2021-2022学年福建省莆田市钟山中学高三数学理上学期期末试卷含解析

2021-2022学年福建省莆田市钟山中学高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设，，，则a，b，c的大小关系是（

）A. B. C. D.参考答案：B【分析】一是借助于中间值1，二是化为同底数的对数比较可得．【详解】，，，∴，即．故选：B.【点睛】本题考查对数和幂的比较大小，比较大小时，同是对数的能化为同底数的化为同底数，同是幂的化为同底数或者化为同指数，不能转化的借助中间值如1，0等等比较．2.已知函数，则的值为（

）A.；B.；C.；D.；参考答案：D3.已知函数y=f（x）的导函数为f′（x），且，则=(

) A． B． C． D．参考答案：A考点：导数的运算．专题：导数的概念及应用．分析：先根据导数的运算法则求导，再代入值计算即可．解答： 解：∵，∴f′（x）=2f′（）x+cosx，∴f′（）=2f′（）×+cos，解得f′（）=，故选：A点评：本题考查了导数的运算法则和导数值的求法，属于基础题．4.已知函数若有则的取值范围为

(

)

A．

B．

C．

D．参考答案：B5.在正实数集上定义一种运算：当时，；当时，，则满足3的的值为(

)A．3

B．1或9

C．1或

D．3或参考答案：D略6.如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是AB1、BC1的中点，则以下结论中不成立的是（）A．EF与BB1垂直 B．EF与BD垂直 C．EF与CD异面 D．EF与A1C1异面参考答案：D【考点】异面直线的判定．【分析】观察正方体的图形，连B1C，则B1C交BC1于F且F为BC1中点，推出EF∥A1C1；分析可得答案．【解答】解：连B1C，则B1C交BC1于F且F为BC1中点，三角形B1AC中EF，所以EF∥平面ABCD，而B1B⊥面ABCD，所以EF与BB1垂直；又AC⊥BD，所以EF与BD垂直，EF与CD异面．由EF，AC∥A1C1得EF∥A1C1故选D．7.已知不等式对任意的实数x，y成立，则常数a的最小值为(A)l

(B)2

(C)3

(D)4参考答案：D略8.已知x，y满足条件，若z=mx+y取得最大值的最优解不唯一，则实数m的值为（）A．1或﹣B．1或﹣2C．﹣1或﹣2D．﹣2或﹣参考答案：B【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，得到直线y=ax+z斜率的变化，从而求出a的取值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分mBC）．由z=mx+y得y=﹣mx+z，即直线的截距最大，z也最大．若m＞0，目标函数y=﹣mx+z的斜率k=﹣m＞0，要使z=mx+y取得最大值的最优解不唯一，则直线z=mx+y与直线x﹣y+1=0平行，此时m=﹣2，若m＜0，目标函数y=﹣mx+z的斜率k=﹣m＜0，要使z=y﹣mx取得最大值的最优解不唯一，则直线z=mx+y与直线x+y﹣2=0，平行，此时m=﹣1，综上m=﹣2或m=1，故选：B．9.若双曲线C：(m>0)与抛物线的准线交于A，B两点，且，则实数m的值为(A)29

(B)20

(C)12

(D)5参考答案：D10.已知双曲线的一条渐近线为l，圆与l交于第一象限A、B两点，若，且，其中O为坐标原点，则双曲线的离心率为（

）A. B.C. D.参考答案：D【分析】根据可知是等边三角形，从而可求得和；在，中，利用余弦定理可构造出关于的方程，解出；利用圆心到渐近线的距离为即可得到的关系，从而求得离心率.【详解】双曲线的一条渐近线为：圆的圆心坐标为，半径为

是边长为的等边三角形，圆心到直线的距离为又

，在，中，由余弦定理得：，解得：圆心到直线的距离为，有：本题正确选项：【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，关键是能够通过余弦定理求得，利用点到直线距离构造出的关系式，从而得到离心率.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若直线是曲线的切线，则的值为

.参考答案：【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程.网版权所有B12

【答案解析】或解析：由y=x3﹣3x2+ax﹣1，得：y′=3x2﹣6x+a．设直线y=x与曲线y=x3﹣3x2+ax﹣1切于（），又=，所以，①由（）在直线y=x上，∴②由①得，③把③代入②得：整理得：，即，所以，x0=1或．当x0=1时，a=1+6×1﹣3×12=4．当时，a==．所以a的值为4或．故答案为4或．【思路点拨】设出直线y=x与曲线y=x3﹣3x2+ax﹣1的切点，求出曲线在切点处的导数值，由导数值等于1列一个关于切点横坐标和a的方程，再由切点在直线y=x上得另一方程，两个方程联立可求a的值．12.已知集合A={x|y=lg(x–3)}，B={x|y=}，则A∩B=

