第09讲函数的概念及其表示（原卷版）

第9讲函数的概念及其表示1．理解函数的概念，了解构成函数的三要素；2．能正确使用区间表示数集，会求简单函数的定义域、函数值和值域；3．掌握函数的三种表示法—解析法、图象法、列表法；4．了解两个函数相等的意义，会判断给定两个函数是否为同一个函数；5．会求函数的解析式，并正确画出函数的图象。一、函数的定义及概念概念1、函数的定义：设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：y＝f(x)，x∈A【注意】函数的本质含义：定义域内的任意一个x值，必须有且仅有唯一的y值与之对应。（1）特殊性：定义的集合A，B必须是两个非空数集；（2）任意性：A中任意一个数都要考虑到；（3）唯一性：每一个自变量都在B中有唯一的值与之对应；（4）方向性：A→B2、函数的有关概念（1）函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．（2）函数的三要素：定义域、对应关系和值域．（3）函数的表示法：表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．3、函数的三要素的理解（1）定义域：使函数解析式有意义或使实际问题有意义的的取值范围；（2）对应关系：是函数关系的本质特征，是沟通定义域与值域的桥梁，在定义域确定的情况下，对应关系控制着值域的形态，可以看作是对“”施加的某种运算或法则。例如：，就是对自变量求平方。（3）值域：对应关系对自变量在定义域内取值时相应的函数值的集合，其中，表示“是的函数”，指的是为在对应关系下的对应值。4、同一个函数：两个函数定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数为同一个函数。二、区间及相关概念1、一般区间的表示：设a，b是两个实数，而且a<b，我们规定：这里的实数叫做区间的端点.在用区间表示连续的数集时，包含端点的那一端用中括号表示，不包含端点的那一端用小括号表示.定义名称符号数轴表示闭区间开区间半开半闭区间半开半闭区间2、实数集R可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”．3、特殊区间的表示定义符号数轴表示三、求函数的定义域的依据1、分式中分母不能为零；2、偶次方根的被开方数的被开方数必须大于等于零，即中；奇次方根的被开方数取全体实数，即中，；3、零次幂的底数不能为零，即中；4、实际问题中函数定义域要考虑实际意义；5、如果已知函数是由两个以上数学式子的和、差、积、商的形式构成，那么定义域是使各部分都有意义的公共部分的集合。四、函数的表示方法1、解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系。2、列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系。3、图像法：用图象表示两个变量之间的对应关系。五、分段函数1、定义：在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数．2、性质：分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．3、分段函数图象的画法（1）作分段函数图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏；（2）对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后作出函数的图象。六、函数解析式的求法1、待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数等），可用待定系数法．（1）确定所有函数问题含待定系数的一般解析式；（2）根据恒等条件，列出一组含有待定系数的方程；（3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。2、换元法：主要用于解决已知的解析式，求函数的解析式的问题（1）先令，注意分析的取值范围；（2）反解出x，即用含的代数式表示x；（3）将中的x度替换为的表示，可求得的解析式，从而求得。3、配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式，然后以x替代g(x)，便得的解析式．4、方程组法：主要解决已知与、、……的方程，求解析式。例如：若条件是关于与的条件（或者与）的条件，可把代为（或者把代为）得到第二个式子，与原式联立方程组，求出考点一：对函数概念的理解例1．下列变量间为函数关系的是（）A．匀速行驶的客车在2小时内行驶的路程B．某地蔬菜的价格与蔬菜的供应量的关系C．一只60瓦的白炽灯在7小时内的耗电量与时间t的关系D．生活质量与人的身体状况间的关系【变式训练】下列图象中，表示函数关系的是（）A．B．C．D．考点二：区间概念的理解例2．用区间表示集合__________．【变式训练】（多选）下列集合不能用区间形式表示的是（）A．B．C．或D．考点三：求具体函数的定义域例3．函数的定义域是（）A．B．C．D．或【变式训练】函数的定义域为（）A．B．C．D．考点四：求抽象函数的定义域例4．已知函数的定义域为，求函数的定义域.【变式训练】已知的定义域为，求的定义域.考点五：判断两个函数是否相等例5．下列各函数中，与函数表示同一函数的是（）A．B．C．D．【变式训练】（多选）下列各组函数不是同一个函数的是（）A．与B．与C．与D．与考点六：画简单函数的图象例6．作出下列函数的图象.（1）y＝x＋2，|x|≤3；（2），x∈Z且|x|≤2.【变式训练】作出函数的图像．考点七：求函数的解析式例7．已知一次函数满足，则（）A．12B．13C．14D．15【变式训练】（1）已知，求的解析式；（2）已知，求的解析式．考点八：求分段函数的函数值例8．设，则（）A．6B．7C．8D．9【变式训练】已知函数，那么________．考点九：求简单函数的值域例9．若函数的定义域是，则它的值域________．【变式训练】已知函数，则的值域为（）A．B．C．D．1．下列各函数图象中，不可能是函数的图象的是（）A．B．C．D．2．区间等于（）A．B．C．D．3．函数的定义域为（）A．B．C．D．4．若函数的定义域为，则函数的定义域为（）A．B．C．D．5．已知集合是实数集的子集，定义，若集合，则（）A．B．C．D．6．下列函数中，是同一函数的是（）A．与B．与C．与D．与7．若函数，且，则实数的值为（）A．或B．或3C．D．38．已知函数的对应关系如下表，则（）x01232130320A．0B．2C．D．19．（多选）下列对应关系中不是到的函数的是（）A．B．C．D．10．若的定义域为，则的定义域为______．11．函数的值域为__________________12．已知，求_______．13．（1）已知是一次函数，且满足，求的解析式．（2）若对任意实数x，均有，求的解析式．14．已知函数.（1）求，的值；（2）作出函数的简图；（3）由简图指出函数的值域；1．下列各组函数表示相同函数的是（）A．和B．和C．和D．和2．函数的定义域是（）A．B．C．D．3．已知的定义域为，则的定义域为（）A．B．C．D．4．已知函数的定义域为，则其值域为（）A．B．C．D．5．下列函数中，值域为的是（）A．B．C．D．6．函数，则等于（）A．B．C．D．7．（多选）下列是函数图象的是（）A．B．C．D．8．已知函数的定义域为，则的定义域为______.9．已知，则___