利用递推公式求通项-高考数学一轮复习举一反三精讲精练

6.3利用递推公式求通项(精讲)(提升版)

条件特征—a导-2凶=f(n)表示含n的式子

a.-a1-&-a】)+⑸-+(«._!-».,,)+(».-a1)

=根据f(n)中与前后项下标的关系写出每个括号的结果

=观察f(n)的特征选择合适的求和方法

=计算化简

思路一注意：记得最后a,进行移项

累

加

法a2-ai

解

题

思

路

求

a—a

通n-ln-2

项

方

法

(1)等式右边根据f(n)中与前后项下标的关系写出等式的结条

(2)现蔡f(n)的特征选择合适的求和方法

(3)计算化角

用路二(4)记得最后可进行移项

现•=f(n)含有n的式子

条件特征”蓟

a-=a„a,_,a,_2工也

*>i».-ia.7a2a,

=根据f(n)中的n与前后项下标的关系列式

=整理化简

号曹注意：将％进行移项

a.=S.-Sll1(n>2,nGN^a,,,,=S,tl-S„(neN,)

公式

前nJ页和与顶、项数的关系

条件特征常见形式、、、、

(1)snn(2)Snan(3)Snnan

求通项相关的：求首项、列两式、作差、化简

有首项，此步略

求首项：

无首项，令II1进行求解

一式含为S.,此式题目已给

列两式:

公一式含有S.」，根据题目的式子把n变n1

式

作茏：将上面两式相减

法

求(1)得到通项公式，检验产1是否满足条件

通

化简：(2)得到等差或等比数列

项

(3)得到数列两项的关系式

看即是否符合n之2时工的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写

S.n=l

否则应写成分段的形式，即a.=:

冲二_______________________________________〔S.—S.THN2__________

解

题

思

求前n项和有关的：将a『Sn-S…代替，化简

路L丐虫—♦n_______________

前n项积与项或项数关系

工且或工立为数列」的前项积)

类比an-(n>2nwN)(nwN*)(1｛an

T.一15

分式：=

解法：两边同时取倒数,即

是以首项工，公差K的等差数列

又

名

模型一倒

数

法

整式：a.-a.T=ka11ali_］或a「a・+i=如.+*.两项相减相乘

解法：两边同时除以乘的部分，即

a_a“«ka_a”,11.1■

—5-----叱」=―匚-n-———=_k=＞,一＞等差数列

a11alita11ali-4111alana11T[a

构aa…kaa_,11,1«

造—s-------n=―A-----------=k=＞〈一卜等差数列

等a11ali+ianan+1anan+1aB+1an[a..

差

模型二

数

列

a.+i=pa_+kp"（p/l/O指数的底数与项数的系数相同）

解法：同时除以p-+i（注意指数的次数是由后一项的下标决定）

即^=旦+型.+上

1_n+1->11_n*l—11.n_

pppppp

是首项外，公差是区的等差数列

IPJPP

模型三

通项特征：两项放两边，系数则不同，相差常数项.形如a.jpajk

解题思路：特定系数法

(1)设方程：设af+4=p(a„+A)

s

(2)移项解：a..[=pa。+p%—4令p4—1AM解4

a+

(3)为代入：将水入(1)中，再移项上匕可，构成等比数列值+处

模a(j+2

型

通项特征：两项放两边，系数则不同，相差一次函数.形如adpa/kn+b

解题思路：待定系数法

(1)设方程：设an.[+W)+dFp(an+^i+a)

fpA-A=Ar

构(2)移项解：an,,-pan+(pA-A)/i+pa-att4?<解得肝力

(pa—a—Z=b

造

等(3)入b代入：将冰入(1)移项a"，+l"+l)+a=p,构成等比数列{a.+R,+a}

比模

矍

数

列

通项特征：两项放两边，系数不同，相差指数函数且底数与项的系数不同.形如a.,干ajkb”

解题思路：待定系数法

(1)设方程：设a㈤+犷4(a.+AA")

