重庆第一中学2022-2023学年数学高一下期末质量检测模拟试题含解析

2022-2023学年高一下数学期末模拟试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A． B． C． D．2．在中，角所对的边分别为，若，，，则等于（）A．4 B． C． D．3．（）A．0 B．1 C．-1 D．24．在，内角所对的边分别为，且，则（）A． B． C． D．15．已知点A（﹣1，0），B（1，0），C（0，1），直线y＝ax+b（a＞0）将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是（）A．（0，1） B． C． D．6．等差数列的前项和为，若，则（）A．27 B．36 C．45 D．547．记复数的虚部为，已知满足，则为（）A． B． C．2 D．8．矩形ABCD中，，，则实数（）A．-16 B．-6 C．4 D．9．下列结论中错误的是（）A．若，则 B．函数的最小值为2C．函数的最小值为2 D．若，则函数10．若变量满足约束条件则的最小值等于（）A． B． C． D．2二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．一艘轮船按照北偏西30°的方向以每小时21海里的速度航行，一个灯塔M原来在轮船的北偏东30°的方向，经过40分钟后，测得灯塔在轮船的北偏东75°的方向，则灯塔和轮船原来的距离是_____海里．12．已知无穷等比数列的所有项的和为，则首项的取值范围为_____________.13．设为三条不同的直线，为两个不同的平面，给出下列四个判断:①若则；②若是在内的射影，，则；③底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；④若球的表面积扩大为原来的16倍，则球的体积扩大为原来的32倍；其中正确的为___________.14．在△ABC中，若a2＝b2＋bc＋c2，则A＝________.15．已知变量，满足，则的最小值为________.16．如图，在四面体A－BCD中，已知棱AC的长为，其余各棱长都为1，则二面角A－CD－B的平面角的余弦值为________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．智能手机的出现，改变了我们的生活,同时也占用了我们大量的学习时间.某市教育机构从名手机使用者中随机抽取名，得到每天使用手机时间(单位：分钟)的频率分布直方图(如图所示),其分组是:，.（1）根据频率分布直方图，估计这名手机使用者中使用时间的中位数是多少分钟?(精确到整数)（2）估计手机使用者平均每天使用手机多少分钟?(同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)（3）在抽取的名手机使用者中在和中按比例分别抽取人和人组成研究小组，然后再从研究小组中选出名组长.求这名组长分别选自和的概率是多少？18．已知.（1）求的值；（2）若为第二象限角，且角终边在上，求的值.19．如图，在平面四边形ABCD中，，，，.（1）若点E为边CD上的动点，求的最小值；（2）若，，，求的值.20．已知．（1）化简；（2）若是第二象限角，且，求的值．21．已知函数(1)求的最小正周期；(2)求的单调增区间；(3)若求函数的值域．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解析】

先还原几何体，再根据形状求表面积.【详解】由三视图知，该几何体的直观图如图所示，其表面积为，故选.【点睛】本题考查三视图以及几何体表面积，考查空间想象能力以及基本求解能力，属中档题.2、B【解析】

根据正弦定理，代入数据即可。【详解】由正弦定理，得：，即，即：解得：选B。【点睛】此题考查正弦定理：，代入数据即可，属于基础题目。3、A【解析】

直接利用三角函数的诱导公式化简求值．【详解】sin210°＝sin（180°+30°）+cos60°＝﹣sin30°+cos60°．故选A．【点睛】本题考查利用诱导公式化简求值，是基础的计算题．4、C【解析】

直接利用余弦定理求解.【详解】由余弦定理得.故选C【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.5、B【解析】

