数分相关十七

§17.31Green

公式(II)一、

Green公式及简单应用二、曲线积分与路径无关性三、二元函数的全微分求积2主要内容D1LBL2A二、曲线积分与路径无关性1.

定义设D是一个区域,

P(

x,

y)和Q(

x,

y)在D内有一阶连续偏导数,

如果对D内任意给定的两点L1

L2Pdx

QdyPdx

Qdy

A和B,都有:L则称曲线积分

Pdx

Qdy在D

内与路径无关.o3x以及D内从A到B的任意两条曲线L1

,L2

,y曲线积分与路径无关的条件定理2

设D是单连通闭区域.

若P(

x,

y)和Q(

x,

y)在D内有一阶连续偏导数,则以下四个条件等价:沿D内任一按段光滑封闭曲线L,有L

Pdx

Qdy

0.在D内L

Pdx

Qdy与路径无关.在D内存在u(x,y),使du

Pdx

Qdy.在D内,P

Q

.y

x4证明:2LABL1(1)

(2)

设L1

,L2

是D内从A到B的任意两条按段光滑曲线,L

Pdx

Qdy

Pdx

Qdy1

L25L1

(

L2

)Pdx

Qdy

0.所以L

Pdx

Qdy

L

Pdx

Qdy.1

2(2)

(3)A(

x0

,

y0

)DB(

x,

y

)B(x,y)为D内任一点,6由(2),曲线积分AB

Pdx

Qdy

与路径无关.故当B(x,y)在D内变动时,积分值是x,y的函数,即:

u(

x,

y)

AB

Pdx

Qdy.下证u(x,y)满足要求.x,

y)

D,C(

x

x,

y

)B(

x,

y

)A(

x0

,

y0

)D取x充分小,使得C(x

则u(

x

x,

y)

u(

x,

y)

AC

Pdx

Qdy

AB

Pdx

Qdy

BC

Pdx

Qdy

BC

Pdx(

dy

0)

xxxP(

x,

y)dx

P(

x

x,

y)

x,

(0

1)根据P(

x,

y)在D上连续,

于是有x7xu

limu

lim

P(

x

x,

y)

P(

x,

y).x0x0y同理

u

Q(

x,

y).

因此

du

Pdx

Qdy.(3)

(4)由(3)

u

P(

x,

y),yu

Q(

x,

y).

xy

,xP(

x,

y)

2

uyQ(

x,

y)

2

ux

yx

.进而由P(x,y)和Q(x,y)在D内有一阶连续偏导数,知

2

u

2

u

P

Qxy

yx

,

所以在D内,

y

x

.8DD

L(4)

(1)LPdx

Qdy

设L为D内任一按段光滑封闭曲线,记

L

围成的区域为D',

由D是单连通闭区域,所以D'

D.

应用Green公式和条件(4),

可知(9D')dxdy

0.Q

Px

y注:

(1)D的单连通性质很重要.L

y

2x

2xdy

ydx

0.不包含原点的单连通区域D内任何封闭曲线L上,当L为绕原点一周的封闭曲线时,x2x2,

Q

y2

y2

y

xP

只能在挖去原点的区域上有定义,

L必含在一个复连通区域内,

此时L10

y

2x

2xdy

ydx

2

.(2)

若第二型曲线积分在D内与路径无关,0

0(

x

,

y

)(

x

,

y

)P(

x,

y)dx

Q(

x,

y)dy积分AB

Pdx

Qdy,也可记为11(3)

定理的两个条件都满足时,才可用.L例

1

计算

(

x2

2

xy)dx

(

x2

y4

)dy

.

其中2L

为由点O(0,0)到点B(1,1)的曲线弧y

sin

x

.解

23

.15xyo11B12故原式01

1042(1

y

)dyx dx

P

2

x

Qy

x在整个平面上成立.L[

f

(

x)

e

x

]sin

ydx

f

(

x)cos

ydy例2

设曲线积分与路径无关,且f有一阶连续导数,f

(0)

0,求f

(x).解

由曲线积分与路径无关,

知y

[(f

(

x)

e

x

)sin

y]

[

f

(

x)cos

y]即xf

'(

x)

f

(

x)

e

x

.2由一阶线性微分方程的通解公式,可得1f

(

x)

e

(

e

C

),

x

2

x1.132e

x

e

x由f

(0)

