山东省潍坊市新青民办中学2021-2022学年高三数学理上学期期末试题含解析

山东省潍坊市新青民办中学2021-2022学年高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若复数（为虚数单位）是纯虚数，则实数的值为

（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A2.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为棱BB1、BC的中点，则异面直线AB1与EF所成角的大小为

（）A．30° B．45° C．60° D．90°参考答案：C【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AB1与EF所成角的大小．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，则A（2，0，0），B1（2，2，2），E（2，2，1），F（1，2，0），=（0，2，2），=（﹣1，0，﹣1），设异面直线AB1与EF所成角的大小为θ，则cosθ=|cos＜＞|===，∴θ=60°，∴异面直线AB1与EF所成角的大小为60°．故选：C．3.2012年伦敦奥运会某项目参赛领导小组要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有A.12种

B.18种

C.36种

D.48种参考答案：C4.在复平面内，复数对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：A略5.下列说法正确的是

（

）A．命题“，”的否定是“，”B．命题“已知，若，则或”是真命题C．“在上恒成立”“在上恒成立”D．命题“若，则函数只有一个零点”的逆命题为真命题参考答案：B略6.函数的所有零点之和等于（A）2

（B）4

（C）6

（D）8参考答案：C由，得令,在同一坐标系中分别做出函数，，，由图象可知，函数关于对称，又也是函数的对称轴，所以函数的交点也关于对称，且两函数共有6个交点，所以所有零点之和为6.7.已知点在幂函数f(x)的图象上，则f(x)是()．A．是偶函数

B．是奇函数C．是非奇非偶函数

D．既是奇函数又是偶函数参考答案：B8.在△中,是的（

）A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：C【知识点】平面向量的数量积及其应用；充分条件必要条件解析：因为在△ABC中?=?等价于?﹣?=0等价于?（+）=0，因为的方向为AB边上的中线的方向．即AB与AB边上的中线相互垂直，则△ABC为等腰三角形，故AC=BC，即，所以为充分必要条件．故选C．【思路点拨】首先在△ABC中，移项化简可得到=0，所表示的意义为AB与AB边上的中线相互垂直，故，所以是充分条件，又，得三角形为等腰三角形，则可推出也成立．所以是充分必要条件．9.集合，，则A．B．C．D．参考答案：B略10.若函数在定义域上只有一个零点，则实数a的取值范围是()A. B. C. D.参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别F1、F2，过点F1的直线交椭圆C于A，B两点，若=3，且cos∠AF2B=，则椭圆C的离心率是．参考答案：考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设|F1B|=k（k＞0），则|AF1|=3k，|AB|=4k，由cos∠AF2B=，利用余弦定理，可得a=3k，从而△AF1F2是等腰直角三角形，即可求椭圆E的离心率．解答：解：设|F1B|=k（k＞0），则|AF1|=3k，|AB|=4k，∴|AF2|=2a﹣3k，|BF2|=2a﹣k∵cos∠AF2B=，∴（4k）2=（2a﹣3k）2+（2a﹣k）2﹣（2a﹣3k）（2a﹣k），化简可得a=3k，∴|AF2|=|AF1|=3k，|BF2|=5k∴|BF2|2=|AF2|2+|AB|2，∴AF1⊥AF2，∴△AF1F2是等腰直角三角形，∴c=a，∴e==．故答案为：．点评：本题考查椭圆的定义，考查椭圆的性质，考查余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．12.给定一组函数解析式：①y＝x；②y＝x；③y＝x－；④y＝x－；⑤y＝x；⑥y＝x－；⑦y＝x．如图所示为一组函数图象，请把图象对应的解析式的号码填在相应图象下面的横线上．

参考答案：⑥⑦④②③①⑤13.若变量x，y满足约束条件，则z=x+y的最小值是．参考答案：﹣2【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合定点最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，得A（﹣1，﹣1），化目标函数z=x+y为y=﹣x+z，由图可知，当直线y=﹣x+z过点A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为﹣1﹣1=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．14.已知复数，（，i为虚数单位），在复平面上，设复数、对应的点分别为、，若，其中O是坐标原点，则函数f(x)的最小正周期为________.参考答案：π【分析】根据垂直得到，化简得到，利用周期公式得到答案.【详解】，，则函数的最小正周期为故答案为：【点睛】本题考查了复数的几何意义，三角函数化简，周期，意在考查学生的计算能力和综合应用能力15.已知集合则参考答案：本题考查了交集的运算，属于容易题。

因为集合

则.16.已知圆柱M的底面圆的半径与球O的半径相同，若圆柱M与球O的表面积相等，则它们的体积之比=

(用数值作答)．参考答案：17.设、是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，且满足，则的面积等于

．参考答案：1略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分15分）

已知抛物线的准线为，焦点为F，圆M的圆心在轴的正半轴上，且与轴相切，过原点O作倾斜角为的直线，交于点A，交圆M于另一点B，且AO=OB=2.

（1）求圆M和抛物线C的方程；

（2）若P为抛物线C上的动点，求的最小值；

（3）过上的动点Q向圆M作切线，切点为S，T，求证：直线ST恒过一个定点，并求该定点的坐标.

参考答案：解：（1）即p=2

……2分设圆M的半径为r，则所以圆Ｍ的方程为：……５分（２）设Ｐ（x,y）(x0)，则

=

…………8分

所以当x=0时有最小值为2

…………10分（3）以点Q为圆心，QS为半径作圆Q,则ST即为圆O与圆Q的公共弦

…………11分设Q（-1，t）则QS2=QM2—4=t2,所以圆Q的方程为从而直线QS的方程为3x—ty—2=0

……13分因为一定是上述方程的解，所以直线QS恒过一个定点，且该定点坐标为

……15分19.（本题满分12分）设函数（，）的部分图像如图所示，其中△为等腰直角三角形，，。（I）求函数的解析式；（Ⅱ）求函数在时的所有零点之和。参考答案：（I）如图,由已知得，，所以（Ⅱ）由，得，故或（Z），所以当时的所有零点之和为。20.（2017?深圳一模）在直角坐标系中xOy中，曲线E的参数方程为（α为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）写出曲线E的普通方程和极坐标方程；（2）若直线l与曲线E相交于点A、B两点，且OA⊥OB，求证：+为定值，并求出这个定值．参考答案：【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）曲线E的参数方程消去参数，能求出曲线E的普通方程，进而能求出曲线E的极坐标方程．（2）不妨设设点A，B的极坐标分别为A（ρ1，θ），B（），从而得到，由此能证明（定值）．【解答】解：（1）∵曲线E的参数方程为（α为参数），∴消去参数得曲线E的普通方程为，∴曲线E的极坐标方程为，∴所求的极坐标方程为3ρ2cos2θ+4ρ2sin2θ=12．（2）证明：不妨设设点A，B的极坐标分别为A（ρ1，θ），B（），则，即，∴=，即（定值）．【点评】本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程的互化，考查代数式和为定值的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意普通方程、极坐标方程的互化公式的合理运用．21.(本小题满分12分)

如图，五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，面ABF是等边三角形，棱EF//BC，且EF=BC．

(I)证明：EO//面ABF；

(Ⅱ)若EF=EO，证明：平面EFO平面ABE．参考答案：略22.已知等