湖南省衡阳市卿云中学2022年高二数学理上学期期末试卷含解析

湖南省衡阳市卿云中学2022年高二数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数的定义域为R，对任意x都有f（x+2）=﹣f（x），且当x∈[0，2）时，f（x）=log2（x+1），则f的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2参考答案：B【考点】3Q：函数的周期性．【分析】求出f（x）的周期为4，再利用f（x）=﹣f（x+2）计算f（﹣1）和f（2）．【解答】解：∵f（x+2）=﹣f（x），∴f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），∴f（x）周期为4，∴f=﹣f（1）=﹣1，f=﹣f（0）=0，∴f=﹣1．故选B．2.A，B均为集合的子集，A∩B={3}，（CUB）∩A={9}，则A=（

）A

{1，3}

B

{3，7，9}

C

{3，5，9}

D

{3，9}参考答案：D略3.已知函数，若，且函数存在最小值，则实数a的取值范围为（

）A. B.(1,2] C. D.参考答案：D【分析】先得m＝﹣2，然后根据题意得x≥3时，f（x）必为增函数且f（3）≤2．解不等式可得．【详解】∵f（2）＝2m+8＝4，解得m＝﹣2，∴f（x）＝，当x＜3时，f（x）＝﹣2x+8是递减函数，f（x）＞f（3）＝2，此段无最小值，所以当x≥3时，f（x）必存在最小值，所以f（x）＝logax必为[3，+∞）上的递增函数，所以a＞1，且f（3）≤2，∴loga3≤2，解得a．故选：D．【点睛】本题考查了分段函数的最值及其单调性，属于中档题．4.若当点到直线的距离是时，这条直线的斜率是

参考答案：D略5.对于R上可导的函数，若满足，则必有（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C略6.（5分）若直线x+ay+2=0和直线2x+3y+1=0互相垂直，则a的值为（）A．B．C．D．参考答案：A由直线x+ay+2=0，得到斜率为﹣，由直线2x+3y+1=0，得到斜率为﹣，因为两直线互相垂直，所以﹣×（﹣）=﹣1，解得：a=﹣．故选A7.抛物线的准线方程是（

）。A.

B.

C.

D.参考答案：A略8.已知一个三棱锥的主视图与俯视图如图所示，则该三棱锥的侧视图面积为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C略9.设复数z满足i（z﹣2）=3（i为虚数单位），则z=（）A．2+3i B．2﹣3i C．3+2i D．3﹣2i参考答案：B【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】把复数z看作未知数，解方程即可．【解答】解：复数z满足i（z﹣2）=3（i为虚数单位），∴z﹣2=，∴z=2+=2﹣3i．故选：B．【点评】本题考查了复数的化简与运算问题，是基础题．10.已知数列{an}满足：a1=1，an+1=（n∈N*）．若bn+1=（n﹣λ）（+1），b1=﹣λ，且数列{bn}是单调递增数列，则实数λ的取值范为（）A．λ＞2 B．λ＞3 C．λ＜2 D．λ＜3参考答案：C【考点】数列递推式；数列的函数特性．【分析】，分别令n=1，2，3，依次求出a2=，a3=，a4=，由此猜想an=，并用用数学归纳法证明．由an=．知bn+1=（n﹣λ）（+1）=（n﹣λ）?2n，再由b1=﹣λ，数列{bn}是单调递增数列，能求出λ的取值范围．【解答】解：∵，∴a2==，a3==，a4==，由此猜想an=．用数学归纳法证明：①当n=1时，=1，成立；②假设n=k时，等式成立，即，则当n=k=1时，ak+1===，成立．∴an=．∴bn+1=（n﹣λ）（+1）=（n﹣λ）?2n，∴b2=（1﹣λ）?2=2﹣2λ，∵b1=﹣λ，数列{bn}是单调递增数列，∴b1=﹣λ＜b2=2﹣2λ，解得λ＜2．故选C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.一个几何体的三视图如图所示，则其体积等于；表面积等于

．参考答案：4+【考点】由三视图求面积、体积．【专题】数形结合；分割补形法；空间位置关系与距离．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体长方体的一个角，画出图形，结合图形求出它的体积与表面积．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是三棱锥，是长宽高分别为2、1、2的长方体的一个角，如图所示，则其体积为V=××1×2×2=；表面积为S=S△ABD+S△ABC+S△ACD+S△BCD=×2×2+×2×1+×2×1+×2×=4+．故答案为：，4+．【点评】本题考查了利用三视图求空间几何体的体积与表面积的应用问题，是基础题目．12.直线关于直线对称的直线方程为______

__．参考答案：13.函数的单调递减区间为

▲

.参考答案：（0，2）略14.如图，在透明材料制成的长方体容器ABCD—A1B1C1D1内灌注一些水，固定容器底面一边BC于桌面上，再将容器倾斜根据倾斜度的不同，有下列命题：（1）水的部分始终呈棱柱形；（2）水面四边形EFGH的面积不会改变；（3）棱A1D1始终与水面EFGH平行；

（4）当容器倾斜如图所示时，BE·BF是定值。其中所有正确命题的序号是_____________.参考答案：①③④略15.已知点在直线上，则的最小值为

；参考答案：816.给出下列命题：①“若xy=0,则x=0且y=0”的逆否命题为真命题.

