实验15 拼图-探索规律

课题：实验15探索规律教材版本：苏科版数学实验手册七下实验目标：1、经历简单图形的拼图过程，发现基本图形及平移基本图形对图案变化产生的影响，并通过分类，发现、探索其中的规律2、面对较复杂的拼图，能够尝试运用前面发现的规律，通过合理分类，在拼图中平移图形，并实现”形“与”数“的融通，进一步验证、深化前面发现的规律，有条理地应用分类及平移进行图形呈现，并将图形与数列相结合，通过两种方式验证结论3、经历操作、观察、猜想、归纳、验证等有意义的数学活动过程，感悟“数形结合”“分类讨论”等基本思想，积累基本活动经验，渗透数学文化，发展几何直观、推理能力等素质。教学重点：在活动的过程中确定合理的分类标准；现实“形”“数”结合；发展推理能力教学难点：对所拼简单图形进行合理分类，发现基本图形及平移基本图形对图案变化产生的影响探究水平长度是4cm的长方形图案时，发现规律并运用规律得到新图案。观察实验结果，并猜想规律，继而验证规律可落实的数学核心素养：逻辑推理、直观想象教学过程环节一：操作与观察教学活动一:以水平长度为2cm、竖直高度为2cm为例，初步感受拼图的规则【教师活动】长方形是我们非常熟悉的基本图形，由此可以拼得多种复杂的图案，今天我们从基本图形——长方形入手，通过拼图的过程探究图案的规律。（板书课题“拼图——探索规律”）用1cm×2cm的长方形纸片，可以拼出一些水平长度不同但竖直高度均为2cm的正方形或长方形图案。从最简单的图形入手，我们需要几张长方形纸片能拼成水平长度为2cm、竖直高度为2cm的图形呢？【生成预设】2张【评估回应】为什么？【生成预设】生1:通过动手操作发现需要两张长方形纸片生2:由总面积=单个面积×张数得到【评估回应】我们既可以从图形直观得到我们所需的纸片张数，也可以通过计算面积的方式得到。用这两张纸片去拼大的正方形，有几种拼法呢？构成几种不同的图案呢？请同学们利用手中的小长方形拼一拼。【生成预设】两种（学生上黑板展示）【评估回应】很好，观察这两种图案，从整体上看都是一个大正方形，从局部上看都是两个小长方形，但摆放的方式不同，不同的摆放方式也对应了水平长度的不同分法，请对照图形进行说明。【生成预设】竖放：将水平长度的2cm分成了1cm和1cm横放：将水平长度的2cm看成一个整体【评估回应】用数学语言也就可以将图形转化为（1，1）和（2）两种数字排序【技术运用】教具教学活动二:以水平长度为3cm、竖直高度为2cm为例，了解拼图规则，提取基本图形，对所拼图形进行分类，发现平移基本图形对图案的变化影响【教师活动】下面我们将水平长度增加到3cm，竖直高度不变，此时我们需要几个小长方形纸片去拼图呢？【生成预设】3张【评估回应】我们发现小长方形的张数和与水平长度一致，能否用之前的方法验证一下需要n张小长方形去拼得水平长度为ncm、竖直高度为2cm的长方形呢？【生成预设】生1:图形法——将小长方形全部竖放，需要n张生2:面积法——总面积=个数×单个面积（2n=个数×2）【评估回应】我们从数与形两个角度都验证了小长方形的张数和与水平长度一致，现在取出三张小长方形，你能有几种方法拼得大长方形呢？【生成预设】3种（学生黑板展示）【评估回应】观察这三种图案，我们发现图1是由三个竖着的小长方形拼成，图2和图3是由一个竖着的和两个横着的小长方形组成，其中横着的小长方形是……【生成预设】横着的小长方形是成对出现的【评估回应】为什么呢？【生成预设】因为大长方形的竖直高度为2cm，需要两个横着的小长方形上下叠加得到。【评估回应】也就是说，这些图案都可以看作由竖直高度为2cm的基本图形①和②组成。由此，我们可以将这三种图案分成哪几类呢？分类的依据又是什么呢？【生成预设】两类，图案1为一类，这类是只由基本图形①组成；图案2、3为一类，由基本图形①和②组成，且各一个【评估回应】既然我们将图案2、3归为一类，说明两者之间既有联系，也有区别，观察第3个图案可由第2个图案中的基本图形经过怎样的图形运动得到的？【生成预设】平移（基本图形①或②）【评估回应】也就是说，当两种基本图形的个数确定后，我们可以通过平移构造出不同的图案；不同的摆放方式也对应了水平长度的不同分法，请对照图形进行说明【生成预设】（1，1，1）；（1，2）；（2，1）【评估回应】我们通过数字排序将图案表示出来【技术运用】教具教学活动三:通过拼图，画出水平高度为4cm、竖直高度为2cm的所有不同图案，尝试有条理地应用分类及平移进行图案设计【教师活动】下面仿照水平长度为3cm、竖直高度为2cm的长方形图案，4人一个小组拼出尽可能多的水平长度为4cm、竖直高度为2cm的长方形图案，并尝试在书P37的方格纸之中将所有长方形图案分类画出来。【学生活动】小组讨论【生成预设】组1:按基本图形个数分类画图组2:随机画图【评估回应】共有几种不同的图案？