2022-2023学年湖南省娄底市槎溪乡槎溪中学高三数学文月考试卷含解析

2022-2023学年湖南省娄底市槎溪乡槎溪中学高三数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若为两个单位向量，且?（+）=，记的夹角为θ，则函数y=sin（θ?x+）的最小正周期为（

）A．8 B．6 C．4 D．2参考答案：【知识点】平面向量数量积的运算；三角函数的周期性及其求法．F3

C4【答案解析】B

解析：∵，为两个单位向量，且?（+）=，∴==1+cosθ，∴cosθ=．∴．∴函数y=sin（θ?x+）=的最小正周期T==6．故选：B．【思路点拨】利用数量积运算性质、三角函数的周期性即可得出．2.设函数其中表示不超过的最大整数，如=-2，=1，=1，若直线y=与函数y=的图象恰有三个不同的交点，则的取值范围是

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D3.函数的最小正周期是（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：B略4.已知函数是偶函数，且，，则（

）A．－1

B．－5

C．1

D．5

参考答案：C5.陀螺是汉族民间最早的娱乐工具之一，也作陀罗，闽南语称作“干乐”，北方叫作“冰尜”或“打老牛”.陀螺的主体形状一般是由上面部分的圆柱和下面部分的圆锥组成，从前的制作材料多为木头，现代多为塑料或铁制，玩耍时可用绳子缠绕用力抽绳，使其直立旋转；或利用发条的弹力使其旋转，下图画出的是某陀螺模型的三视图，已知网络纸中小正方形的边长为1，则该陀螺模型的体积为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：B依题意，该陀螺模型由一个四棱锥、一个圆柱以及一个圆锥拼接而成，故所求几何体的体积，故选B.6.已知在等比数列{an}中，a1=1，a5=9，则a3=（）A．±5 B．5 C．±3 D．3参考答案：D【考点】等比数列的通项公式．【分析】设公比为q，由等比数列的通项公式可得a5=a1q4，由此求出q2的值，再由a3=a1q2求得结果．【解答】解：设公比为q，由等比数列的通项公式可得a5=a1q4，即9=1?q4，解得q2=3，∴a3=a1q2=3，故选D．7.已知函数f（x）=，若f（a）=0，则实数a的值等于(

)A．﹣3 B．1 C．﹣3或1 D．﹣1或3参考答案：C【考点】分段函数的应用．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】利用分段函数，建立方程，即可求出实数a的值．【解答】解：当a＞0时，f（a）=lga=0，∴a=1；当a≤0时，f（a）=a+3=0，∴a=﹣3，综上，a=1或﹣3．故选：C．【点评】本题考查分段函数的应用，考查学生的计算能力，比较基础．8.若定义在R上的偶函数满足且时，，则方程的零点个数是（

）A．2个

B．3个

C．4个

D．5个参考答案：C因为数满足，所以周期当时，，且f(x)为偶函数，所以函数图像如下图所示由图像可知，方程有四个零点所以选C

9.在中，，若为锐角，则实数的取值范围是(

)A．

B．

C．

D．参考答案：D略10.已知向量=(x,y),=(-1,2)，且+=（1，3），则

等于(

)A．

B.

C.

D.参考答案：【知识点】平面向量的坐标运算；向量的模.F2【答案解析】C解析：=（+）﹣=（1，3）﹣（﹣1，2）=（2，1），||==故选C.【思路点拨】利用向量差的坐标表示，求出=（x，y），再由||=计算即可．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知e1、e2是两个不共线的向量，a=k2e1+(k)e2和b=2e1+3e2是两个共线向量，则实数k=

．参考答案：答案：或12.等比数列{an}的公比大于1，a5﹣a1=15，a4﹣a2=6，则a3=

．参考答案：4【考点】等比数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】根据等比数列的通项公式为an=a1qn﹣1求出a1和q得到通项公式即可求出a3．【解答】解：∵等比数列的通项公式为an=a1qn﹣1由a5﹣a1=15，a4﹣a2=6得：a1q4﹣a1=15，a1q3﹣a1q=6解得：q=2或q=则a3=a1q2=4或﹣4∵等比数列{an}的公比大于1，则a3=a1q2=4故答案为4【点评】考查学生利用等比数列性质的能力．13.设为等差数列的前项和，若，，则的值为

