2022-2023学年江苏省常州市联盟学校高一（下）学情调研数学试卷（6月份）（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2022-2023学年江苏省常州市联盟学校高一（下）学情调研数学试卷（6月份）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.直线l与平面α不平行，则(

)A.l与α相交 B.l⊂α

C.l与α相交或l⊂2.在复平面内，设复数，z1，z2对应的点分别为Z1(0,2A.2 B.3 C.2 3.如图，α∩β=l，A，B∈α，C∈β，且C∉l，直线AB∩l=M，过AA.点A

B.点B

C.点C但不过点M

D.点C和点M4.已知平面向量a=(−2,1A.与a方向相同的单位向量的坐标为(255,−55)

B.当λ=−12时，a,b可作为平面内的一组基底

C.5.已知两条不同的直线l，m与两个不同的平面α，β，则下列结论中正确的是(

)A.若m⊂α，n⊂α，m//β，n//β，则α//β

B.若l⊥α，l//β6.如图是某烘焙店家烘焙蛋糕时所用的圆台状模具，它的高为8cm，下底部直径为12cm，上面开口圆的直径为20cm，现用此模具烘焙一个跟模具完全一样的儿童蛋糕，若蛋糕膨胀成型后的体积会变为原来液态状态下体积的2倍(模具不发生变化)，若用直径为14cm的圆柱形容量器取液态原料(不考虑损耗A.163 B.323 C.16 7.下列结论中正确是(

)A.若直线a，b为异面直线，则过直线a与直线b平行的平面有无数多个

B.若直线m与平面α内无数条直线平行，则直线m与平面α平行

C.若平面α//平面β，直线a⊂α，点M∈β，则过点M有且只有一条直线与a平行

D.若直线l⊥8.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是A.若a2tanB=b2tanA，则△ABC为等腰三角形

B.若AC⋅BC>0，则△AB二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.下列计算结果正确的是(

)A.cos275°+cos215°+cos10.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，A.点F在平面AED1内 B.直线EF与平面ABCD所成角为45°

C.二面角N11.如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的是(

)A.圆柱的侧面积为2πR2

B.圆锥的侧面积为5πR2

C.圆柱的侧面积与球的表面积相等

12.正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N，G分别为BA.MN//平面AD1C

B.CN⊥平面ABM

C.异面直线DP和M三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知空间中两个角∠AOB，∠A1O1B1，且OA/14.已知向量a=(cos75°,sin15.如图，9个边长为1的小正方形排成一个大正方形，AB是大正方形的一条边，Pi(i=1,2

16.正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，若点P在正方体ABCD−A1四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题10.0分)

已知向量OA=(2,1),OB=(3,−2),OC=18.(本小题12.0分)

已知锐角α，β，且满足sin(α−β)=210,cos19.(本小题12.0分)

在三棱柱ABC−A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，点D，E，F分别是BC，A1B，AC120.(本小题12.0分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，BC//平面PAD，△PAD为等边三角形，

M为PA的中点，PD⊥AB，平面PA21.(本小题12.0分)

在①3bsinA+B2=csinB；②3CA⋅BC=2S△ABC；③3sinA+cosA=2a+bc．

22.(本小题12.0分)

如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，DC的中点．

(1)求证：D1E⊥AB1；

(2)若点M，N分别在C

答案和解析1.【答案】C

【解析】解：因为空间中直线和平面的位置关系有三种，即直线和平面平行、直线和平面相交及直线在平面内，

因直线l与平面α不平行，所以直线l与平面α的位置关系是：直线l与平面α相交或l⊂α．

故选：C．

由直线与平面之间的位置关系即可求解．

2.【答案】C

【解析】解：由题意，知z1=2i，z2=1−i，

所以z1z2=2i1−i=−3.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查平面与平面之间的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．

直线AB∩l=M，过A，B，C三点的平面记作γ，可得β∩γ=MC，即可得出结论．

【解答】

解：∵直线AB∩l=M，过A，B，C三点的平面记作γ，

∴4.【答案】D

【解析】解：对于A，与a方向相同的单位向量的坐标为a|a|=1(−2)2+12(−2,1)=(−255,55)，选项A错误；

对于B，当λ=−12时，a//b，a,b不可作为平面内的一组基底，选项B错误；

对于C，当λ=−12时，a=−2b，此时a与5.【答案】B

【解析】解：若m⊂α，n⊂α，m//β，n//β，当m与n相交时，有α//β，若m与n平行，不一定有α//β，故A错误；

若l//β，则β内存在直线m与l平行，又l⊥α，∴m⊥α，可得α⊥β，故B正确；

若m⊥α，l6.【答案】A

【解析】解：圆台状蛋糕膨胀成型后的体积为V1=13×8×π×(62+102+6×10)7.【答案】C

【解析】解：若直线a，b为异面直线，则过直线a与直线b平行的平面有且仅有一个，故A错误；

若直线m与平面α内无数条直线平行，则直线m与平面α平行或m⊂α，故B错误；

若平面α//平面β，直线a⊂α，点M∈β，则过直线a与点M可确定平面γ，设γ∩β=b，

则b为过点M的唯一一条与直线a平行的直线，故C正确；

若直线l⊥平面α，则过直线l与平面8.【答案】D

【解析】解：对于A，若a2tanB=b2tanA，则sin2A⋅sinBcosB=sin2B⋅sinAcosA，

即sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B，

在△ABC中，0<A<π，0<B<π，0<A+B<π，

所以2A=2B或2A+2B=π，所以A=B或A+B=π2，

所以△ABC为等腰三角形或直角三角形，故A错误；

对于B，若AC⋅BC>0，则|AC||BC|9.【答案】AC【解析】解：cos275°+cos215°+cos75°cos15°=sin215°+cos215°+sin15°cos15°=1+12sin30°=1+10.【答案】AB【解析】解：A.连接BC1，则EF是△BB1C1的中位线，