先求得直线y＝ax+b（a＞0）与x轴的交点为M（，0），由0可得点M在射线OA上．求出直线和BC的交点N的坐标，①若点M和点A重合，求得b；②若点M在点O和点A之间，求得b；③若点M在点A的左侧，求得b＞1．再把以上得到的三个b的范围取并集，可得结果．【详解】由题意可得，三角形ABC的面积为1，由于直线y＝ax+b（a＞0）与x轴的交点为M（，0），由直线y＝ax+b（a＞0）将△ABC分割为面积相等的两部分，可得b＞0，故0，故点M在射线OA上．设直线y＝ax+b和BC的交点为N，则由可得点N的坐标为（，）．①若点M和点A重合，如图：则点N为线段BC的中点，故N（，），把A、N两点的坐标代入直线y＝ax+b，求得a＝b．②若点M在点O和点A之间，如图：此时b，点N在点B和点C之间，由题意可得三角形NMB的面积等于，即，即，可得a0，求得b，故有b．③若点M在点A的左侧，则b，由点M的横坐标1，求得b＞a．设直线y＝ax+b和AC的交点为P，则由求得点P的坐标为（，），此时，由题意可得，三角形CPN的面积等于，即•（1﹣b）•|xN﹣xP|，即（1﹣b）•||，化简可得2（1﹣b）2＝|a2﹣1|．由于此时b＞a＞0，0＜a＜1，∴2（1﹣b）2＝|a2﹣1|＝1﹣a2．两边开方可得（1﹣b）1，∴1﹣b，化简可得b＞1，故有1b．综上可得b的取值范围应是，故选B．【点睛】本题主要考查确定直线的要素，点到直线的距离公式以及三角形的面积公式的应用，还考查了运算能力以及综合分析能力，分类讨论思想，属于难题．6、B【解析】

利用等差数列的性质进行化简，由此求得的值.【详解】依题意，所以，故选B.【点睛】本小题主要考查等差数列的性质，考查等差数列前项和公式，属于基础题.7、A【解析】

根据复数除法运算求得，从而可得虚部.【详解】由得：本题正确选项：【点睛】本题考查复数虚部的求解问题，关键是通过复数除法运算得到的形式.8、B【解析】

根据题意即可得出，从而得出，进行数量积的坐标运算即可求出实数．【详解】据题意知，,,．故选：．【点睛】考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算,属于容易题．9、B【解析】

根据均值不等式成立的条件逐项分析即可.【详解】对于A，由知，，所以，故选项A本身正确；对于B，，但由于在时不可能成立，所以不等式中的“”实际上取不到，故选项B本身错误；对于C，因为，当且仅当，即时，等号成立，故选项C本身正确；对于D，由知，，所以lnx+=-2，故选项D本身正确.故选B.【点睛】本题主要考查了均值不等式及不等式取等号的条件，属于中档题.10、A【解析】

由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．【详解】解：由变量x，y满足约束条件作出可行域如图，由图可知，最优解为A，联立，解得A（﹣1，）．∴z＝2x﹣y的最小值为2×（﹣1）．故选A．【点睛】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

画出示意图，利用正弦定理求解即可.【详解】如图所示：为灯塔，为轮船，，则在中有：，且海里，则解得：海里.【点睛】本题考查解三角形的实际应用，难度较易.关键是能通过题意将航海问题的示意图画出，然后选用正余弦定理去分析问题.12、【解析】

设等比数列的公比为，根据题意得出或，根据无穷等比数列的和得出与所满足的关系式，由此可求出实数的取值范围.【详解】设等比数列的公比为，根据题意得出或，由于无穷等比数列的所有项的和为，则，.当时，则，此时，；当时，则，此时，.因此，首项的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题考查利用无穷等比数列的和求首项的取值范围，解题的关键就是结合题意得出首项和公比的关系式，利用不等式的性质或函数的单调性来求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.13、①②【解析】

