强斯的中隶考压肝轴题魂，它欧将几翅何与廊代数明“相稍邀〞瘦于平速面直吧角坐仰标系绣中，斜使“槽数〞臣与“临形〞嚷、“悄动〞尺与“垄静〞魄相互辣转化黄，综桶合考余查了牛梯形丽面积拳计算撒、勾墨股定战理、遍相似征三角很形、昂二次垒函数浙的性旁质等馒多个抛知识赢点，器同时诱利用侨图形碍的变意化，壶渗透绵数形柳结合妹的数烫学思沃想、嘴函数先的思管想、颂方程泳的思躁想；极第〔扇1〕恐小题蛛中前缠面的夸“静途〞为历后面捐的“改动〞梨作准逗备，塑而后流面的撒“动比〞是俗前面携的“骆静〞包的升械华，俗让学常生懂策得静挣止是摆相对用的而用运动龄是绝橡对的锁，在左“动吊〞中说求“君静〞路，在吼考题缸中向粪学生记渗透星辩证绕唯物夜主义序思想热，从塞而不冶被“寇动〞斧所迷屡惑；穴第〔痒2〕袭小题勇在第扁〔1洒〕小突题的阔根底怀上，着首先旷建立市梯形栗、三懂角形框面积完与t香的函交数关泪系式拨，再路利用圆方程逗的思你想解烫决，来考查比了学围生的竞知识鹿迁移殊能力画；在孙求得栏t值裳后，服要决帖定取离舍，脖考查野了学约生思机维的用批判话性；供第〔厌3〕蛙小题姑是一迷个探均索性离问题跳，考他查了耽学生附的探不索能托力。幻象这阳种计犹算量辰小、梁坡度蝶较缓念、综伍合性值强、李能力服要求剂高的讯“双狭动〞有问题订是今俗后各嫌地中闭考命留题的崖一大垃趋势鼓。盐剑诸解愧：〔肯1〕预A〔陆28嗓，0滑〕，丸B〔佳0，折28理〕，盛葵∴沾OA姓=2充8，瓶OB角=2份8，部∴分Δ积AO掏B是兆等腰脆直角恨三寒角形舞；兼衡临当t招=1晌秒时荒，灭OE资=1想，A居P=血3；缩威导∴杀OP舅=2赠8-素3=警25勿，B并E=弦28拢-1穗=2尿7；污减窗又推∴袍EF扬∥夜OA浙，掠∴涛Δ桌BE懒F民∽设Δ态BO终A，两∴丙ΔB宣EF增也是疏等腰集直角橡三角丽形；还∴哄EF段=E赖B=喂27宗；薯因此晒，当历t=墨7秒句时，欧梯形不OP偶FE壮的面犯积最播大，惹最大丧面积庭为9醒8。塔〔2弦〕斤罪纸而同解之线：t脑1均=8享〔秒躺〕t纷2奔=0馒〔舍蕉去〕驰过F搜点作娱FH使⊥寻AO绸垂足捡为H难，颗∠头OA走B=百45筑°，盒∴赶AH敬=F乖H裹=8勉，院∴烟；名在仇Rt沈Δ啦F丙HP循中，秀〔3鉴〕当饲运动陪时间举为t诉秒时芽，过滑P点异作P姿G谅⊥罪OA沉于G语，那么蛾FG除=G筑A=历t，苦由勾福股定认理得待：携，A报P=拌3t定，F另A恶∶来AP粗=泰为一骆定值刃，缺而虽∠肚FA荐P=好45妹°，邮耗∴遭Δ障A膨F总1欠P记1卸∽竞Δ膝AF娱2犯P备2添俘卫筛浮篇〔朽二〕辉“函燕几〞损问题沟：纪纵蛙观历砍年各杰地的吹中考电试题攻，几呀乎无凶一例泳外地胆出现炭函数兆中的唤几何姥问题只，这怖些题付目从朗难度驰上来岗看大挑多数筑是难室题，演少数攀属于会中防档眯题，基在题稼型上鬼来看承，绝坝大多僵数是谋探索摊题，抽只有静少数乓是计思算题形，在妥设计婚方法瞎上都蒜注重竟创新挺，都粘注重挪在初尿中数诊学主广干知颤识的的交汇兆处进姨行命者题，悟在考延查意歼图上检，都荣突出武对数企学思厚想方雨法和殿能力凶〔特启别是浇对思银维能肢力、预探究好能力胸、创秩新能垂力、想综合桌运用先知识沾能力新〕的伏考查寸；因协此在膝解决越这类扣问题勺时要氏灵活周运用瓦函数补的有温关知捧识，愤并注锤意挖共掘题傍目中南的一腥些隐编藏条浆件，钱注意阿数形姐结合衡、数绳学建保模、齐分类恩讨论崖等数萝学思药想的石运用佩；下宋面谈阵一社谈这弃类问遇题的喇分类煎及其膊解法邪。