黑龙江省哈尔滨市长岗中学2022-2023学年高三数学理月考试题含解析

黑龙江省哈尔滨市长岗中学2022-2023学年高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若“”是“不等式成立”的必要而不充分条件，则实数的取值范围是（）A．B．

C．

D．参考答案：A.试题分析：由于是的必要不充分条件，∴，即的解集是的子集，令，则为增函数，那么，则，此时满足条件的一定是的子集，故选A.考点：1.函数的性质；2.充分必要条件.2.正方体的棱上到异面直线，的距离相等的点的个数为（

）2

3

4

5

参考答案：C3.如图，在正方体中，异面直线与所成的角为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C4.复数的共轭复数为 A． B．

C．

D．参考答案：D略5.若函数存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.参考答案：A【分析】原命题等价于有唯一正根，即函数的图象与直线在轴右侧有1个交点，由导数的应用得：，则在，为减函数，在，为增函数，即实数的取值范围是，得解．【详解】由函数存在唯一的零点，且等价于有唯一正根，即函数的图象与直线在轴右侧有1个交点，又为奇函数且，则在，为减函数，在为增函数，为增函数，则满足题意时的图象与直线的位置关系如图所示，即实数的取值范围是，故选：．【点睛】本题考查了函数的零点与函数图象交点的关系及导数的综合应用，属综合性较强的题型．6.若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则该棱柱的体积为（

）

A． B．36C．27 D．6参考答案：B7.设a=cos50°cos127°+cos40°cos37°，b=（sin56°﹣cos56°），c=，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞c＞b参考答案：D【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用两角和公式和倍角公式对a，b，c分别化简，利用诱导公式再转化成单调区间的正弦函数，最后利用正弦函数的单调性求得答案．【解答】解：a=sin40°cos127°+cos40°sin127°=sin（40°+127°）=sin167°=sin13，b=（sin56°﹣cos56°）=sin56°﹣cos56°=sin（56°﹣45°）=sin11°，=cos239°﹣sin239°=cos78°=sin12°，∵sin13°＞sin12°＞sin11°，∴a＞c＞b．故选：D．【点评】本题考查了三角函数的化简求值，考查了两角和公式，二倍角公式，诱导公式的应用，正弦函数的单调性，属于基础题．8.设双曲线﹣=1的两条渐近线与直线x=分别交于A，B两点，F为该双曲线的右焦点．若60°＜∠AFB＜90°，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A．（1，） B．（，2） C．（1，2） D．（，+∞）参考答案：B【考点】双曲线的简单性质．【专题】综合题．【分析】确定双曲线﹣=1的两条渐近线方程，求得A，B的坐标，利用60°＜∠AFB＜90°，可得，由此可求双曲线的离心率的取值范围．【解答】解：双曲线﹣=1的两条渐近线方程为，x=时，y=，∴A（，），B（，﹣），∵60°＜∠AFB＜90°，∴，∴，∴，∴，∴1＜e2﹣1＜3，∴．故选B．【点评】本题考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，正确寻找几何量之间的关系是关键．9.为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了3种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐3种卡片可获奖，现购买该食品5袋，能获奖的概率为(

)A． B． C． D．参考答案：D【考点】等可能事件的概率．【专题】计算题．【分析】3种不同的卡片分别编号1、2、3，购买该食品5袋，能获奖的情况有两种①（5张中有3张相同的）12311；12322；12333；②（5张中有2张相同的）12312；12313；12323，且两事件互斥，根据概率的加法公式可求【解答】解析：获奖可能情况分两类：①12311；12322；12333；②12312；12313；12323．①P1=，②P2=，∴P=P1+P2==．故选D【点评】本题主要考查了古典概率的计算，在试验中，若事件的发生不只一种情况，且两事件不可能同时发生，求解概率时，利用互斥事件的概率求解．还要熟练应用排列、组合的知识．10.双曲线的焦距为（）Ａ．４

Ｂ．

Ｃ．８

Ｄ．与无关参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边,，=，则其外接圆的半径为

参考答案：12.为参加2012年伦敦奥运会，某旅游公司为三个旅游团提供了四条旅游线路，每个旅游团可任选其中一条线路，则选择线路旅游团数的数学期望

；参考答案：13.设F1、F2为曲线的焦点，P是曲线：与C1的一个交点，则△PF1F2的面积为_______________________．参考答案：，此题考察的是椭圆、双曲线的基本概念．14.已知等腰△ABC的面积为4，AD是底边BC上的高，沿AD将△ABC折成一个直二面角，则三棱锥A一BCD的外接球的表面积的最小值为______。参考答案：.【分析】由题意可知DA，DB，DC两两互相垂直，然后把三棱锥补形为长方体求解．【详解】设，，则由面积可得ab=4；由已知，平面，将三棱锥补形为一个长方体，则三棱锥的外接球就是该长方体的外接球，且该长方体的长宽高分别为、、，则球的直径，则球的表面积为，因，故.故答案为：.【点睛】本题考查多面体外接球表面积的求法，训练了“分割补形法”，考查了基本不等式求最值的方法，是中档题．15.,则_______________.参考答案：略16.设若，，则的

值是

.参考答案：217.函数（且）在上的最小值是，则

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知曲线的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数）.（Ⅰ）写出直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）设曲线经过伸缩变换得到曲线，设为曲线上任一点，求的最小值，并求相应点的坐标。参考答案：（1）

------------------------4分（2）：

设为：

----------------7分所以当为()或

的最小值为1

----------------10分略19.选修4-4：坐标系与参数方程以平面直角坐标系的原点O为极点，轴的正半轴为极轴，已知点P的直角坐标为(1,－5)，点M的极坐标为，若直线过点P，且倾斜角为，圆C以M为圆心，4为半径.（1）求直线的参数方程和圆C的极坐标方程；（2）试判定直线与圆C的位置关系.参考答案：解析：（1）直线的参数方程：（为参数），则（为参数），点的直角坐标为，圆方程，且，代入得圆极坐标方程；（2）直线的普通方程为，圆心到的距离为，∴直线与圆相离．

20.（本题满分10分）

对于正整数≥2，用表示关于的一元二次方程有实数根的有序数组的组数，其中（和可以相等）；对于随机选取的（和可以相等），记为关于的一元二次方程有实数根的概率。

（1）求和；

（2）求证：对任意正整数≥2，有.参考答案：21.（14分）已知函数f(x)=cos(+x)·cosx+sin2x，x∈R．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B=，a=2且角A满足f（A）=0，求△ABC的面积．参考答案：【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（1）利用二倍角和诱导公式以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；（2）根据f（A）=0，求解A，利用正弦定理求解b，根据sinC=sin（A+B）求解sinC，即可求解△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）化简，∴，k∈Z，∴，k∈Z，∴f（x）的单调递增区间是，k∈Z．（Ⅱ）∵f（A）