2021-2022学年江苏省淮安市武墩中学高三数学文模拟试题含解析

2021-2022学年江苏省淮安市武墩中学高三数学文模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知的值为 （

） A．－2

B．2

C．

D．－参考答案：D略2.为了得到函数y=sin3x+cos3x图象，可将函数图象（）A．向左平移个单位 B．向右平移个单位C．向右平移个单位 D．向左平移个单位参考答案： A【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；两角和与差的余弦函数．【分析】根据函数y=sin3x+cos3x=sin3（x+），利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【解答】解：∵函数y=sin3x+cos3x=sin（3x+）=sin3（x+），∴将函数y=sin3x的图象向左平移个单位可得函数y=sin3x+cos3x的图象，故选：A．9.设a大于0，b大于0.A.若2a+2a=2b+3b，则a＞b

B.若2a+2a=2b+3b，则a＞bC.若2a-2a=2b-3b，则a＞b

D.若2a-2a=ab-3b，则a＜b参考答案：D4.已知，则下列不等式中总成立的是

（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A5.已知在等比数列中，，则该等比数列的公比为A. B. C.2 D.8参考答案：B因为，所以，即，选B.6.如图，在四面体ABCD中，AB=CD=2，AD=BD=3，AC=BC=4.点E，F，G，H分别在棱AD，BD，BC，AC上，若直线AB，CD都平行于EFGH，则四边形EFGH面积的最大值是（）A.

B.

C.1

D.2参考答案：C作AB中点M，连接CM、DM如图所示，因为AC=BC，M为AB中点，所以；同理有AD=BD，M为AB中点，所以，所以，所以?。由平行直线分线段成比例可知和，由?可知，所以四边形GHEF为长方形；设,,,则由相似比可知，所以，同理，所以，而长方形的面积为，易知当时，四边形GHEF为正方形，取得最大面积。7.下列命题中，真命题是(

)A．存在 B．是的充分条件C．任意 D．的充要条件是参考答案：B8.定义集合称为集合与集合的差集．又定义称为集合的对称差集．记表示集合所含元素个数．现有两个非空有限集合，若=1，则的最小值为（

）A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：C9.已知向量=（0，6），=（x，y），与﹣的夹角为，则||的最大值是（） A．6 B． 4 C． 6 D． 12参考答案：B略10.函数（

）(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：答案：A解析：函数y=1+ax(0<a<1)的反函数为，它的图象是函数向右移动1个单位得到，选A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设若不等式对于任意的恒成立，则实数的取值范围是

▲

参考答案：

12.参考答案：略13.已知向量，，若，则实数______;参考答案：214.抛物线的焦点为，准线与轴交于点，过抛物线上一点(第一象限内)作的垂线,垂足为.若四边形的周长为16，则点的坐标为