②.x>2是x>1的必要不充分条件。③命题p:.

其中假命题的序号为_________参考答案：①②17.已知是偶函数，当时，，则当时，______.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知p：x2﹣2x﹣8≤0，q：x2+mx﹣6m2≤0，m＞0．（1）若q是p的必要不充分条件，求m的取值范围；（2）若?p是?q的充分不必要条件，求m的取值范围．

参考答案：解：若命题p为真，则，…………………2分若命题q为真，则．………………4分(1)若q是p的必要不充分条件，则解得，故m的取值范围为[2,+∞)．…………………8分(2)若是的充分不必要条件,则q是p的充分不必要条件．………10分则解得，故m的取值范围为．………………14分

19.已知l﹣2i是关于x的方程x2+a=bx的一个根．（1）求a，b的值；（2）同时掷两个骰子，记它们向上的点数分别为m、n，求复数（m﹣a）+（n﹣b）i在复平面内对应的点位于第二象限的概率．参考答案：【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】（1）由已知得x==1﹣2i，利用复数定义列出方程组，能求出a，b的值，由此能求出结果．（2）同时掷两个骰子，记它们向上的点数分别为m、n，基本事件（m，n）的总数N=6×6=36，由复数（m﹣a）+（n﹣b）i即复数（m﹣5）+（n﹣2）i在复平面内对应的点位于第二象限，得到，由此利用列举法能求出复数（m﹣a）+（n﹣b）i在复平面内对应的点位于第二象限的概率．【解答】解：（1）∵l﹣2i是关于x的方程x2+a=bx的一个根，∴x==1﹣2i，∴，解得a=5，b=2．（2）同时掷两个骰子，记它们向上的点数分别为m、n，基本事件（m，n）的总数N=6×6=36，∵复数（m﹣a）+（n﹣b）i即复数（m﹣5）+（n﹣2）i在复平面内对应的点位于第二象限，∴，即，∴复数（m﹣a）+（n﹣b）i在复平面内对应的点位于第二象限包含的基本事件（m，n）有：（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），共16个，∴复数（m﹣a）+（n﹣b）i在复平面内对应的点位于第二象限的概率p=．20.（本题满分12分）如图，在直三棱柱中，平面侧面且.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若直线与平面所成的角为,求锐二面角的大小.参考答案：（1）证明：如图，取的中点，连接，因，则………1分由平面侧面，且平面侧面，得，又平面，所以.………3分.因为三棱柱是直三棱柱，则，所以.…5分.又，从而侧面，又侧面，故.………6分(Ⅱ)解法一：连接，由（1）可知，则是在内的射影∴即为直线与所成的角，则………7分在等腰直角中，，且点是中点，∴，且，

∴………8分过点作于点，连，由（1）知，则，且∴即为二面角的一个平面角………9分且直角中：，又，

∴

，………11分.又二面角为锐二面角∴，即二面角的大小为----12分

解法二（向量法）略.21.如图，已知PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，AB=2，C是圆O上的一点，且AC=BC，∠PCA=45°，E是PC中点，F为PB的中点.（I）求证：EF∥面ABC；（II）求证：EF⊥面PAC；（III）求三棱锥B-PAC的体积.参考答案：（1）证明：在△PBC中，EF为中位线，所以EF∥BC，EF平面ABC，BC平面ABC所以EF∥平面ABC.（2）∵AB是圆O的直径，∴BC⊥CA;∵PA⊥面ACB，BC面ACB，∴PA⊥BC;BCCA=C，∴BC⊥面PAC，又∵BC∥EF，∴EF⊥面PAC,（3）由第2问知BC⊥面PAC,∴BC是三棱锥B-PAC的高；AC=BC=PA=，∴22.已知a＞0，命题p：|a﹣m|＜，命题q：椭圆+y2=1的离心率e满足e∈（，）．（1）若q是真命题，求实数a取值范围；（2）若p是q的充分条件，且p不是q的必要条件，求实