湖南省永州市江永县第二中学高三数学理下学期期末试卷含解析

湖南省永州市江永县第二中学高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.为正实数，是虚数单位，，则（

）(A) (B) (C) (D)参考答案：B2.如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是 （）A． B． C． D．参考答案：B3.命题“存在”的否定是（

）A.存在

B.不存在C.对任意的

D.对任意的参考答案：C4.已知函数的图象如图，则的图象为

（

）

A．①

B．②

C．③

D．①②③图都不对参考答案：B略5.已知集合A={0，1，a}，B={2，a2}，若A∪B={0，1，2，3，9}，则a的值为（）A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：D【考点】并集及其运算．【分析】根据题意，由并集的计算方法，结合a与a2的关系，易得，即可得答案．【解答】解：∵A={0，2，a}，B={1，a2}，A∪B={0，1，2，3，9}∴，∴a=3，故选：D．【点评】本题考查了集合的并集运算，并用观察法得到相对应的元素，从而求得答案，本题属于容易题．6.下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的函数是A. B.C. D.参考答案：C略7.已知,满足约束条件,若的最小值为,则 （）A． B． C． D．参考答案：A略8.等比数列{an}，若a12=4，a18=8，则a36为（）A．32 B．64 C．128 D．256参考答案：B【考点】8G：等比数列的性质．【分析】数列{an}为等比数列，可得a182=a12a24，a242=a12a36，即可得出结论．【解答】解：∵数列{an}为等比数列，∴a182=a12a24，∵a12=4，a18=8，a12，a18，a24同号∴a24=16．∴由a242=a12a36，得：a36=64，故选：B．【点评】本题考查了等比数列的性质．在等比数列中，若m+n=p+q，m，n，p，q∈Z+，则aman=apaq．9.将函数的图象按向量平移后得到图象对应的函数解析式是（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D略10.已知随机变量满足，，，若，则（

）A.随着x的增大而增大，随着x的增大而增大B.随着x的增大而减小，随着x的增大而增大C.随着x的增大而减小，随着x的增大而减小D.随着x的增大而增大，随着x的增大而减小参考答案：C∵随机变量满足，，∴∴∵∴随着的增大而减小，随着的增大而减小故选C

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数的单调增区间为______．参考答案：(－∞，1)12.设函数=,其中a>1，若存在唯一的整数，使得，a的取值范围是

.参考答案：[，1）13.函数f（x）=，若方程f（x）﹣kx+=0恰有四个不相等的实数根，则实数k的取值范围是

．参考答案：（，）

【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】设g（x）=kx﹣，则g（x）过点（0，﹣），作出两个函数的图象，利用数形结合进行求解即可得到答案．【解答】解：设g（x）=kx﹣，则g（x）过点（0，﹣），过点（1，0）和（0，﹣）的直线的斜率k=，此时函数f（x）与g（x）只有3个交点，过点（0，﹣）的直线与f（x）相切时，函数f（x）与g（x）只有3个交点，设切点为（a，lna），则函数的导数f′（x）=，即切线斜率k=，则切线方程为y﹣lna=（x﹣a）=x﹣1，即y=x+lna﹣1，∵y=kx﹣，∴lna﹣1=﹣，得lna=，a=，此时k===，故要使程f（x）=kx﹣恰有四个不相等的实数根，则＜k＜，故答案为：（，）14.已知集合U={(x，y)|x?R,y?R},M={(x，y)||x|+|y|<a}，P={(x，y)|y=f(x)}，现给出下列函数：①y=ax,②y=logax,③y=sin(x+a),

④y=cosax，若0<a<1时，恒有P∩CUM=P，则f(x)可以取的函数有

参考答案：①②④.

