空间向量练习题

空间向量的概念解析例1、下列说法中正确的是()若|a|=|b|,则a,b的长度相同，方向相同或相反若向量a是向量b的相反向量，则|a|=|b|空间向量的减法满足结合律在四边形ABCD在四边形ABCD中,►►►定有AB€AD=AC练习1、给出下列命题：①零向量没有方向；②若两个空间向量相等，贝y它们的起点相同，终点相同；③若空间向量a,b满足|a|=|b|，则a=b；④若空间向量m,n,p满足m=n,n=p,则m=p；⑤空间中任意两个单位向量必相等，其中正确命题的个数为()A.4B.3C.2D.12、下列四个命题：方向相反的两个向量是相反向量若a,b满足Ia|>|b|，且a,b同向，则a〉b不相等的两个空间向量的模必不相等对于任何向量a,b，必有|a+b|W|a|+|b|其中正确命题的序号为()A.(1)(2)(3)B.(4)C.(3)(4)D.(1)(4)空间向量的线性运算例1、已知长方体ABCD-A'B'C'D'，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量(1)AT-CB(2)~ABf€BC€CD，(3)1AD+-AB--AA222练习1、如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D】中，下列各式中运算的结果为向量的共有()①(AB€BC)€CC②(AT€AD)€DC③(AB€BF)€BC④(AT€AB)€BC11111111111111A.1个B.2个C.3个D.4个

2、如图所示，在平行六面体ABCD-AiBiCiD】中，M为AC与BD的交点，若AB€a,AD€b,AA=c,贝y下列向量中与BM相等的向量是（）B\111111B\11111111A.-a，—b,cB.a,b,cC.a——b+cD.—a——b,c22222222D用已知向量表示未知向量例1、已知ABCD为正方形，P是ABCD所在平面外一点，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形ABCD的中心0,Q是CD的中点，求下列各式中x,y的值：(1)OQ=PQ,xPC,yPA(2)PA=xPO,yPQ,PD练习：1、本例中若PQ=xBA+yBC+zBP，则x,y,z为何值?2、如图所示，在平行六面体ABCD-ABCD中，AB=a,AD=b,AA=cM是CD的中点,1111111点N是CA]上的点，且CN:NA]=4：1，用a,b,c表示以下向量:(1)AM(2)ANAA共线向量定理例1、如图所示，已知四边形ABCD,ABEF都是平行四边形且不共面，M,N分别是AC,BF的中点，判断C与MN是否共线练习：1、已知空间向量a,b，且AB€a+2b,BC=—5a+6b,CD=7a—2b，则一定共线的三点是（）A,B,DB.A,B,CC.B,C,DD.A,C,D2、已知四边形ABCD是空间四边形，E,H分别是边AB,AD的中点，F,G分别是边CB,CD上的点，且CF=3CB,CG=3CD求证：四边形EFGH是梯形共面向量定理►►►例1、对于任意空间四边形ABCD，E,F分别是AB,CD的中点，试证：EF与BC,AD共面练习：1、在下列条件下，使M与A,B,C—定共面的是（）OM=3OA，2OB，OCOM+OA+OB+OC=0c.MA+MB+MC=0

D.OM€4面-OA,2°C2、已知A,B,C三点不共线，平面ABC外一点M满足OM=穆OA,30B,10C(1)判断MA,MB,MC三个向量是否共面(2)判断M是否在平面ABC内基底的判断例1、若｛a,b,c｝是空间的一个基底，试判断｛a+b,b+c,c+a｝能否作为该空间的一个基底练习：1、设x=a+b,y=b+c,z=c+a，且｛a,b,c｝是空间的一个基底，给出下列向量组：①｛a,b,x｝,②｛x,y,z｝,③｛b,c,z｝,④｛x,y,a+b+c｝其中可以作为空间的基底的向量组有个2、已知｛e,e,e｝是空间的一个基底，、且°A€e+2幺—eQB=—3幺+e+2e123tI123123,OC€e,e—e，试判断＜OA,OB,OC„能否作为空间的一个基底？123设OA设OA€a,OB€b,OC=c例1、空间四边形OABC中，G,H分别是△ABC，△OBC的重心,试用向量a,b,c表示向量试用向量a,b,c表示向量0G和GH练习1、本例题中条件不变，若E为0A的中点，试用a,b,c表示DE和EG2、四棱锥P-OABC的底面为一矩形，P0丄平面0ABC,设OA=a,OC=b,OP=c，E,F分别是PC和PB的中点，试用a,b,c表示：BF,BE,AE,EF

数量积的运算例1、如图所示，已知正四面体0ABC的棱长为1,点E,F分别是OA,OC的中点，求下列向量的数量积：(1)OA•(1)OA•OB(2)EF•CB(3)(OA+OB)•(CA+CB)练习1、如图，已知空间四边形每条边和对角线长都等于a,点E,F,G分别是AB、AD、DC的中点,则下列向量的数量积等于a2的是()A.2BA•ACA.2BA•ACB.2AD•C.2FG•CAD.2EF•CB2、已知长方体ABCD-ABCD中，AB=AA=2，AD=4，E为侧面AABB的中心，F为AD的中心，求下列向量的数量积(1)BC•ED;(2)BF•AB厂厂11用数量积求夹角例1、如图，在直三棱柱ABC-ABC中，ZABC=90°，AB=BC=1，AA=42，求异面直角BA11111与AC所成角的余弦值练习：练习：1、已知a,b是异面直线，AGa,BGa,CGb,DGb,AC丄b,BD丄b,且AB=2，CD=1，则a与b所成的角是()A.30°B.45°C.60°D.90°2、已知空间四边形0ABC各边及对角线长相等，E、F分别为AB、0C的中点，求OE与BF所成角的余弦值利用数量积求两点间距离例1、如图所示，平行六面体ABCD-A1B1C1D目，从同一顶点出发的三条棱的长都等于1,且彼此的夹角都是60°，求对角线AC】和bD；的长练习：1、如图，已知PA丄平面ABC,ZABC=120°,PA=AB=BC=6,则PC等于（）A.6、江A.6、江B.6C.12D.1442、在平行四边形ABCD中，AB=AC=1,ZACD=90°,将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，求B,D间的距离利用数量积证明垂直问题例1、已知空间四边形ABCD中，AB丄CD,AC丄BD，求证：AD丄BC练习：1、已知向量a,b是平面a内两个