(2)移项解：a..ipaj(p-b)/lb",令。-。)2=施工

(3)4代入：将;I代入(1)中，再移项干事二?构成等比数列{aj九)"}

模

矍

考点呈呢

考点一累加法倒数法

考点四构造等差数列

考点二累乘法通项

考点五构造等比数列

考点三公式法

例题剖析

考点一累加法

【例1-1］（2022.河南.灵宝市）已知数列｛为｝满足署q=M"+i）（〃eN"）,且q=l,求

数列｛《,｝的通项公式;

【例1-2］（2022•江苏江苏•一模）已知数列卜，“｝,4=1,且+，neN\求

数列｛4｝的通项公式

【一隅三反】

1.（2022.广东）数列｛"/满足4=2,an+i=4+2〃+2,则a。=/

2.（2022.广东）在数列｛a｝中，若国=-2,加=&+4・2",则区=o

3.已知数列｛%｝中，4=0,an+i=«„+logJ1+^-yL则数列｛a“｝的一个通项公式

考点二累乘法

【例2】（2022•全国•模拟预测（理））已知数列｛叫满足q=g,2（〃-1）4-加*=0.求数列

｛4｝的通项公式；

【一隅三反】

1.（2022.安徽安庆）己知数列｛凡｝的前〃项和为5“，且满足5“=（〃+1）&-3,〃eN+.求应｝

的通项公式；

2.（2022•全国•专题练习）设｛q｝是首项为1的正项数列且

+（〃+1）。；-（2"+=0（/?eN'）,求数列｛<?„｝的通项公式.

4.（2021・全国•专题练习）设｛q｝是首项为1的正项数列，且

22

5+2）a„+1-nan+2an^an=0（〃eN*）,求通项公式an.=

考点三公式法

【例3-1】（2022・四川）数歹ij｛4｝的前"项和S“=3/-2〃+l,则它的通项公式是.

【例3-2】（2022.安徽宿州）己知数列｛4｝的前〃项和为S“，且%+S“=2（〃GN+）,则也｝

的通项公式为4,=.

【例3-3].（2022•北京交通大学附属中学）已知数列风｝满足4+4+…+a“=〃2+〃（〃eN）,

则4,=.

【例3-4].（2022.山西太原•二模（文））已知数列｛4｝的首项为1,前〃项和为S“，且

〃S“M=（〃+2）S“，贝IJ数歹U｛4｝的通项公式4,=.

【一隅三反】

1.（2022・湖北）数列｛《,｝中，已知岳=1,52=2且5角+2$；1_1=35“（”22且“eNQ,贝ij

此数列｛q｝的通项公式为.

2.（2022•全国•专题练习）（多选）在数列｛%｝中，其前〃的和是5“，下面正确的是（）

A.若S“=2"2-3〃+4,则其通项公式。“=4〃-5

B.若4=2,q,+|=a“+”+l,则其通项公式％=；（〃2+〃+2）

C.若6=2,叫用=（”+1）/，则其通项公式=2”

D.若的=1，2s"=〃”“，则其通项公式为="-1

3.（2022.全国•高三专题练习）（多选）在数列｛«„｝中，其前〃的和是S”,下面正确的是（）

A.若。向-。”=2,%=1,则S"="2

B.若q,=〃x2",贝！］S“=（〃-l）x2"*'+2

C.^a„=l+2+22+23+...+2n-1,则S“=2"i-〃-2

D.若，且S“=〃2a“，则

23〃+1

考点四构造等差数列

【例4-1］（2022•四川省绵阳南山中学）已知数列｛%｝满足4=1,（〃eM），

则满足％>《的〃的最大取值为（）

A.7B.8C.9D.10

【例4-2］（2022•广东肇庆•二模）已知5,是数列｛例｝的前〃项和，4=1,

aa/7+1

n-„+｝=（）«„,«„+!>S.<A恒成立，则k最小为.

【例4-3］（2021•江西）已知数列｛%｝满足：«,=1,an=2an_,+T-'(〃之2,neN),贝ij。”=

【一隅三反】

1.（2022.全国•高三专题练习）已知数列｛%｝满足也+幺"=2+”向，且q=1,凡=：，则｛%｝

an+2an3

的通项公式/=.

