2021-2022学年福建省龙岩市华侨中学高三数学理测试题含解析

2021-2022学年福建省龙岩市华侨中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数（其中＞0，＜）的图象如图所示，为了得到的图象，只需将的图象（

）A．向右平移个单位长度

B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度

D．向左平移个单位长度参考答案：C2.已知等比数列的前三项依次为,,.则 A．

B．

C．

D．参考答案：C略3.若，则cos2θ＝

（A）（B）－（C）（D）－参考答案：D4.设且，则锐角x为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B5.执行程序框图，如果输入的t∈[﹣1，3]，则输出的s属于(

) A．[﹣3，4] B．[﹣5，2] C．[﹣4，3] D．[﹣2，5]参考答案：A考点：程序框图；分段函数的解析式求法及其图象的作法．专题：图表型；算法和程序框图．分析：本题考查的知识点是程序框图，分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算一个分段函数的函数值，由条件为t＜1我们可得，分段函数的分类标准，由分支结构中是否两条分支上对应的语句行，我们易得函数的解析式．解答： 解：由判断框中的条件为t＜1，可得：函数分为两段，即t＜1与t≥1，又由满足条件时函数的解析式为：s=3t；不满足条件时，即t≥1时，函数的解析式为：s=4t﹣t2故分段函数的解析式为：s=，如果输入的t∈[﹣1，3]，画出此分段函数在t∈[﹣1，3]时的图象，则输出的s属于[﹣3，4]．故选A．点评：要求条件结构对应的函数解析式，要分如下几个步骤：①分析流程图的结构，分析条件结构是如何嵌套的，以确定函数所分的段数；②根据判断框中的条件，设置分类标准；③根据判断框的“是”与“否”分支对应的操作，分析函数各段的解析式；④对前面的分类进行总结，写出分段函数的解析式．6.已知函数f（x）=，则y=f（x）的图象大致为(

)A． B． C． D．参考答案：B【考点】对数函数图象与性质的综合应用；对数函数的图像与性质．【专题】计算题．【分析】考虑函数f（x）的分母的函数值恒小于零，即可排除A，C，由f（x）的定义域能排除D，这一性质可利用导数加以证明【解答】解：设则g′（x）=∴g（x）在（﹣1，0）上为增函数，在（0，+∞）上为减函数∴g（x）＜g（0）=0∴f（x）=＜0得：x＞0或﹣1＜x＜0均有f（x）＜0排除A，C，又f（x）=中，，能排除D．故选B【点评】本题主要考查了函数解析式与函数图象间的关系，利用导数研究函数性质的应用，排除法解图象选择题，属基础题7.sin（﹣600°）=（）A． B． C．﹣ D．﹣参考答案：B8.庆“元旦”的文艺晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须安排在前两位，节目乙不能安排在第一位，节目丙必须安排在最后一位，则该晚会节目演出顺序的编排方案共有A．36种

B．42种

C．48种

D．54种参考答案：B9.函数的定义域为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D略10.已知函数的定义域为，值域为，则在平面直角坐标系内，点的运动轨迹与两坐标轴围成的图形的面积为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在中，，是的中点，若，在线段上运动，则下面结论正确的是__________.①是直角三角形；

②的最小值为；③的最大值为；

④存在使得参考答案：①②④略12.已知，为单位向量，且夹角为60°，若=+3，=2，则在方向上的投影为．参考答案：【考点】平面向量数量积的运算．【分析】运用向量数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，再由向量投影的定义可得在方向上的投影为，计算即可得到所求值．【解答】解：，为单位向量，且夹角为60°，可得?=||?||?cos60°=1×1×=，若=+3，=2，则?=22+6?=2+6×=5，||====，则在方向上的投影为==．故答案为：．【点评】本题考查向量的数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，同时考查向量投影的概念，运算能力，属于中档题．13.若对任意正实数a，不等式x2＜1+a恒成立，则实数x的最小值为．参考答案：-1考点：函数恒成立问题．专题：函数的性质及应用．分析：根据a是正实数，确定x2≤1，解得﹣1≤x≤1，所以实数x的最小值为﹣1．解答：解：∵a是正实数，∴1+a＞1，∴不等式x2＜1+a恒成立等价于x2≤1，解得：﹣1≤x≤1，∴实数x的最小值为﹣1，故答案为：﹣1．点评：本题考查不等式性质的应用以及恒成立命题的转化．属于中档题．14.现用若干张扑克牌进行扑克牌游戏．小明背对小亮，让小亮按下列四个步骤操作：第一步：分发左、中、右三堆牌，每堆牌不少于两张，且各堆牌的张数相同；第二步：从左边一堆拿出两张，放入中间一堆；第三步：从右边一堆拿出一张，放入中间一堆；第四步：左边一堆有几张牌，就从中间一堆拿出几张牌放入左边一堆．这时，小明准确地说出了中间一堆牌现有的张数．你认为中间一堆牌的张数是

．参考答案：515.设x，y满足，则z=2x﹣y的最大值为3，则m=

．参考答案：考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合z=2x﹣y的最大值为3，利用数形结合即可得到结论．．解答： 解：由z=2x﹣y，得y=2x﹣z，作出不等式对应的可行域（阴影部分），平移直线y=2x﹣z，由平移可知当直线y=2x﹣z，经过点A时，直线y=2x﹣z的截距最小，此时z取得最大值3，由，解得，即A（，）．将A的坐标代入x﹣y+m=0，得m=y﹣x=﹣=，故答案为：．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．16.定义在上的函数满足，当时，，则函数在上的零点个数是____________.参考答案：1207由可知是以5为周期的周期函数，又在区间内有3个零点，故在任意周期上都有3个零点，故上包含402个周期，又时也存在一个零点，故零点数为.17.将边长为2的正沿边上的高折成直二面角，则三棱锥的外接球的表面积为_________;