．参考答案：14.设曲线在点处的切线为，曲线在点处的切线为，若存在，使得，则实数的取值范围是

．参考答案：15.等比数列{an}中，若a1=﹣2，a5=﹣4，则a3=．参考答案：【考点】88：等比数列的通项公式．【分析】由题意，{an}是等比数列，a1=﹣2，设出公比q，表示出a5=﹣4，建立关系，求q，可得a3的值【解答】解：由题意，{an}是等比数列，a1=﹣2，设公比为q，∵a5=﹣4，即﹣2×q4=﹣4，可得：q4=2，则那么a3=故答案为．【点评】本题考查等比数列的第3项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用16.过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A,B两点，点O是坐标原点，则的最小值是

▲

.参考答案：略17.△ABC中，BC=8，AC=5，三角形面积为12，则cos2C的值为.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知数列中，．（Ⅰ）求证：数列是等比数列；（Ⅱ）求数列的通项公式；（Ⅲ）设，若，使成立，求实数的取值范围．参考答案：（1）略（2）（3）试题分析：（Ⅰ）证明：∵，∴．∵，∴．∴．∴数列是首项、公比均为2的等比数列．………4分（Ⅲ）解：∵，∴．………………10分∴故．…………11分若，使成立，由已知，有，解得，所以的取值范围为．……………………13分考点：累加法求数列通项公式，裂项相消法数列求和，恒成立问题.【方法点睛】证明数列为等比数列，就是证明数列的后一项与前一项的比为同一个常数，证明时千万注意题目的暗示，谁是等比数列？证明什么？目标明确了，就有了证明的方向.掌握求数列的通项公式的基本方法，特别是累加与累乘法及构造法，是高考常见考法，数列求和常用方法有分组求和法、倒序相减法、裂项相消法、错位相减法等，而近年高考命题中的数列求和，则偏向分析法分组求和.19.(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列．(1)若b＝，a＝3，求c的值；(2)设t＝sinAsinC，求t的最大值．参考答案：(1)∵A，B，C成等差数列，∴2B＝A＋C.∵A＋B＋C＝π，∴B＝.∵b＝，a＝3，b2＝a2＋c2－2accosB，∴c2－3c－4＝0.∴c＝4或c＝－1(舍去)．(2)∵A＋C＝，∴t＝sinAsinC＝sinAsin＝sinA＝sin2A＋＝＋sin.∵0<A<，∴－<2A－<.∴当2A－＝，即A＝时，t有最大值为.略20.在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ．（1）求出圆C的直角坐标方程；（2）已知圆C与x轴相交于A，B两点，直线l：y=2x关于点M（0，m）（m≠0）对称的直线为l'．若直线l'上存在点P使得∠APB=90°，求实数m的最大值．参考答案：【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）由ρ=4cosθ得ρ2=4ρcosθ，即可求出圆C的直角坐标方程；（2）l：y=2x关于点M（0，m）的对称直线l'的方程为y=2x+2m，而AB为圆C的直径，故直线l'上存在点P使得∠APB=90°的充要条件是直线l'与圆C有公共点，即可求实数m的最大值．【解答】解：（1）由ρ=4cosθ得ρ2=4ρcosθ，即x2+y2﹣4x=0，即圆C的标准方程为（x﹣2）2+y2=4．（2）l：y=2x关于点M（0，m）的对称直线l'的方程为y=2x+2m，而AB为圆C的直径，故直线l'上存在点P使得∠APB=90°的充要条件是直线l'与圆C有公共点，故，于是，实数m的最大值为．21.设数列{a}的前n项和为S，且满足S=2-a，n=1，2，3，…

（1）求数列{a}的通项公式；（4分）

（2）若数列{b}满足b=1，且b=b+a，求数列{b}的通项公式；（6分）

（3）设C=n（3-b），求数列{C}的前n项和T。（6分）参考答案：（1）a=S=1 1分

n≥2时，S=2-a 1分

S=2-a 1分

a=a+a2a=a ∵a=1= 1分∴a=() 1分（2）b-b=（) 1分 1分∴b-b=()+……+（)= 1分=2-∴b=3- 1分∵b=1 成立 1分∴b=3-（)（3）C=n（) 1分T=1×（)+2（)+……+n（)T=1×（)+……+(n-1)（)+n（)

=2+-n（)

=2+2-（)-n（)∴T=8--=8-略22.已知椭圆的离心率为，椭圆的右焦点和抛物线的焦点重合，椭圆与轴的一个交点为，且是椭圆的左焦点.（1）求证:是等腰直角三角形；（2）当过点的动直线与椭圆相交于两不同点时，在线段上取点，满足，求点Q的轨迹方程.参考答案：解：（Ⅰ）由题意解得，所求椭圆方程为．,，不难得出是等腰直角三角形。

（Ⅱ）方法一设点Q、A、B的坐标分别为．由题可设,则且．又A，P，B，Q四点共线，从而．于是

，

，

从而

，（1）

，（2）又点A、B在椭圆C上，即