15.（5分）（2015?万州区模拟）已知向量，若⊥，则16x+4y的最小值为．参考答案：8【考点】：基本不等式；数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】：计算题．【分析】：利用向量垂直的充要条件：数量积为0，得到x，y满足的等式；利用幂的运算法则将待求的式子变形；利用基本不等式求出式子的最小值，注意检验等号何时取得．【解答】：∵∴4（x﹣1）+2y=0即4x+2y=4∵=当且仅当24x=22y即4x=2y=2取等号故答案为8【点评】：本题考查向量垂直的充要条件：数量积为0；考查利用基本不等式求函数的最值需注意满足的条件：一正、二定、三相等．16.向量a＝（0，2，1），b＝（－1，1，－2），则a与b的夹角为

▲

参考答案：略17.若对任意，，（、）有唯一确定的与之对应，称为关于、的二元函数.现定义满足下列性质的二元函数为关于实数、的广义“距离”:（1）非负性:，当且仅当时取等号；（2）对称性:；（3）三角形不等式:对任意的实数z均成立.今给出四个二元函数:①；②③；④.则能够成为关于的、的广义“距离”的函数的所有序号是

.参考答案：①略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知，且．（1）求的最大值；（2）证明：．参考答案：（1），（2）（1）．当且仅当取“＝”．所以，的最大值为．（2） ．当且仅当取“＝”． 10分19.（本题满分15分）已知函数（Ⅰ）若函数存在单调递减区间，求的取值范围；（Ⅱ）若且关于x的方程在上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围；参考答案：解：（1）依题意在时有解:即在有解.则且方程至少有一个正根.此时，…………5分（2）设则列表：（0，1）1（1，2）2（2，4）+00+极大值极小值

---5分方程在[1，4]上恰有两个不相等的实数根.则解得：………………5分20.如图，在底面是正方形的四棱锥P—ABCD中，PA⊥面ABCD，BD交AC于点E，F是PC中点，G为AC上一点．

（1）求证：BD⊥FG；

（2）确定点G在线段AC上的位置，使FG//平面PBD，并说明理由．

（3）当二面角B—PC—D的大小为时，求PC与底面ABCD所成角的正切值．

参考答案：方法一：（I）面ABCD，四边形ABCD是正方形，

其对角线BD，AC交于点E，∴PA⊥BD，AC⊥BD

∴BD⊥平面APC，平面PAC，∴BD⊥FG

…………4分

（II）当G为EC中点，即时，FG//平面PBD，

…………5分

理由如下：

连接PE，由F为PC中点，G为EC中点，知FG//PE，

而FG平面PBD，PB平面PBD，

故FG//平面PBD．

…………8分

（III）作BH⊥PC于H，连结DH，

∵PA⊥面ABCD，四边形ABCD是正方形，

∴PB=PD，

又∵BC=DC，PC=PC，

∴△PCB≌△PCD，

∴DH⊥PC，且DH=BH，

∴∠BHD主是二面角B—PC—D的平面角，

…………10分

即

∵PA⊥面ABCD，

∴∠PCA就是PC与底面ABCD所成的角

………12分

连结EH，则

∴PC与底面ABCD所成角的正切值是

…………14分

方法二解：以A为原点，AB，AD，PA所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图所示，

设正方形ABCD的边长为1，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0）

D（0，1，0），P（0，0，a）（a>0）,

（I）

…………4分

（II）要使FG//平面PBD，只需FG//EP，

而，

由可得，解得

…Ks5u……7分

故当时，FG//平面PBD

…………8分

设平面PBC的一个法向量为

则，而

，取z=1，得，

同理可得平面PBC的一个法向量

设所成的角为0，

则

即

…………12分

∵PA⊥面ABCD，∴∠PCA就是PC与底面ABCD所成的角，

∴PC与底面ABCD所成角的正切值是

…………14分

21.（本小题满分13分）在等比数列中，已知

.

(I)求数列的通项公式；

(II)若

分别为等差数的第3项和第5项，试求数列的通项公式及前n

项和.参考答案：(1)

(2),

22.在极坐标系中，点M的坐标为，曲线C的方程为；以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率为－1的直线l经过点M．(I)求直线l和曲线C的直角坐标方程：(II)若P为曲线C上任意一点，直线l和曲线C相交于A，B两点，求△PAB面积的最大值．参考答案：（1）∵在极坐标系中，点M的坐标为，∴x=3cos=0，y=3sin=3，∴点M的直角坐标为（0，3），

.…………1分∴直线方程为