酷1、添三类饮根本室初等淋函数造中的杯图形独面积赶问题伤：榆解桥决这豪类问松题时拢，通霸常要字将坐绑标系灶中的潜图形椒进行哀分割脏，一边般情强况是眠将它菌分割组成一线些两逗边〔翠或三宋边〕壳在坐砍标轴乎上或素者两陕边〔披或三广边〕卧平行喉于坐密标轴朱的三衰角形白〔或歼梯形亡、矩占形〕晌等；淋同时另要注激意点柱到坐竞标轴眉的距攀离与慢点的分坐标咐间的妇区别搁，正障确利惩用点香的坐条标来暴表示腊线段撒的长怜度。附例3妹如图疾，直浇线O敢C、串BC降的函成数关荣系式计分别温为慰y=准x和与y篮=-饲2x怕+6肺，动众点P驴〔x贷，0升〕在会OB询上移四动〔滔0＜侄x＜俯3〕比，过汤点P织作直头线正与x或轴垂病直。泽〔1体〕求坡点C凯的坐吵标；肚〔2乐〕设匙OB留C中舅位于讲直线庭左樱侧部吃分的接面积菊为s疯，写矛出s诵与x梳之间笑的私函数秋关系策式；串〔3廊〕在粗直角棒坐标娇系中早画出扫〔2寻〕中痰函数痒的图的象；瘦〔4滴〕当弟x为条何值王时，渗直线哈平莫分亏OB芒C的裕面积增？炕造亮鲁妙旋括棚依越此削厌尿磁继锤认谷扁剧觉〔2按00亡3年铸常州主市中粘考题垫〕锅评析等：这鼻是以鼠函数富为主大要背目景的坊几何晓综合义题，蛋由于瓦两直地线的退解析健式已省知，老所以罗只须衡联立狂两个吸解析糕式就拳可以爱求出翠第〔伪1〕址问中杠C点司的坐思标；辽在第逮二问团中，牺由于渔ΔO嘱BC飘位于食直线关左边声的部缸分的斧形状乔有两笨种情绪况：锯当直骑线在惨C点葡左边铺时，番左边漠的部挥分为皮三角歉形；险当直煮线在罩C点变右边艺时，严左边捕的部啊分为逮一不猜规那么庭的四榴边形毁，因迟此在闹解决系此问慧题时低要分陕两种肺情况兄讨论洗，由衬于〔胆2〕松中的宇函数挺是一蜓个分犁段函更数，窝所以迎在解幻决第俩〔3凶〕问咐时画苍图也茧要分挤两部递分来暗画；轻在解勒决第有〔4妥〕问坟时，蔬首先迅要对莲直线疯l平心分Δ粘OB盘C的冲面积驻时，晒直线西是在必点C强的左尝边还置是在拾右边可作出垫判断楚，然厨后再列利用溉方程段的思辩想来量解决工。本士题考吗查了绝学生迹的数在形结既合思笋想、闯分类家讨论拆的思园想、棕方程描的思匙想以书及学如生动茎手画宪图的或能力专。分故值虽挪不大遗，但型考查鞠的知番识点排却不愁少。误解：梦〔1矿〕逼解之萄得糊拌，多点C世的坐有标为慢〔2监，2浓〕犯嚷〔加2〕罚作C异D松⊥骂轴于贪点D艇，那么足D〔抓2，李0〕=1\*GB3欺①葱当0换＜x汪≤2陈时，番设直负线l渣与O聋C交计于点抵Q，扶那么Q那么〔x像，x嗓〕，∴=2\*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把“往新知铜识〞苦转化死为“术旧知扒识〞绣，把肉“未肌知〞南化为区“已纯知〞混，把洋“抽区象〞珠的问奶题转弓化为容“具壳体〞窄的问效题，凡把“纲复杂秀〞的起问题奇转化后为“晃简单见〞的合问题膝，上桐面所裁有各溪例，绸都用繁到了扒转化舟的数有学思条想，从可以冤大胆渐地说串，不呼掌握担转化组的数闲学思泉想，欲就很作难正架确而踪全面牌地解冷决函昨数与担几何级结合辰的综好合问橡题；躁三、革函数嘉与几诸何综刷合题蜘复习左的几登点建倚议：浙从萝以上阴的评承析可寸以感侄觉到弟，函权数与坟几何惜结合资的综弃合问扰题都晓比拟祖抽象视，一悼些隐晃藏条足件不拍易发厉现，歉有些获思路描、方蒙法具理有特船殊性蹦，对嫂根底节知识车和基暮本技腔能要隆求既洒有广苍度又净有深羽度，款对逻提辑思春维能镇力、擦联想困能力短、都脂有较荒高的腊要求欣，要海想让冬学生也能熟义练地篮掌握嫌其解问法，酿在平柴时的爹教学堤中应师注意停以下付几点约：广1、方在复羞习过姑程中游，要座对近抚几年油各地贱的中驳考试史题进保行归杰类、蔑整理化，将券类型佣相同赞或相脾似的状题目京的精波华浓坑缩于退一个丰题目纵中进孙行分岔析、韵讲解廉，提缓高复绸习效域率。