0,

可知

C

2

,

故

f

(

x)

r

2例3

设质点在力

F

k

(

y,

x)

作用下沿曲线L

:y

cos

x

由A(0,

)移动到B(

,0),求所作功W

.x

22

2

y

2

)

.LAyoB

x2(其中r

解W

L

F

ds2Lrk

(

ydx

x

d

y),令

P

k

y

,

Q

kx

,r

2

r

2(

x

2

y

2

0

)14r

4

y则

x

P

k(

x

2

y

2

)

Q可见:在不含原点的单连通区域内积分与路径无关.LAyoB

x2(

:

0

)取圆弧

AB

:

x

cos

,

y

sin2

2r

2ABW

k

(

y

d

x

x

d

y)

k.2思考:积分路径是否可以取AO

OB

?为什么？15三、全微分方程及其求法1.定义若存在u(x,y),使得du(x,y)

P(x,y)dx

Q(x,y)dy则称P(x,y)dx

Q(x,y)dy

0

为全微分方程.当P(x,y)和Q(x,y)在单连通区域D内有一阶连续偏导数时,全微分方程

P

Q

.y

x16且170

0(

x

,

y

)P(

x,

y)dx

Q(

x,

y)dy在D内存在u(x,y),使du

Pdx

Qdy.u(

x,

y)

AB

Pdx

Qdy,(

x

,

y

)求解方法法(1)

应用曲线积分与路径无关.而在D内曲线积分与路径无关,选用平行于坐标轴的折线作为积分曲线.xyo0

0A(

x

,

y

)0C

(

x,

y

)B(

x,

y)ACB18u(

x,

y)

ACB

Pdx

Qdy,yyxxQ(

x,

y)dyP(

x,

y000)dx

xxyyP(

x,

y)dx000Q(

x

,

y)dy

ADBu(

x,

y)

D(

x0

,

y)例4

y

2x

2验证xdy

ydx

在右半平面(x

0)内是某个,x

2x

y

2,

Q

y令P

函数的全微分,并求之.解可见x

y

2Q

x2

Px

2y2(

x2

y2

)2在右半平面内恒成立,yx

219

y

2在右半平面内xdy

ydx

是某个函数的全微分.因此,取积分路线如右图xyoA(1,0)B(

x,0)C(

x,

y)yxQ(

x,

y)dy01P(

x,0)dx

u(

x,

y)

yx0

y

2x

2020arctan

.xyxyy

dy

[arctan

]（2）不定积分法:由du(x,y)

P(x,y)dx

Q(x,y)dy

知u(

x,

y)

Q(

x,

y)x

yu(

x,

y)

P(

x,

y),令v(x,y)

P(x,y)dx,则u(x,y)

v(x,y)

c(y)y21从v(x,y)

Q(x,y)

c'(y)解出c(y)即得x

u

x

2

x

3

y,3

4

xy

C(

y),4

x3

(

x

2

x

3

y)dx

xy

u

x

C(y),

又u

1

x,

x

C(

y)

1

x,yC(

y)

1,C

(

y)

y,x3

x4原方程的通解为

y

xy

3

4

C

.22例5. (

x2

x3

y)dx

(1

x)dy

0,解y4y

xP

6

x

Q

,是全微分方程将左端重新组合1 2

x

3

x

2y2

dy

(

y3

dx

y4

dy)1

d

(

y

)

d

(

y3

)y3y2

1

x

C

.原方程的通解为1x

2

x2

d

(

y

y3

),y223求方程

dx

dy

0的通解.y3

y42

x

3

x2例6(3)

用直接凑全微分的方法通解.dx1

xdy

x

x

y2

3y

x2

,解1

整理得

dy

1dx

1

xA常数变易法:x3

x4通解为

y

xy

3

4

C

..C1

x对应齐方通解y

1

x设y

C(x).3

4

C

.4

x3C(

x)

x124dxdx

C

],B公式法:y

e[

x

2e1

x1

x

1

dx例5

的其他方法解2整理得(x2

x3

y)dx

(1

x)dy

0,是全微分方程.

P

1

Q

,y

xA用曲线积分法:00yx(1

x)dy,(

x

2

x

3

)dx

u(

x,

y)

x

3

x4B凑微分法:dy

(

xdy

ydx)

x2dx

x3dx

0,dy

d

(

xy)