2021年福建省福州市第三十一中学高一数学理下学期期末试卷含解析

2021年福建省福州市第三十一中学高一数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数，在一个周期内当时，有最大值2，当时，有最小值，那么

（）A.

B.C.

D.参考答案：D略2.若，且，则(

)A．

B．

C．

D．参考答案：A

解析：3.某全日制大学共有学生5600人，其中专科生有1300人，本科生有3000人，研究生有1300人，现采用分层抽样的方法调查学生利用因特网查找学习资料的情况，抽取的样本为280人，则应在专科生、本科生与研究生这三类学生中分别抽取()人.A.65,150,65 B.30，150，100 C.93,94,93 D.80,120,80参考答案：A每个个体被抽到的概率为，∴专科生被抽的人数是,本科生要抽取,研究生要抽取.4.三个数，，之间的大小关系为（

）

A．a＜c＜b

B．a＜b＜c

C．b＜a＜c

D．b＜c＜a参考答案：C5.下列说法中正确的是(▲)A．有两个面相互平行，其余各面均为平行四边形的几何体是棱柱B．棱柱被平面分成的两部分可以都是棱锥C．用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体是棱台D．棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥参考答案：B6.执行下面的算法框图，输出的T为（

）

A.20

B.30

C.12

D.42

参考答案：B略7.设正方体的表面积为24，那么其外接球的体积是（

）

A．

B．C．

D．参考答案：C8.如右图，程序框图所进行的求和运算是

()参考答案：C9.函数f(x)＝x2－x－2，x∈[－5,5]，那么在区间[－5,5]内任取一点x0，使f(x0)≤0的概率为()A．0.1

B.C．0.3

D.参考答案：C略10.在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（

）A.B.C.D.参考答案：BC【分析】本题中项可确定三角度数的大小，故只有一解；项中通过正弦定理求出来的满足题意的角有两个，故有两解；项中通过正弦定理求出来的满足题意的角有两个，故有两解；项中通过正弦定理求出来的满足题意的角仅有一个，故有一解，最后即可得出答案。【详解】选项:因为，所以，三角形的三个角是确定的值，故只有一解；选项:由正弦定理可知,即，所有角有两解；选项:由正弦定理可知,即，所以角有两解；选项:由正弦定理可知,即,所以角仅有一解，综上所述，故选BC。【点睛】本题考查了三角函数的相关性质，主要考查了解三角形的相关性质，解三角形题目解出的结果有两解的可能情况为在三角和为的前提下通过正弦定理求出来的角的大小有两种可能，考查推理能力，是中档题。二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.上图中的三个正方形块中，着色正方形的个数依次构成一个数列的前3项。则这个数列的一个通项公式为________________参考答案：或12.已知扇形AOB的面积为，圆心角AOB为120°，则该扇形半径为__________．参考答案：2【分析】将圆心角化为弧度制，再利用扇形面积得到答案.【详解】圆心角AOB为扇形AOB的面积为故答案为2【点睛】本题考查了扇形的面积公式，属于简单题.13.（5分）若loga2=m，loga3=π，其中a＞0，且a≠1，则am+n=

．参考答案：6考点： 指数式与对数式的互化；对数的运算性质．专题： 函数的性质及应用．分析： 通过对数式与指数式的互化，利用指数的运算法则求解即可．解答： loga2=m，可得：am=2loga3=π，an=3．am+n=aman=3×2=6．故答案为：6．点评： 本题考查指数式与对数式的互化，指数的运算法则，基本知识的考查．14.已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且角A，B，C成等差数列，则的值为

．参考答案：1角A，B，C成等差数列，，∴，由由余弦定理，整理可得：∴

15.在△ABC中，E是边AC的中点，=4，若=x+y，则x+y=

．参考答案：﹣

【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】由E是边AC的中点，=4，可得=，所以x=﹣，y=，x+y=﹣．【解答】解：∵E是边AC的中点，=4，∴=，所以x=﹣，y=，x+y=﹣．故答案为：﹣．16.设集合A={x|﹣1≤x≤4}，集合B={x|1≤x≤5}则A∩B=

．参考答案：{x|1≤x≤4}【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】观察两个集合，形式已得到化简，依据交集定义求出两个集合的公共部分．【解答】解：∵集合A={x|﹣1≤x≤4}，集合B={x|1≤x≤5}，∴A∩B={x|1≤x≤4}故答案为：{x|1≤x≤4}．【点评】本题考查交集及其运算，解题的关键是掌握理解好交集的定义，并能根据定义求出两个集合的交集．17.若不等式组(a为常数)所表示的平面区域的面积为2，则a的值为