片笔者割对近兴三年竞各地欠的中服试题竞进行收研究煎发现命，有雹很多但地方吼的中劣考数造学试信题都逃有惊书人的晋相似俩之处没，如骨山西摄省2呈00沟3年界中考把数学疗试卷沿中的阻第2碰7题衣与孝矿感市悼20骂02迷年的宪压轴叠题完拘全相怠似，拖只不珠过改锡变了伴提问厘的方愤式，保使问济题略畏有一绣点探奸索性骑；而友20讨03组年孝帝感市钓的压猛轴题费与2侄00趣2年僵南京绸市中葬考数瓶学试直卷第句八题悼中的继叹条件齐完全悬一样腔，要牺解决哭的问偷题也川几乎孝一样颠，2愉00魂3年肌黄冈吴市的朵压轴电题与怨20怨02项年哈俗尔滨件市中秧考数偏学压秩轴题因的已杀知条蜘件和灿图形愈都极响其相春似，能问题非只有晚第〔悠3〕编问不序一样岛〔没宪有第祖四问裹〕，捷……凝，因茶此深血入研帝究各边地的舅中考月试题祥，将芝它们提进行裁归类包进行肤复习铺，可历以节瞧约大处量的年时间吗。恶2、贞在复放习过贝程中士，对描例题稻的讲佣解要熊注意窗引导洗分析李，解托完题鸦后要族注意怀对解率题过涌程作部更深萝入、祝更广勺阔的晴反思浙，总够结那劳些比横解题救更重望要的沟东西仓——期规律戚，如棕解决岸坐标孕系中萝的面下积问到题，你通常投要将妨不规教那么的努图形加转化炎为规窃那么的碍图形环，而婆转化胆的方误法通袍常是载过图醉形的凳顶点秀作坐仙标轴长的垂些线，熊将求衣不规盏那么图翁形的因面积益问题症转化扇为两茄边〔勾或三午边〕吨垂直级于〔纳或平伶行于俗〕坐震标轴匀的基断本图提形的晋面积痰问题遣；又妨如，模求动孙态几隶何中板的函草数关梅系式全中自脱变量吹的取姥值范捏围时咽，可销以把疾自变明量所摆代表危的几扫何量婶推到农两个方极端刷位置淹，求丘出相障应值炎，再疲结合屈几何焦量的忧实际群意义饼加以宴确定侄；如希果我叙们在泉复习剩过程雄中不瓜注意园总结们解决谊问题撤的规净律，会讲得誉再多套，练映习得结再多巴，也钞只能沿的“恼题海理〞中闯打转雀，很蜘难进同入“旱举一确反三泽〞、傍“触需类旁侵通〞劈的境烦界，患遇到杠新的港问题怜，也杠就很敌难产杀生灵馆感，麻找到钱思路挣；径3依、在漠复习贞过程弓中，真要注肆意挖忆掘课泊本例忍、习其题和百各地奏中考尸成题侍中的汁潜在袍结论搭，变启化出盾新的逃综合燕题，影以开孔阔学杀生的玻思路都，培勇养学遗生分怜析问品题、俭解决烘问题奋的能胜力；跟如2专00联2年设孝感盘市的执压轴王题就临是将楚初中热?几得何?辟课本旱P1情82部的“碎做一立做〞怜改编跨而成粗，2像00针2年蜻襄樊遭市的戒阅读妙理解蹄题就卡是根跟据初企二?辟代数搬?课枣本P秃38寺中的淡“读测一读碗〞的略内容彼改编邮而成幕，而运太原澡市2另00拳3年置的中洒考压照轴题牢是由烟?几泄何?盾第三探册P斑79籍例2插改编纲、深予化而细成，侵嘉兴谷市2其00左3年绑中考锋数学孩试卷吉中的这第2庭4题伏、厦惨门市惩第2彼8题姐都是消由?别代数菠?第芬三册岔P1商26胃面的奔第4寿题和盯P7耐2面请的第廉7题迫改编郑而成近；因萄此，俱在复炼习过婚程中娘，一贸定要歪注重娘课本玩，千暮万不借能以川练代投讲，促以资腹料代龄替课全本。始下面倘从近饺几年保各地障的中度考题姥中略临选几被例，许供各谢位教荒师复倍习时蔽参考芬：夜娱1贱已鸟知：挤如图按〔1渐〕，铲E、贱F、舅G、督H按膨照A屯E=速CG朱，B村F=觉DH碧，B闸F=稀nA恭E〔熟n是顷正整衣数〕但的关扯系，吐分别径在两系邻边民长a夏、n莲a的件矩形厅AB录CD覆各边悬上运渠动。小设A负E=爷x，饼四边碧形E种FG叙H的需面积永为S妹。=1\*GB2救⑴高当n统=1舱，2睁时，蛇如图妄〔2颤〕、温〔3愉〕，哄观察红运动匆情况搂，写典出四旗边形熊EF虫GH拦各顶宵点运数动到冶何位月置，矿使S炕=嫁S坡矩形易AB首CD乏？=2\*GB2盛⑵谨当