．参考答案：15.(几何证明选讲选做题)如图（3）所示，是半圆周上的两个三等分点，直径，，垂足为，与相交于点，则的长为

．

参考答案：略16.执行如图2的程序框图，如果输入的N的值是6，那么输出的p的的值是

。参考答案：105略17.在平面直角坐标系中，如果与都是整数，就称点为整点，下列命题中正确的是_____________（写出所有正确命题的编号）.①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点；②如果与都是无理数，则直线不经过任何整点；③直线经过无穷多个整点，当且仅当经过两个不同的整点；④直线经过无穷多个整点的充分必要条件是：与都是有理数；⑤存在恰经过一个整点的直线.参考答案：①③⑤略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设函数f（x）=k（x﹣1）﹣2lnx（k＞0）．（1）若函数f（x）有且只有一个零点，求实数k的值；（2）设函数g（x）=xe1﹣x（其中e为自然对数的底数），若对任意给定的s∈（0，e），均存在两个不同的ti∈（）（i=1，2），使得f（ti）=g（s）成立，求实数k的取值范围．参考答案：【考点】52：函数零点的判定定理；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）由题意可知：当f（x）=0，则k（x﹣1）﹣2lnx=0，即（x﹣1）=lnx，若k＞0，当直线与曲线y=lnx有且只有一个交点（1，0）时，则直线为曲线y=lnx在x=1处的切线，则，即可求得实数k的值；（2）g（x）=xe1﹣x，求导知g'（x）=（1﹣x）e1﹣x，令g'（x）≥0，求得函数的单调递增区间，g'（x）＜0，求得函数的单调递减区间，求得其值域，对任意m∈（0，1），方程f（x）=m在区间上有两个不等实根，根据函数的单调性求得函数的最小值，h（x）=﹣x+2lnx+2﹣2ln2，求导，利用导数求得其单调区间及最大值，则，即可求得实数k的取值范围．【解答】解：（1）由于f（1）=0，则由题意，f（x）有且只有一个零点x=1，令f（x）=0，k（x﹣1）﹣2lnx=0，则（x﹣1）=lnx若k＞0，当直线与曲线y=lnx有且只有一个交点（1，0）时，直线为曲线y=lnx在x=1处的切线，则，即k=2，综上，实数k的值为2．（2）由g（x）=xe1﹣x可知g'（x）=（1﹣x）e1﹣x，令g'（x）≥0，解得：x≤1，g'（x）＜0，解得：x＞1，即g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，e）上单调递减，从而g（x）在（0，e）上的值域为（0，1）；则原题意等价于：对任意m∈（0，1），方程f（x）=m在区间上有两个不等实根，，由于f（x）在上不单调，则，且f（x）在上单调递减，在上单调递增，则函数f（x）的最小值为，记h（x）=﹣x+2lnx+2﹣2ln2，则h′（x）=﹣1+=，由h′（x）＞0解得：x＜2，从而函数h（x）在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减，最大值为h（2）=0，即；另一方面，由；综上，实数k的取值范围为．【点评】本题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调性及最值，导数与不等式的综合应用，考查构造法，考查计算能力，属于难题．19.（本小题满分8分）如图所示，在三棱锥P-ABC中，E、F分别为AC、BC的中点。（1）证明：;（2）若，,求证：。参考答案：(1)E、F分别是AC、BC的中点,EF//AB,………………1分又EF平面PAB，…………2分AB平面PAB，………3分EF//平面PAB………………4分（2）取的中点O，连结OP、OC,PA=PB，;……………………5分又CA=CB，;………………6分又,;…………7分又,ABPC.………8分20.某城市为鼓励人们绿色出行，乘坐地铁，地铁公司决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策，不超过9站的地铁票价如下表：乘坐站数x票价（元）123现有甲、乙两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过9站，且他们各自在每个站下车的可能性是相同的.（1）若甲、乙两人共付费2元，则甲、乙下车方案共有多少种？（2）若甲、乙两人共付费4元，求甲比乙先到达目的地的概率.参考答案：（1）由题意知甲、乙乘坐地铁均不超过站，前站设为，，，甲、乙两人共有，，，，，，，，种下车方案.（2）设站分别为，，，，，，，，，因为甲、乙两人共付费元，共有甲付元，乙付元；甲付元，乙付元；甲付元，乙付元三类情况.由（1）可知每类情况中有种方案，所以甲、乙两人共付费元共有种方案.而甲比乙先到达目的地的方案有，，，，，，，，，，，，共种，故所求概率为.所以甲比乙先到达目的地的概率为.

