勾股定理和方程相结合解决几何问题(含练习及答案)

勾股定理和方程相结合解决几何问题(含练习及答案)

勾股定理是解决直角三角形问题的重要工具。它告诉我们，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。利用勾股定理，我们可以解决许多几何问题，如求线段长度等。同时，在证明含平方问题时，构造直角三角形也是一个有效的方法之一。举例来说，对于一个矩形ABCD，如果我们将其沿对角线BD折叠，使点C落在点E处，BE交AD于点F，求BF的长。我们可以利用翻折的性质和矩形的性质，得到∠EBD＝∠ADB，从而得到BF＝DF。在△AFB中，利用勾股定理即可求得BF的长。再比如，对于一个长方形，如果我们将其折叠，使点B落在AD边的点F处，已知AB＝5cm，BC＝13cm，求AE的长。根据翻折变换的性质，我们可以得到FC＝BC，EF＝BE。利用勾股定理求出DF，得到AF的长，再根据勾股定理计算即可求出AE的长。还有一个例子，对于一个三角形ABC，已知AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC的面积。我们设BD＝x，由CD＝BC﹣BD表示出CD，分别在直角三角形ABD与直角三角形ACD中，利用勾股定理表示出AD，列出关于x的方程，求出方程的解得到AD的长，即可求出三角形ABC面积。解题过程：例4：如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝1.5，BD＝2.5，求AC的长度。解：过D作DE⊥AB于E，∵∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝1.5，∴DE＝CD＝1.5，在直角三角形DEB中，由勾股定理得：BE²=BD²-DE²=2.5²-1.5²=4，∵AD＝AD，CD＝DE，∠C＝∠AED，∴直角三角形ACD≌直角三角形AED，∴AC＝AE，设AC＝AE＝x，则AB＝x+2，由勾股定理得：AB²=AC²+BC²，即（x+2）²=x²+14²，解得x＝3，∴AC＝3。例5：如图，在正方形ABCD中，N是DC上的点，且DN:NC=3:4，M是AD上不同于D的点，且∠NMB=∠MBC，求AM：AB的值。解：从点B处作BF⊥MN交MN于点F，∵正方形ABCD，∴AB＝CD＝AD，AD∥BC，∠A＝∠C＝∠D＝90°，∴∠AMB＝∠MBC，∵∠NMB＝∠MBC，∴∠BMA＝∠BMF，∵BA⊥MA，BF⊥MN，∴AB＝BF，在直角三角形BMA和BMF中，BM=BM，AB=BF，∴直角三角形BMA≌直角三角形BMF，∴AM＝MF，同理可证直角三角形BCN≌BFN，∴CN＝NF，设DN＝3a，NC=4a，则CD＝7a，则NF＝4a，设AM＝MF＝x，在直角三角形DMN中，∵MN＝DM+DN，（3a）+（7a-x）＝（4a+x），解得x＝a，∴AM＝a，∵AB＝CD＝7a，∴AM：AB＝3：11。AB是半圆O的直径，E是AB的中点，OE交BC于点D，DE=2，BC=8，求圆O的半径。分析：利用切线的性质，设出半径，再利用勾股定理列出方程求解。解：因为OE是半径，所以OD=r-DE=r-2。由于CF是圆O的切线，所以OC⊥CF，根据勾股定理得OC²+CF²=OF²，即r²+(BC/2)²=(OE+CF)²=r²+OE²+2OE×CF+CF²，代入BC=8，OE=r/2，DE=2，得到r=5。因此，圆O的半径为5。在中国古代数学著作《九章算术》的“勾股”章中，有一道题目如下：现在有一对门，门边缘的点D和C到门槛AB的距离为1尺（1尺=10寸），门之间的缝隙CD为2寸，问这对门的宽度（两扇门的和）AB是多少？解法1：为了求出EC的长度，我们需要使用勾股定理计算FC的长度，而为了计算FC的长度，我们需要求出BF的长度。因此，我们可以使用勾股定理计算BF的长度。设EC的长度为x，则DE的长度为8-x。因为△ADE折叠后的图形是△AFE，所以AD=AF，∠D=∠AFE，DE=EF。由于AD=BC=10cm，所以AF=AD=10cm。又因为AB=8cm，在Rt△ABF中，根据勾股定理，得出AB+BF=AF，因此8+BF=10，因此BF=6cm。因此，FC=BC-BF=10-6=4cm。在Rt△EFC中，根据勾股定理，得出FC+EC=EF，因此4+x=8-x，即16+x=64-16x+x。化简后得到16x=48，因此x=3。因此，EC的长度为3cm。解法2：由于折叠的性质和平行线的性质，我们可以得出∠ADB=∠A'DB=∠CBD，因此BC=DC。由于折叠的性质，我们可以得出A'D=AD=1，A'B=AB=3，∠CAB=∠A=90°。根据勾