2.（2022•全国•高三专题练习）已知数列｛q｝满足4=1,且％=卜,一+［；）（n>2）,则数

列｛%｝的通项公式可=.

3.（2022•全国•课时练习）已知数列｛%｝中，q=3,%=3a“+2x3"+1〃€N*,求数列｛总的

通项公式；

4.（2022・全国•高三专题练习）已知数列｛4｝中，”2=g，%=〃向+244+1.求数列的

通项公式；

5.（2022•全国•高三专题练习）已知数列｛。"｝中，％=1,“e=3勺+3",求数列｛《,｝的通项

公式.___________

考点五构造等比数列

【例5・1】（2022•全国•高三专题练习）已知〃〃+1=2〃〃-1,4=3,则〃〃=.

【例5・2】（2022•全国•高三专题练习）已知在数列｛4｝中，4磊%=$〃+（；,，贝也=

（）

A3223八12、21

A.------BD.------C.------D.------

2〃3“3〃TT3〃3"X

【例5-3］（2022•全国•课时练习）已知数列｛可｝满足q=g,《用=3a“—4〃+2（〃eN）数

歹支4｝满足包=%-2〃，则数列出｝的通项公式为.

【一隅三反】

1.（2022•福建省）已知数列｛q｝满足4=1,《川=泰丁（〃€^）,则的前〃项和为

2.（2022•山西师范大学实验中学）已知数列｛4｝满足2。的=64+7,弓=1,则q=

3.（2022.全国•高三专题练习）若正项数列｛4｝满足q=2,a*=4片+4/+1,则数列｛4｝的

通项公式是.

3a=__3_。“"

4.（2022•黑龙江•龙江县第一中学）已知数列｛4｝的通项公式为一?，""2凡+1求数列

｛叫的通项公式.

6.3利用递推公式求通项(精讲)(提升版)

条件特征—a导-2凶=f(n)表示含n的式子

a.-a1-&-a】)+⑸-+(«._!-».,,)+(».-a1)

=根据f(n)中与前后项下标的关系写出每个括号的结果

=观察f(n)的特征选择合适的求和方法

=计算化简

思路一注意：记得最后a,进行移项

累

加

法a2-ai

解

题

思

路

求

a—a

通n-ln-2

项

方

法

(1)等式右边根据f(n)中与前后项下标的关系写出等式的结条

(2)现蔡f(n)的特征选择合适的求和方法

(3)计算化角

用路二(4)记得最后可进行移项

现•=f(n)含有n的式子

条件特征”蓟

a-=a„a,_,a,_2工也

*>i».-ia.7a2a,

=根据f(n)中的n与前后项下标的关系列式

=整理化简

号曹注意：将％进行移项

a.=S.-Sll1(n>2,nGN^a,,,,=S,tl-S„(neN,)

公式

前nJ页和与顶、项数的关系

条件特征常见形式、、、、

(1)snn(2)Snan(3)Snnan

求通项相关的：求首项、列两式、作差、化简

有首项，此步略

求首项：

无首项，令II1进行求解

一式含为S.,此式题目已给

列两式:

公一式含有S.」，根据题目的式子把n变n1

式

作茏：将上面两式相减

法

求(1)得到通项公式，检验产1是否满足条件

通

化简：(2)得到等差或等比数列

项

(3)得到数列两项的关系式

看即是否符合n之2时工的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写

S.n=l

否则应写成分段的形式，即a.=:

冲二_______________________________________〔S.—S.THN2__________

解

题

思

求前n项和有关的：将a『Sn-S…代替，化简

路L丐虫—♦n_______________

前n项积与项或项数关系

工且或工立为数列」的前项积)

类比an-(n>2nwN)(nwN*)(1｛an

T.一15

分式：=

解法：两边同时取倒数,即

是以首项工，公差K的等差数列

又

名

模型一倒

数

法

整式：a.-a.T=ka11ali_］或a「a・+i=如.+*.两项相减相乘

解法：两边同时除以乘的部分，即

a_a“«ka_a”,11.1■

—5-----叱」=―匚-n-———=_k=＞,一＞等差数列

a11alita11ali-4111alana11T[a

构aa…kaa_,11,1«

造—s-------n=―A-----------=k=＞〈一卜等差数列

等a11ali+ianan+1anan+1aB+1an[a..