对四个命题分别进行判断即可得到结论【详解】①若，垂足为，与确定平面，，则，，则，，则，故，故正确②若，是在内的射影，，根据三垂线定理，可得，故正确③底面是等边三角形，侧面都是有公共顶点的等腰三角形的三棱锥是正三棱锥，故不正确④若球的表面积扩大为原来的倍，则半径扩大为原来的倍，则球的体积扩大为原来的倍，故不正确其中正确的为①②【点睛】本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系、球的体积等知识点，数量掌握各知识点然后对其进行判断，较为基础。14、120°【解析】∵a2＝b2＋bc＋c2，∴b2＋c2－a2＝－bc，∴cosA＝＝＝－，又∵A为△ABC的内角，∴A＝120°故答案为：120°15、0【解析】

画出可行域，分析目标函数得，当在y轴上截距最小时，即可求出的最小值.【详解】作出可行域如图：联立得化目标函数为，由图可知，当直线过点时，在y轴上的截距最小,有最小值为，故填.【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，属于中档题.16、【解析】如图，取中点，中点，连接，由题可知，边长均为1，则，中，，则，得，所以二面角的平面角即，在中，，则，所以．点睛：本题采用几何法去找二面角，再进行求解．利用二面角的定义：公共边上任取一点，在两个面内分别作公共边的垂线，两垂线的夹角就是二面角的平面角，找到二面角的平面角，再求出对应三角形的三边，利用余弦定理求解（本题中刚好为直角三角形）．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)分钟.(2)58分钟；(3)【解析】

（1）根据中位数将频率二等分可直接求得结果；（2）每组数据中间值与对应小矩形的面积乘积的总和即为平均数；（3）采用列举法分别列出所有基本事件和符合题意的基本事件，根据古典概型概率公式求得结果.【详解】（1）设中位数为，则解得：（分钟）这名手机使用者中使用时间的中位数是分钟（2）平均每天使用手机时间为：（分钟）即手机使用者平均每天使用手机时间为分钟（3）设在内抽取的两人分别为，在内抽取的三人分别为，则从五人中选出两人共有以下种情况：两名组长分别选自和的共有以下种情况：所求概率【点睛】本题考查根据频率分布直方图计算平均数和中位数、古典概型概率问题的求解；关键是能够明确平均数和中位数的估算原理，从而计算得到结果；解决古典概型的常用方法为列举法，属于常考题型.18、（1）；（2）【解析】

(1)先根据诱导公式将原式子化简，再将已知条件中的表达式平方，可得到结果；（2）原式子可化简为，由已知条件可得到，再由第一问中得到，结合第一问中的条件可得到结果.【详解】（1）=已知,将式子两边平方可得到（2）为第二象限角，且角终边在上，则根据三角函数的定义得到原式化简等于由第一问得到将已知条件均代入可得到原式等于.【点睛】三角函数求值与化简必会的三种方法(1)弦切互化法:主要利用公式tanα=;形如,asin2x+bsinxcosx+ccos2x等类型可进行弦化切.(2)“1”的灵活代换法:1=sin2θ+cos2θ=(sinθ+cosθ)2-2sinθcosθ=tan等.(3)和积转换法:利用(sinθ±cosθ)2=1±2sinθcosθ,(sinθ+cosθ)2+(sinθ-cosθ)2=2的关系进行变形、转化.19、（1）；（2）【解析】

（1）建立平面直角坐标系，将范围问题转化为函数的最值问题，进而求解函数的最值即可；（2）根据、两点的位置，可以写出对应的坐标，从而在直角三角形中求得的正余弦，进而用余弦的和角公式进行求解.【详解】（1）设AC，BD相交于O，由于，所以，所以，因此，以DB所在的直线为x轴，以AC所在的直线为y轴建立平面直角坐标系如下图所示：故，，，.因为直线CD的方程为，所以可设.所以，.所以，当时，最小为.（2）因为，，所以，.因此，，.所以，.所以，.【点睛】本题考查利用向量解决几何问题，涉及范围问题的求解，属经典好题.20、（1）（2）【解析】

（1）利用三角函数的诱导公式即可求解.（2）利用诱导公式可得，再利用同角三角函数的基本关