参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）已知函数f（x）=x2﹣ex3+ex（x﹣1）（其中e为自然对数的底数），记f（x）的导函数为f′（x）．（1）求函数y=f（x）的单调区间；（2）求证：当x＞0时，不等式f′（x）≥1+lnx恒成立．参考答案：考点： 利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题： 导数的综合应用．分析： （1）利用导数判断函数的单调性，求出单调区间；（2）当x＞0时，令h（x）=1+lnx+ex2﹣x﹣exx，求出导数h′（x），当x=1时，h′（x）=0，由（1）得，ex﹣ex≥0，讨论当x＞1时，当0＜x＜1时，导数的符号，从而得到h（x）的最大值，即可得证．解答： （1）解：）∵f（x）=x2﹣ex3+ex（x﹣1），∴f′（x）=﹣ex2+x+ex（x﹣1）+ex=x（ex+1﹣ex），令y=ex+1﹣ex，则y′=ex﹣e，y′＞0，得x＞1，y′＜0，得x＜1，则x=1取极小，也是最小，则y≥1．即ex+1﹣ex＞0恒成立，则g′（x）＞0得x＞0；g′（x）＜0得x＜0．故g（x）的增区间为（0，+∞），减区间为（﹣∞，0）．（2）证明：当x＞0时，1+lnx﹣f′（x）=1+lnx+ex2﹣x﹣exx，令h（x）=1+lnx+ex2﹣x﹣exx，h′（x）=+2ex﹣1﹣exx﹣ex，当x=1时，h′（x）=0，由（1）得，ex﹣ex≥0，当x＞1时，h′（x）＜0，当0＜x＜1时，h′（x）＞0，故x=1为极大值，也为最大值，且为h（1）=0．故当x＞0时，h（x）≤h（1），即有h（x）≤0，故当x＞0时，1+lnx﹣f′（x）≤0，即f′（x）≥1+lnx．点评： 本题考查导数的应用：求单调区间、求极值，求最值，考查构造函数证明不等式恒成立问题，转化为求函数的最值问题，应用导数求解，本题属于中档题．19.已知函数，其中.（Ⅰ）若，求函数的定义域和极值；（Ⅱ）当时，试确定函数的零点个数，并证明.参考答案：（Ⅰ）解：函数的定义域为，且.

………………1分.

………………3分令，得，当变化时，和的变化情况如下：↘↘

↗………………4分故的单调减区间为，；单调增区间为．所以当时，函数有极小值.

………………5分（Ⅱ）解：结论：函数存在两个零点.证明过程如下：由题意，函数，

因为，

所以函数的定义域为.

………………6分

求导，得，

………………7分

令，得，，当变化时，和的变化情况如下：↗

↘

↗故函数的单调减区间为；单调增区间为，．

当时，函数有极大值；当时，函数有极小值.

………………9分

因为函数在单调递增，且，所以对于任意，.

………………10分因为函数在单调递减，且，所以对于任意，.

………………11分因为函数在单调递增，且，，所以函数在上仅存在一个，使得函数，

…………12分故函数存在两个零点（即和）.

………………13分

略20.（本小题满分14分）如图，矩形ABCD中，，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE（1）设M为线段A1C的中点，求证：BM//平面A1DE；（2）当平面A1DE⊥平面BCD时，求直线CD与平面A1CE所成角的正弦值．

参考答案：【知识点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．G4G11

【答案解析】（1）见解析；（2）解析：（1）取的中点F，连结MF，则MF//CD，且MFCD，即MF∕∕BE，MF=BE，故四边形BEFM是平行四边形，则BM//EF，BM平面A1DE，EF平面A1DE，所以BM//平面A1DE；…………7分（2）由矩形ABCD中，AB=2BC=4，E为边AB的中点，可得ED2=22+22=8=CE2，CD2=42=16，∴CE2+ED2=CD2，∴∠CED=90°，∴CE⊥ED．又∵平面A1DE⊥平面BCD，∴CE⊥平面A1DE，∴CE⊥DA1．又∵DA1⊥A1E，A1E∩EC=E，∴DA1⊥平面A1CE，∴∠A1CE即为直线CD与平面A1CE所成的角．在Rt△A1CD中，sin∠A1CD，即直线CD与平面A1CE所成角的正弦值为．

……………14分【思路点拨】（1）取CD中点N，并连接MN，BN，容易证明平面BMN∥平面A1DE，所以便得到BM∥平面A1DE；（2）容易说明CE⊥平面A1DE，所以DA1⊥CE，又DA1⊥A1E，所以DA1⊥平面A1CE，所以∠A1CD便是直线CD与平面A1CE所成角，所以该角的正弦值为．21.（09年扬州中学2月月考）（16分）已知为实数，数列满足，当时，，（Ⅰ）；(5分)（Ⅱ）证明：对于数列，一定存在，使；(5分)（Ⅲ）令，当时，求证：(6分)参考答案：解析:（Ⅰ）由题意知数列的前34项成首项为100,公差为－3的等差数列,从第35项开始,奇数项均为3,偶数项均为1,从而=

……(3分)

=.

…………(5分)

（Ⅱ）证明：①若,则题意成立…(6分)②若,此时数列的前若干项满足,即.设,则当时,.从而此时命题成立