差

模型二

数

列

a.+i=pa_+kp"（p/l/O指数的底数与项数的系数相同）

解法：同时除以p-+i（注意指数的次数是由后一项的下标决定）

即^=旦+型.+上

1_n+1->11_n*l—11.n_

pppppp

是首项外，公差是区的等差数列

IPJPP

模型三

通项特征：两项放两边，系数则不同，相差常数项.形如a.jpajk

解题思路：特定系数法

(1)设方程：设af+4=p(a„+A)

s

(2)移项解：a..[=pa。+p%—4令p4—1AM解4

a+

(3)为代入：将水入(1)中，再移项上匕可，构成等比数列值+处

模a(j+2

型

通项特征：两项放两边，系数则不同，相差一次函数.形如adpa/kn+b

解题思路：待定系数法

(1)设方程：设an.[+W)+dFp(an+^i+a)

fpA-A=Ar

构(2)移项解：an,,-pan+(pA-A)/i+pa-att4?<解得肝力

(pa—a—Z=b

造

等(3)入b代入：将冰入(1)移项a"，+l"+l)+a=p,构成等比数列{a.+R,+a}

比模

矍

数

列

通项特征：两项放两边，系数不同，相差指数函数且底数与项的系数不同.形如a.,干ajkb”

解题思路：待定系数法

(1)设方程：设a㈤+犷4(a.+AA")

(2)移项解：a..ipaj(p-b)/lb",令。-。)2=施工

(3)4代入：将;I代入(1)中，再移项干事二?构成等比数列{aj九)"}

模

矍

考点呈呢

考点一累加法倒数法

考点四构造等差数列

考点二累乘法通项

考点五构造等比数列

考点三公式法

例题剖析

考点一累加法

【例1-1]（2022.河南.灵宝市）已知数列｛%｝满足缶一?=M"+i）（〃eN*）,且q=l,求

数列｛《,｝的通项公式；

【答案】a„=2n-l

【解析】因为碧一+=导百=：一二7,所以幺一宅=一一」（"之2）,

―」---L,..竺一幺=」，所以%f=」（〃*2）.

n-1n-2n-2n-\212nny7

又q=l,所以&=生二1,所以4=2〃-1（〃22）.乂q=l,也符合上式，所以为=2〃-1.

nn

【例1-2】（2022•江苏江苏•一模）已知数列｛q｝,%=1,且。向=1-〃（〃]）,weN”，求

数列｛4｝的通项公式

【答案】a„=-

n

1111

【解析】因为析+i=4_/[、,所有。一~厂二=-一一,

小〃+1）〃（〃+1）〃+1n

w…1111

I〃22时，—4=不一：，ci%—a^»

-21-32

相加得见-%=[-；，所以4=:,当〃=1时，4=1也符合上式，所以数列｛%｝的通项公

一

式。〃=_1

n

【一隅三反】

1.（2022.广东）数列｛"/满足4=2,a.=%+2〃+2,则a。=-

【答案】（4、

【解析】•・•%+]=。〃+2"+2,.・.4+]-q=2（几+1）,则当2时，。〃一。〃_]=2〃，

〃（2+2〃）

1.=q+（生—%）+（43—〃2）+■,,+（%—〃〃一।）=2+2x2+2x3+・・・+2〃=

2

.（2022.广东）在数列｛a｝中，若包=-2,%1=a+〃,2",则a=

【答案】（〃-2"2"

n

【解析】Va„+i=an+n•2,/.an+1-a„=n*2",且a尸"2

...+-ai=3n-an-i+an-1-4-2+…+@2-&i=(ri-1)•2"：+…+2•2、1•21①

n132

：.2(an-a1)=(n-1A2“+(n-2)-2*+-+2*2+l*2,②

①一①得-(an-aj=-(n-l)-2n+2n-,+2n'2+-+23+22+2

(-―i)

(n-l)«2n-2+2",

1-2

nn

atl-ai=(n-1)*2+2-2,所以a“=(n-2)*2,

2

3.已知数列｛4｝中，q=o,4+i=«„+iog1+，则数列｛%｝的一个通项公式

22/1-1

为.