（5种）组1:请这组同学派个代表说一说你是怎么想的？组2:观察这5个图案，你能将他们分成几类呢？【生成预设】分成三大类，第一类是4个基本图形①，第二类是2个基本图形①和一个基本图形②，第三类是2个基本图形②【评估回应】第一、三两类各有一种情况，第二类的三种情况中由基本图形如何平移得到呢？【生成预设】生1:平移基本图形①，……生2:平移基本图形②，……【评估回应】生1:在平移基本图形①的时候，我们发现这个两个基本图形①既有可能合并在一起，也有可能分开，又需要分类讨论，较为复杂，所以选择平移基本图形②较好生2:很好针对不同的摆放方式，你能用不同的数字排序进行说明吗【生成预设】（1，1，1，1）；（2，1，1）；（1，2，1）；（1，1，2）；（2，2）【评估回应】结合图形和数字的排序，基本图形①和基本图形②可以分别用数字“1”和数字“2”来表示，图形的平移就可以转化为数字的平移【技术运用】投影，教具，板书教学活动四:有条理地应用分类及平移进行图案设计画出水平高度为5cm、竖直高度为2cm的所有不同图案【教师活动】根据刚刚探究的方法，你能画出所以水平长度为5cm、竖直高度为2cm的长方形图案吗？小组讨论需要将图案分成几类并将图形画出。【学生活动】小组讨论、绘制【生成预设】8种情况，分类画出【评估回应】共有几种不同的图案？（8种）很好，你能和大家说说你是怎么思考的吗？【生成预设】先分成三类，第一类是5个基本图形①，第二类是3个基本图形①和1个基本图形②，第三类是1个基本图形①和2个基本图形②，固定有几个基本图形后通过平移得到不同的基本图案。【评估回应】思路很清晰。针对不同的摆放方式，你能用不同的数字排序进行说明吗【生成预设】（1，1，1，1，1）；（2，1，1，1）；（1，2，1，1）；（1，1，2，1）；（1，1，1，2）；（2，2，1）；（2，1，2）；（1，2，2）【评估回应】我们再次将图形的平移与数字的平移相结合【技术运用】板书环节二：发现与猜想教学活动:发现前四组数据间的规律，根据两种规律猜想水平长度为6cm、7cm的图案个数【教师活动】在之前的活动中，我们探究了水平长度分别为2、3、4、5cm对应的不同图案，请将图案个数填写到P38的表格中，观察并小组讨论图案个数的变化规律并猜想水平长度为6cm图案个数。【学生活动】学生小组讨论，并得出猜想【生成预设】生1:后一个与前一个的差逐渐增加：1、2、3…，猜想6cm有12个不同图案生2:一个数等于前两个数的和，猜想6cm有13个不同图案生3:……【评估回应】同学们发现了两种不同的规律，得到了两种不同的猜想，哪一种才是正确的呢？【技术运用】PPT环节三：验证与归纳教学活动一:借助数与形对水平长度为6cm的图案个数进行验证，进而舍去一种猜想【教师活动】同学们发现了两种不同的规律，得到了两种不同的猜想，哪一种才是正确的呢？请同学们根据前面的画图过程，用数字排序的方式验证哪一种猜想是正确的，得到结果后小组内分享结果。【学生活动】学生先自行思考，再组内分享【生成预设】得到6cm有13个不同图案，故生2的猜想是正确的【评估回应】我们通过数的排列得到猜想2是正确的，由猜想2的规律思考一下水平长度为7cm时不同图案的个数是多少呢？【生成预设】有21个不同的图案【评估回应】感兴趣的同学可以课后验证一下水平长度为7cm时不同图案的个数是否为21。像这样按照一定次序排列起来的一列数称为数列，这组数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和，这是著名的斐波那契数列，因数学家莱昂纳多·斐波拉契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，感兴趣的同学可以在课后了解一下【技术运用】PPT教学活动二:由图形解释图案个数与前两个图案个数的关系，推广到后续情况【教师活动】刚刚我们从数与数之间的关系得到了图案的个数是前两个图案个数的和，我们能否从图案中找到这样的规律呢？以水平长度为2cm、3cm和4cm的图案为例进行说明。水平长度由3cm到4cm可以看作在水平长度为3cm的图案上加上一个基本图形①，既可加在左边也可加在右边，故有2×3种情况（用数的排序表示）水平长度由2cm到4cm可以看作在水平长度为2cm的图案上加一个基本图形②或者加两个基本图形①，但是发现在加上一个基本图形①后就与水平长度为3cm的重复，因此只考虑加一个基本图形②的情况，同样既可以加在左边，也可以加在右边，故有2×2种情况（用数的排序表示）观察这些情况，发现其中有多个是重复的，且重复了一半，则水平长度为4cm的图案个数可以表示为12（2×3+2×2）=3+2，即为水平长度为2、3cm的图案个数的和。我们也可以用同样的方式