21.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且4cosC?sin2+cos2C=0．（Ⅰ）若函数f（x）=sin（C﹣2x），求f（x）的单调增区间；（Ⅱ）若3ab=﹣25﹣c2，求△ABC面积的最大值．参考答案：【考点】余弦定理的应用；三角形中的几何计算．【专题】综合题；解三角形．【分析】（1）利用已知等式，通过二倍角的余弦函数化简，求出C的余弦值，得到C的大小，化简函数f（x）=sin（C﹣2x），利用正弦函数的单调性，求f（x）的单调增区间；（2）利用3ab=25﹣c2，由余弦定理：c2=a2+b2﹣2abcosC，25﹣3ab=a2+b2﹣ab，求出（a+b）2=5，利用基本不等式求解面积的最大值．【解答】解：（1）由条件：4cosC?+2cos2C﹣1=0，∴cosC=故C=，则f（x）=sin（﹣2x），∴+2kπ≤2x﹣≤π+2kπ∴+kπ≤x≤π+kπ，k∈Z∴f（x）的单调增区间为[+kπ，π+kπ]k∈Z（2）由余弦定理：c2=a2+b2﹣2abcosC∴25﹣3ab=a2+b2﹣ab，∴（a+b）2=25，∴a+b=5，∴S△ABC=absinC=ab≤=，当且仅当a=b=取得最大值．【点评】本题考查二倍角的余弦函数，余弦定理，正弦函数的单调性，三角形的面积以及基本不等式的应用，考查计算能力．22.如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，H是正方形AA1B1B的中心，AA1=2，C1H⊥平面AA1B1B，且C1H=．（1）求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值；（2）求二面角A﹣A1C1﹣B1的正弦值；（3）设N为棱B1C1的中点，点M在平面AA1B1B内，且MN⊥平面A1B1C1，求线段BM的长．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的性质．【专题】空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用；立体几何．【分析】方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，点B为坐标原点．（Ⅰ）求出中的有关向量，然后求出异面直线AC与A1B1所成角的余弦值；（Ⅱ）利用求出平面AA1C1的法向量，通过求出平面A1B1C1的法向量，然后利用求二面角A﹣A1C1﹣B1的正弦值；（Ⅲ）设N为棱B1C1的中点，设M（a，b，0），利用MN⊥平面A1B1C1，结合求出a，b，然后求线段BM的长．方法二：（I）说明∠C1A1B1是异面直线AC与A1B1所成的角，通过解三角形C1A1B1，利用余弦定理，．求出异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为．（II）连接AC1，过点A作AR⊥A1C1于点R，连接B1R，说明∠ARB1为二面角A﹣A1C1﹣B1的平面角．连接AB1，在△ARB1中，通过，求出二面角A﹣A1C1﹣B1的正弦值为．（III）首先说明MN⊥A1B1．取HB1中点D，连接ND，由于N是棱B1C1中点，推出ND⊥A1B1．证明A1B1⊥平面MND，连接MD并延长交A1B1于点E，延长EM交AB于点F，连接NE．连接BM，在Rt△BFM中，求出．【解答】方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，点B为坐标原点．依题意得（I）解：易得，于是，所以异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为．（II）解：易知．设平面AA1C1的法向量=（x，y，z），则即不妨令，可得，同样地，设平面A1B1C1的法向量=（x，y，z），则即不妨令，可得．于是，从而．所以二面角A﹣A1C1﹣B的正弦值为．（III）解：由N为棱B1C1的中点，得．设M（a，b，0），则由MN⊥平面A1B1C1，得即解得故．因此，所以线段BM的长为．方法二：（I）解：由于AC∥A1C1，故∠C1A1B1是异面直线AC与A1B1所成的角．因为C1H⊥平面AA1B1B，又H为正方形AA1B1B的中心，，可得A1C1=B1C1=3．因此．所以异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为．（II）解：连接AC1，易知AC1=B1C1，又由于AA1=B1A1，A1C1=A1C1，所以△AC1A1≌△B1C1A1，过点A作AR⊥A1C1于点R，连接B1R，于是B1R⊥A1C1，故∠ARB1为二面角A﹣A1C1﹣B1的平面角．在Rt△A1RB1中，．连接AB1，在△ARB1中，=，从而．所以二面角A﹣A1C1﹣B1的正弦值为．（III）解：因为MN⊥平面A1B1C1