[解析】因为。“+1=a+log,|1+—^―i2n+l

n则可「。“=+1暇罚

I2〃一1

由递推公式可得

,2〃一1

=log2—

,2〃一3

%W-2=10g2G

,2n-5

—总市7

,7

=Sg2M

,5

%-4=1暇§

,3

a2-a,=log2y

将等式两边分别相加可得

,2n-\[2〃-3i2〃一5171513八

—盛不^+晦不不汨+|°町+隰力=。

所以由对数运算可得

2/1—12〃-32〃一5753-八

an=|0§2xx…xMx]xf尸隰(2〃T)

2〃-32〃-52〃-7

考点二累乘法

【例2】（2022•全国•模拟预测（理））已知数列｛%｝满足q=g,25-l）a“-w,i=0.求数列

｛4｝的通项公式；

/、7X4”1〃

【解析】当时，2(〃-1)&-〃a〃_]=0,则2(〃-即^—=--^j,

.4....%.......。.3..。.2.〃CI,——

«„-1«„-2«2«1

"r'

【一隅三反】

1.（2022•安徽安庆）已知数列｛%｝的前w项和为S,,,且满足5„=（»+1）2«„-3,neN..求㈤｝

的通项公式；

a

【答案】«=(n+1)(n+2)'

【解析】"=1时，q=4q-3,解得q=l.

当"22,"wN,时,S,T=”2%-3,故an=S'—S“T=("+l)Z-〃&_],所以W=

n77-132

-Hra=—2_._iizL...­£..a=----------------]=-----------

""an-\an-2a2U\'〃+2〃+l54(〃+l)(〃+2)，

,、6

4符合上式故｛a,,)的通项公式为4=(〃+])(“+2),«eN+.

2.(2022•全国•专题练习)设｛a〃｝是首项为1的正项数列且

〃*i+(〃+l)a：-(2〃+l)a,a"+I=0(”eN"),求数列｛q｝的通项公式.

【答案】%=1或

【解析】依题意4=1,"端+|+(〃+l)a：-(2〃+l)a“a“+|=()(“©N")

所以(%-a”)[s+i-(〃+1)""]=0，

当“"+|—”"=°时，an+\=an>所以“"=L

当"4用一("+1)4=。时，—==

''a„nan_tn-\

nn-132

••••••]zz:〃,

n-1n-221

%也符合上式.

所以4=〃(〃eN)

综上所述，=1或4=〃.

4.（2021•全国・专题练习）设｛a,,｝是首项为1的正项数列，且

2

(n+2)a„tl-na^+2a„+la„=0(neTV"),求通项公式《,.=

【答案】〃"=就

【解析】由。7+2)〃3—+21%=0(〃wN"),得[(九+2)。向一〃q』(a“+|+。〃)=0,

晒_鹿

4,>0,/.an+,+an>0,(n+2)%-=0,

an〃+2'

%=q上马.且..…2=ixL2x3x…XGXT=_J_(〃22),

〃axa2%a345nn+\n(/i+l)

2

又卬=1满足上式，...4=诉1r

考点三公式法

【例3-1］（2022・四川）数列｛%｝的前〃项和S“=3/-2N+1,则它的通项公式是

2,〃=1

【答案】4=

6/1-5,77>2

2

【解析】当〃=1时，al=Sl=3xl-2xl+l=2,

22

当〃22时，«„=\-5„_1=(3n-2n+l)-[3(n-l)-2(«-l)+l]=6/i-5

2,n=12,n=l

经检验当〃=1时不符合，所以。“=故答案为：”