。参考答案：{x|3<x≤5}13.是函数的导数，则的值是

.参考答案：14.已知数列满足：，则__________参考答案：15.已知变量x，y，满足：，则z=2x+y的最大值为．参考答案：4【考点】简单线性规划．【分析】作出可行域，根据可行域移动目标函数，根据直线的截距得出最优解．【解答】解：作出约束条件表示的可行域如图：由z=2x+y得y=﹣2x+z．由图形可知当直线y=﹣2x+z经过B点时，直线的截距最大，即z最大．解方程组，得B（1，2）．∴z的最大值为z=2×1+2=4．故答案为：4．16.已知α是锐角，且cos（α+）=，则cos（α﹣）=．参考答案：【考点】两角和与差的余弦函数．【分析】由已知利用诱导公式可求sin（α﹣）=，结合角的范围，利用同角三角函数基本关系式计算可解．【解答】解：∵cos（α+）=sin[﹣（α+）]=sin（α﹣）=，∵α是锐角，α﹣∈（﹣，），∴cos（α﹣）===．故答案为：．【点评】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．17.已知过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）右焦点且倾斜角为45°的直线与双曲线右支有两个交点，则双曲线的离心离e的取值范围是．参考答案：（1，）考点： 双曲线的简单性质．

专题： 计算题．分析： 要使直线与双曲线的右支有两个交点，需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线的斜率，即＜1，求得a和b的不等式关系，进而根据b=转化成a和c的不等式关系，求得离心率的一个范围，最后根据双曲线的离心率大于1，综合可得求得e的范围．解答： 解：要使直线与双曲线的右支有两个交点，需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线的斜率，即＜tan45°=1即b＜a∵b=∴＜a，整理得c＜a∴e=＜∵双曲线中e＞1故e的范围是（1，）故答案为（1，）点评： 本题主要考查了双曲线的简单性质．在求离心率的范围时，注意双曲线的离心率大于1．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，，点E是棱PB的中点．（I）求证：平面ECD⊥平面PAD；（II）求二面角A﹣EC﹣D的平面角的余弦值．参考答案：（I）证明：∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD，∵底面ABCD为矩形，∴AD⊥CD∵PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD∵CD?平面ECD，∴平面ECD⊥平面PAD；（II）解：过点D作DF⊥CE，过点F作FG⊥CE，交AC于G，则∠DFG为所求的二面角的平面角．∵AD⊥AB，AD⊥PA，AB∩PA=A，∴AD⊥平面PAB，∴AD⊥AE，从而DE=在Rt△CBE中，CE==，∵CD=，∴△CDE为等边三角形，故F为CE的中点，且DF=CD?sin60°=因为AE⊥平面PBC，故AE⊥CE，又FG⊥CE，知FG∥AE．且FG=AE，从而FG=，且G点为AC的中点，连接DG，则在Rt△ADC中，DG==，所以cos∠DFG==．略19.已知函数，，且曲线与在处有相同的切线.（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）求证：在上恒成立；（Ⅲ）当时，求方程在区间内实根的个数.参考答案：（Ⅰ）∵，，，∴.∵，，∴，.∵，即，∴.（Ⅱ）证明：设，.令，则有.当变化时，的变化情况如下表：∴，即在上恒成立.（Ⅲ）设，其中，.令，则有.当变化时，的变化情况如下表：∴.，设，其中，则，∴在内单调递减，，∴，故，而.结合函数的图象，可知在区间内有两个零点，∴方程在区间内实根的个数为2.20.（本题满分15分）

已知点F是抛物线与椭圆的公共焦点，且椭圆的离心率为

（1）求椭圆C的方程；

（2）过抛物线上一点P，作抛物线的切线，切点P在第一象限，如图。设切线与椭圆相交于不同的两点A、B，记直线OP，FA，FB的斜率分别为（其中O为坐标原点），若，求点P的坐标。参考答案：21.已知函数.（1）当时，判断是否为的极值点，并说明理由；（2）记.若函数存在极大值，证明：.参考答案：（1）由，可得，故．不是的极值点.理由如下：．记，则.由，解得；由，解得，所以在单调递减，在单调递增，故，即在恒单调递增，故不是的极值点．（2）依题意，．则．①时，在恒成立，在恒成立，所以在上先减后增，故在上有极小值，无极大值，应舍去．②时，在恒成立，在恒成立，所以在上先减后增，故在上有极小值，无极大值，应舍去．③时，由得和