第十章积分第三节三重

第三节三重积分(二)一、利用柱面坐标计算三重积分二、利用球面坐标计算三重积分三、小结思考题一、利用柱面坐标计算三重积分y

=

r

sin

q

,z

=

z

.

x

=

r

cos

q

,［变化范围］［与直角坐标的关系］0x设空间一点M

(x,y,z),点M在xoy面上的投影N的极坐标为(r,q

),

则(r,q,称z)为点M

的柱面坐标.zyM(ρ,q,

z)zqρNxyz0

£

r

<

+¥

,

0

£

q

£

2p

,

-

¥

<

z

<

+¥

y

=

rsin

q,

x

=

rcos

q,z

=

z.柱面坐标与直角坐标的关系为r

为常数

q为常数z

为常数如图，三坐标面分别为圆柱面；半平面；平面．M

(x,

y,

z)P(r,q)rrzxyzo\

f

(

x,

y,

z)dxdydzW=

f

(rcos

q,rsin

q,

z)rdrdqdz.dqrxyodzdrrdq柱面坐标系中的体积元素为dv

=

rdrdqdz,W此即柱面坐标系下的三重积分表达式如图与轴垂直方向的长为dr纬线方向的宽为rdqz轴方向的高为dz六面体近似看作长方体z柱面坐标下的三重积分的计算【方法】仍然化为三次积分来进行，积分限是根据r,q,z

在积分域Ω中的变化范围来确定的，一般按先z、次r、后q的次序积分【适用范围】积分域表面用柱面坐标表示时方程简单;被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离.以下举例说明—先一先z次r、后q

—后二单积分二重积分（极坐标系下计算）d

x

d

yd

zx

2+

y

2

+

1【例1】I

=

1Ωz

=1

所围W

:锥面x2

+y2

=z2

,0xzy1DxydzI

=D112r

+

1

rdrdqr=100

2r

+

12pdqr1dr

dzr2=

p

(ln

2

-

2

+

p

)WDxy:

0

£

q

£

2p

,0

£

r

£

1z

=

r上顶：z

=1锥面化为:

ρ=

z1下底：用柱面坐标-

1)dr1

+

r=

2p10(1

+

r2【解】0xy1Dxy3【解】

x

=

r

cosqWx2

+y2

+z2

=4与抛物面x2

+y2

=3z所围的立体.zz

=

z由

y

=r

sinq

,2

2r2

=

3zr

+

z

=

4知交线为

z

=

1,

r

=

3,【例2】计算I

=

zdxdydz

，其中W

是球面0

£

q

£

2p

.W

:

0

£

r

£

3,

r2

3

£

z

£24

-

r

，I

=32p034-r2dq

0

drr2r

zdz4=

13

p.因此二、利用球面坐标计算三重积分设

M

(

x,

y,

z)

为空间内一点，则点

M

可用三个有次序的数

r，j，q

来确定，其中

r

为原点

O

与点

M

间的距离，

j

为有向线段

OM与

z

轴正向所夹的角，

q

为从正

z

轴来看自

x

轴按逆时针方向转到有向线

段

OP

的角，这里

P

为点

M

在

xoy

面上的投影，这样的三

个数

r，j，

q

就叫做点

M

的球面坐标．xzyM(r,q,j)rj0qPyxzx

=

rsinj

cosqy

=

rsinj

sinqz

=

rcosj【规定】0

£

r

<

+¥

,0

£

j

£

p

,球面坐标0

£

q

£

2p

.zjryqxj

为常数圆锥面；r

为常数球面；q为常数半平面．jrxzyq球面坐标系中的体积元素为dv

=

r

2

sinjdrdjdq

,

f

(

x,

y,

z)dxdydz

=W

f

(r

sinj

cosq

,

r

sinj

sinq

,

r

cosj

)r

2

sinjdrdjdq

.Wdqrxyzodrr

sinjdqrdjdjjqdqr

sinj如图，经线方向长为rdj纬线方向的宽为r

sin

jdq向径方向的高为dr此即球面坐标下三重积分表达式六面体近似看作长方体【注】(1)

若W

是包围原点在内的闭区域，其边界曲面方程为r

=r

(j

,q

)则

I

=

F

(r,j

,q)r

2

sinjdrdjdqW

=0202p

pr

(j

,q

)0dj

F

r

sinjdrdq球面坐标下的三重积分的计算一般按照化为先对r、次对j、最后对q

的三次积分进行计算

.(3)当f

(x,y,z)”1时，由(2)即得球的体积43302r

sinjdr

=

=02p0p

adjdqV

=ap(2)当W

由球面r

=a围成时

I

=a20

0

0dj

F

r

sinjdrdq2pp其中

F

(r,j

,q)

=

f

(r

sinj

cosq,

r

sinj

sinq,

r

cosj

)【例3】计算I

=

(x2

+y2

)dxdydz

，其中W

是锥W面x2

+

y2

=

z2

，

与平面z

=

a

(a

>

0)所围的立体.【解】

z

=

a

r

=,cosja4x2

+

y2

=

z2

j

=

p,4, 0

£

j

£

p, 0

£

q

£

2p,cosj\

W

: 0

£

r

£aI

=

(

x2

+

y2

)dxdydzW=

dqdjp

a4cosj02p04

3r

sin

jdr0(

-

0)dj5

cos

jsin

j=

2pp415a50310=

p

a5

.【例

4

】求曲面x2

+

y2

+

z2

£

2a2

与z

‡

x2

+y2

所围成的立体体积.【解】W

由锥面和球面围成，采用球面坐标，由x2

+

y2

+

z2

=

2a2

r

=

2a,z

=

x

2

+

y24

j

=

p,0

£

q

£

2p,42a, 0

£

j

£

p,W

: 0

£

r

£由三重积分的性质知

V

=

dxdydz

,WV

=

dqr

2

sin

jdrdjp42a002p0p4sin

j0=

2p(

2a)33432

-

1)a

.dj

=

3

p(【补充：利用对称性化简三重积分计算】使用对称性时应注意：

１、积分区域关于坐标面的对称性；２、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的奇偶性．一般地，当积分区域W

关于xoy

平面对称，且被积函数f

(x,y,z)是关于z

的奇函数，则三重积分为零，若被积函数f

(x,y,z)是关于z

的偶函数，则三重积分为W

在xoy

平面上方的半个闭区域的三重积分的两倍.【补例1】利用对称性简化计算Wx2

+

y2

+

z2

+

1dxdydzz

ln(

x2

+

y2

+

z2

+

1)其中积分区域W={(x,y,z)|

x2

+y2

+z2

£

1}.【解】积分域关于三个坐标面都对称，被积函数是z的奇函数,dxdydz

=

0.x2

+

y2

+

z2

+

1z

ln(

x2

+

y2

+

z2

+

1)W对称性简化运算三、小结坐标系体积元素适用情况直角坐标系dxd

ydz积分区域多由坐标面围成;被积函数形式简洁,或变量可分离.柱面坐标系r

d

r

dq

dz球面坐标系r

2

sinj

dr

dj

dq【思考题】若W

为R3中关于xy面对称的有界闭区域，f

(x,