6n-5,n>2

【例3-2］（2022•安徽宿州）己知数列｛%｝的前〃项和为S“，且a“+S“=2（〃wN）则｛q｝

的通项公式为凡

【答案】（丁

【解析】当〃=1时，q+S［=2,得4=1,

当〃22时，由a“+S“=2(〃eN+),得%+5,一=2,所以a“+S“-a“_1-5,-=0,所以

2《-%=0,所以&-=3,

an-x2

所以数列｛q｝是以1为首项，T为公比的等比数列，所以,故答案为：

【例3-3].(2022.北京交通大学附属中学)已知数列｛4｝满足4+々+…+%=〃2+〃(〃€N)

则册=

【答案】2〃

【解析】因为4+a2T----Ia”=I+为1),所以当“z2时，有4+%4-----卜a”-=(1—1)~+〃—1(2),

(1)-(2),得a“=2〃，当〃=1时，q=2也适合a,,=2〃，故答案为：2〃

【例3-4].(2022.山西太原•二模(文))已知数列｛4｝的首项为1,前〃项和为S,,且

〃S,向=(〃+2)S“，则数列｛4｝的通项公式%=.

【答案】n

【解析】：〃S,“=(〃+2)S„，，怦S=匚+2

s〃s〃_]…X邑xS],n+1nn-\n-26543,

当必N2时,S”=----------X------------X=------X-------X-------X-------X---X—x—x—x—xl

S“-1S”一25,n—\n-2n-3n-44321

―_2-一

当〃=1时，S|=^^=l=q成立，,S“=1),

〜、”」.ccn(«+l)(«-!)«

l«^2U-J,a„=S„-Sn_,=--------------=n,

当”=1时,4=1满足上式，.••勺=〃.故答案为：n

【一隅三反】

1.(2022・湖北)数列｛%｝中，已知H=l,邑=2且5向+257=35“(”22且“GNQ,则

此数列｛%｝的通项公式为.

【答案】.，小9已〃22'"GM

【解析】由％=5=1,$2=2得：a2=S2-at=l

・.•S.M+2S“T=3S,,且〃€2)

「

，S,+LS,=2(S,S,T)(〃22且〃eN+)即。,用=2勺(n>2fineN+)

•••数列｛%｝是第二项起公比为2的等比数列，

2

a„=2'-(«>2JiHeN+)又；”=1不满足上式,

a\

1，〃=1.

，neN

2'-2,n>2

2.(2022・全国•专题练习)(多选)在数列也｝中，其前〃的和是S“，下面正确的是()

A.若5"=2”2-3〃+4,则其通项公式q=4〃-5

B.若4=2,“1=q,+〃+l,则其通项公式4=；(/+〃+2)

C.若4=2,也用=(〃+1)。”,则其通项公式%=2〃

D.若〃2=1，2S〃=na〃，则其通项公式4=〃一1

【答案】BCD

【解析】A：〃=1时，q=，=2—3+4=3,当〃之2时，

22

-Sw_,=2/?-3n-2(/7-1)+3(«-1)=4n-5,而404xl—5=-l,故错误；

B：由题设，生=4+2,。3=%+3,。4=%+4,%=々4+5,…，则

小c,、八(7?+2)(/7-1)〃？+〃+2ML

an=4+(2+3+4+...+〃)=24----------------=------------,故正确；

C：由题设，乌个=%，而?=2,则”=2,即凡=2〃，故正确；

n+\n1n

D：假设为=〃-1成立，当〃=1时，4=5=?，即4=0=1-1成立；

若之2时，以=k-1成立,贝ij〃=攵+1时，

_(k+1)%.一履女_(4+1)可用一k(k-1)

ak+\—°JI+I_-2―2'

此时(々-l)a*+i=%(无-1),则4句=上也成立，故正确.故选:BCD

3.(2022•全国•高三专题练习)(多选)在数列｛q｝中，其前”的和是S“，下面正确的是()

A.若。向-““=2,4=1,则5“=/

B.若q,="x2",贝!]S"=("-l)x2"\2

C.^a„=l+2+22+23+...+2"-',则S'=2向一〃一2

1、717

D.若4=不，且S"="2a"，则S”=^~-

23〃+1

【答案】ABC

【解析】A：由题设，｛q｝是首项为1,公差为2的等差数列，则

,2T-,-Zz.

Sn=nax+——--d=〃+〃(〃-1)=〃,正确；