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知等差数列{an}满足a3=2，前3项和S3=．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）设等比数列{bn}满足b1=a1，b4=a15，求{bn}前n项和Tn．参考答案：【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，则由已知条件列式求得首项和公差，代入等差数列的通项公式得答案；（Ⅱ）求出，再求出等比数列的公比，由等比数列的前n项和公式求得{bn}前n项和Tn．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，则由已知条件得：，解得．代入等差数列的通项公式得：；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，．设{bn}的公比为q，则，从而q=2，故{bn}的前n项和．19.（12分）定义在区间D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，都存在常数M≥0，有|f（x）|≤M，则称f（x）是区间D上有界函数，其中M称为f（x）上的一个上界，已知函数g（x）=log为奇函数．（1）求函数g（x）在区间[，]上的所有上界构成的集合；（2）若g（1﹣m）+g（1﹣m2）＜0，求m的取值范围．参考答案：【考点】函数奇偶性的性质；对数函数的图象与性质．【分析】（1）利用奇函数的性质，求出函数的解析式，利用单调性求函数g（x）在区间[，]上的所有上界构成的集合；（2）若g（1﹣m）+g（1﹣m2）＜0，有﹣1＜m2﹣1＜1﹣m＜1，即可求m的取值范围．【解答】解：（1）∵函数g（x）=log为奇函数．∴g（﹣x）=﹣g（x），即log=﹣log…（1分）∴=，1﹣x2=1﹣a2x2得出；a=±1，而a=1时不符合题意，故a=﹣1，…（3分）函数g（x）=log（﹣1）是减函数，在区间[，]上是单调递减，…（4分）g（）=﹣1，g（）=﹣2，|g（x）|≤2所以g（x）在区间[，]上的所有上界构成的集合[2，+∞）…（Ⅱ）g（1﹣m）+g（1﹣m2）＜0，g（1﹣m）＜g（m2﹣1），…（7分）g（x）为减函数，…（8分）所以有﹣1＜m2﹣1＜1﹣m＜1，解得0＜m＜1，故不等式的解集{m|0＜m＜1}．…（12分）【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性，考查学生解不等式的能力，正确转化是关键．20.（14分）已知：以点为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O、B，其中O为原点，（1）求证：△OAB的面积为定值；（2）设直线y=﹣2x+4与圆C交于点M，N，若OM=ON，求圆C的方程．参考答案：考点： 直线与圆的位置关系；直线的截距式方程；圆的标准方程．分析： （1）求出半径，写出圆的方程，再解出A、B的坐标，表示出面积即可．（2）通过题意解出OC的方程，解出t的值，直线y=﹣2x+4与圆C交于点M，N，判断t是否符合要求，可得圆的方程．解答： （1）∵圆C过原点O，∴，设圆C的方程是，令x=0，得，令y=0，得x1=0，x2=2t∴，即：△OAB的面积为定值；（2）∵OM=ON，CM=CN，∴OC垂直平分线段MN，∵kMN=﹣2，∴，∴直线OC的方程是，∴，解得：t=2或t=﹣2，当t=2时，圆心C的坐标为（2，1），，此时C到直线y=﹣2x+4的距离，圆C与直线y=﹣2x+4相交于两点，当t=﹣2时，圆心C的坐标为（﹣2，﹣1），，此时C到直线y=﹣2x+4的距离，圆C与直线y=﹣2x+4不相交，∴t=﹣2不符合题意舍去，∴圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．点评： 本题考查直线与圆的位置关系，圆的标准方程等有关知识，是中档题．21.如图，矩形AMND所在的平面与直角梯形MBCN所在的平面互相垂直，MB∥NC，MN⊥MB.(1)求证：平面AMB∥平面DNC；(2)若MC⊥CB，求证：BC⊥AC.参考答案：证明：(1)因为MB∥NC，MB?平面DNC，NC?平面DNC，所以MB∥平面DNC.又因为四边形AMND为矩形，所以MA∥DN.又MA?平面DNC，DN?平面DNC.所以MA∥平面DNC.又MA∩MB＝M，且MA，MB?平面AMB，所以平面AMB∥平面DNC.(2)因为四边形AMND是矩形，所以AM⊥MN.因为平面AMND⊥平面MBCN，且平面AMND∩平面MBCN＝MN，所以AM⊥平面MBCN.因为BC平面MBCN，所以AM⊥BC.因为MC⊥BC，MC∩AM＝M，所以BC⊥平面AMC.因为AC平面AMC，所以BC⊥AC.22.某省两相近重要城市之间人员交流频繁，为了缓解交通压力，特修一条专用铁路，用一列火车作为交通车，已知该车每次拖4节车厢，一日能来回16次，如果每次拖7节车厢，则每日能来回10次．若每日来回的次数是车头每次拖挂车厢节数的一次函数，每节车厢能载乘客110人．问这列火车每天来回多少次才能使运营人数最多?并求出每天最多运营人数。（注：来一次回一次为来