则EF//BC1，

又AD1//BC1，

则EF//AD1，即E，F，D1，A四点共面，则点F在平面AED1内，故A正确，

B.∵EF//BC1，

∴BC1与面ABCD所成的角，就是直线EF与平面ABCD所成的角，

∵∠BC1C是BC1与平面ABCD所成的角，∴∠BC1C=45°，

则直线EF与平面ABCD11.【答案】BC【解析】解：球半径为R，圆柱侧面积为2πR⋅2R=4πR2，A错误；

圆锥侧面积为πR⋅5R=5πR2，B正确；

球的表面积为4πR2，C正确；

V12.【答案】AB【解析】解：建立如图所示坐标系，设正方体棱长为2，

则A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，B1(2,2,2)，D1(0,0,2)，M(1,2,2)，N(2,2,1)，G(0,1,2)，

因为点P在CB1上运动，故可设P(t,2,t)，(0≤t≤2)，

选项A，MN=(1,0,−1)，AD1=(−2,0,2)，AC=(−2,2,0)，

设平面AD1C的法向量为m=(a,b,c)，则有−2a+2c=0−2a+2b=0，

令a=1，可得平面AD13.【答案】600或120【解析】解：∵空间中两个角∠AOB，∠A1O1B1，且OA//O1A1，OB//O1B1，∠AOB=6014.【答案】1

【解析】解：a=(cos75°,sin75°)，b=(cos15°,−sin15°)，

15.【答案】4

【解析】解：易知，当i=3，7，11时，则AB⋅APi=AB⋅0=0，

当i=1，4，8，12时，则AB⋅APi=AB⋅AP1=1×316.【答案】25+【解析】解：如图所示，分别取棱BB1，B1C1的中点M，N，连接A1M，A1N，MN，BC1，NE，

因为M，N，E，F分别是其所在棱的中点，

所以MN//BC1，EF//BC1，所以MN//EF，

又因为MN⊄平面AEF，EF⊂平面AEF，所以MN//平面AEF，

又因为AA1//NE，AA1=NE，所以四边形AENA1为平行四边形，所以A1N//AE，

又因为A1N⊄平面AEF，AE⊂平面AEF，所以A1N//平面AEF，

又因为A1N∩MN=N，所以平面A1MN//平面AEF，

又因为P在正方体ABCD−A1B1C1D1的表面上运动，满足A1P//平面AEF，

所以点P的轨迹所构成△A1MN，去掉点A1，计算周长为A17.【答案】解：(1)因为OA=(2,1)，OB=(3,−2)，OC=(6−m,−3−m)，

所以AB=OB−OA=(3,−2)−(2,1)=(1,−3)，AC=OC−OA=(6−m,−3−m)−(2,1【解析】(1)先求出OA、OB、OC的坐标，根据A，B，C三点共线，可得AB、AC共线，再利用两个向量共线的性质，可得1×(−4−m)=−318.【答案】解：(1)∵α，β是锐角，∴0<α<π2，0<β<π2，

∵β为锐角，cosβ=55，sin2β+cos2β=1，∴sinβ=255，【解析】(1)利用同角的关系式求出sinβ的值，利用两角和差的正弦公式进行求解即可．

(219.【答案】证明：(1)连接A1C，

∵三棱柱ABC−A1B1C1，

∴侧面ACC1A1为平行四边形，

∵F为AC1中点，

∴A1C∩AC1=F，

∴F为A1C中点，

又∵E为A1B中点，∴EF//BC，

∵EF⊄平面ABC，BC⊂平面ABC【解析】(1)连接A1C，根据三棱柱特征得到F为A1C中点，再根据线面平行的判定定理证明即可；

(2)根据CC1⊥底面20.【答案】证明：(1)∵在四棱锥P−ABCD中，

∵BC//平面PAD，AD⊂平面ABCD，平面PAD⋂平面ABCD=AD，∴BC//AD，

∵AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，∴AD//平面PBC．

(2)如图，取AD中点为N，连接PN，

因为△PAD为等边三角形，∴PN⊥AD，

∵平面PAD⊥平面ABCD，

平面PAD∩平面ABCD=AD，P【解析】(1)在四棱锥P−ABCD中，根据线面平行的判定定理，证明即可；

(2)取AD中点为N，连接PN，得到平面PAD⊥平面ABCD，结合线面垂直的判定定理得到PN21.【答案】(1)选①：∵3bsinA+B2=csinB，

∴由正弦定理可得3sinBsinA+B2=sinCsinB，

又∵0<B<π，∴3sinA+B2=sinC，

即3sinπ−C2=sinC，

∴3cosC2=2sinC2cosC2，

∵0<C2<π2，∴sinC2=32，

∴C2=π3，即C=2π3；

选②：∵3CA⋅BC=2【解析】(1)选①：由条件式及正弦定理化简即可；

选②：由向量的数量积和三角形面积公式化简可得；

选③：由条件式和正弦定理、三角恒等变换知识化简可得；

(2)由题中条件及余弦定理求出边b=c=2，A=π6，作图并设∠ACM=α22.【答案】解：(1)证明：如图，连接A1B，CD1，

∵正方体ABCD−A1B1C1D1，

∴四边形ABB1A1为正方形，

∴AB1⊥B1A，

又∵正方体ABCD−A1B1C1D1，

∴BC⊥平面ABB1A1，

又AB1⊂平面ABB1A1，

∴BC⊥AB1，

又B1C∩A1B=B，

∴A