2022-2023学年吉林省四平市公主岭第三中学高三数学理模拟试题含解析

2022-2023学年吉林省四平市公主岭第三中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.过抛物线y=x2上的点的切线的倾斜角（） A．30° B．45° C．60° D．135°参考答案：B【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程． 【专题】方程思想；转化法；导数的概念及应用． 【分析】求得函数的导数，求得切线的斜率，由直线的斜率公式，可得倾斜角． 【解答】解：y=x2的导数为y′=2x， 在点的切线的斜率为k=2×=1， 设所求切线的倾斜角为α（0°≤α＜180°）， 由k=tanα=1， 解得α=45°． 故选：B． 【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查直线的倾斜角的求法，考查运算能力，属于基础题． 2.市内某公共汽车站6个候车位（成一排），现有3名乘客随便坐在某个座位上候车，则恰好有2个连续空座位的候车方式的种数是A.48

B.54

C.72

D.84参考答案：3.已知是由正数组成的等比数列，表示的前项的和．若，，则的值是

（A）511

（B）1023

（C）1533

（D）3069参考答案：D略4.已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，且双曲线与抛物线x2=﹣4y的准线交于A，B，S△OAB=，则双曲线的实轴长（） A．2 B．4 C．2 D．4参考答案：A【考点】双曲线的简单性质． 【专题】数形结合；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，可得==，a=b．抛物线x2=﹣4y的准线为：y=．代入双曲线方程可得A，B的坐标，|AB|．利用S△OAB=即可得出． 【解答】解：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为， ∴==，可得a=b． 抛物线x2=﹣4y的准线为：y=． 代入双曲线方程可得：， 解得x=±． ∴|AB|=2． ∴S△OAB==×=×， 解得a2=2， ∴a=． 则双曲线的实轴长为2． 故选：A． 【点评】本题考查了圆锥曲线的标准方程及其性质、三角形的面积计算公式，考查了数形结合方法、计算能力，属于中档题． 5.定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），f（x﹣2）=f（x+2），且x∈（﹣1，0）时，f（x）=2x+，则f（log220）=（）A．﹣1 B． C．1 D．﹣参考答案：A【考点】函数的值．【分析】由已知得函数f（x）为奇函数，函数f（x）为周期为4是周期函数，4＜log220＜5，f（log220）=﹣f（log2），由f（log2）=1，能求出f（log220）=﹣1．【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），∴函数f（x）为奇函数又∵f（x﹣2）=f（x+2）∴函数f（x）为周期为4是周期函数又∵log232＞log220＞log216∴4＜log220＜5∴f（log220）=f（log220﹣4）=f（log2）=﹣f（﹣log2）=﹣f（log2）又∵x∈（﹣1，0）时，f（x）=2x+，∴f（log2）=1故f（log220）=﹣1．故选：A．6.某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的体积等于（A）（B）（C）（D）参考答案：D本题考查三视图还原和锥体体积的计算抠点法:在长方体中抠点,1.由正视图可知:上没有点;2.由侧视图可知:上没有点;3.由俯视图可知:上没有点;4.由正（俯）视图可知:处有点,由虚线可知处有点,A点排除.由上述可还原出四棱锥,如右图所示,,.故选D.7.已知函数f（x）=ln（﹣3x）+1，则f（lg2）+f（lg）=(

)A．﹣1 B．0 C．1 D．2参考答案：D【考点】函数奇偶性的性质；函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】判断函数y=ln（﹣3x）的奇偶性，然后求解函数值即可．【解答】解：因为函数g（x）=ln（﹣3x）满足g（﹣x）=ln（+3x）=﹣ln（﹣3x）=﹣g（x），函数是奇函数，g（lg2）+g（﹣lg2）=0，所以f（lg2）+f（lg）=f（lg2）+f（﹣lg2）=0+1+1=2．故选：D．【点评】本题考查函数的奇偶性的应用，函数值的求法，考查计算能力．8.直线与圆相切，则实数等于（

）A．或

B．或

C．或

D．或参考答案：B略9.已知实数的取值范围是参考答案：C【知识点】简单线性规划．E5

解析：由约束条件作可行域如图，联立，解得，∴A（2，﹣1），联立，解得，∴．令u=2x﹣2y﹣1，则，由图可知，当经过点A（2，﹣1）时，直线在y轴上的截距最小，u最大，最大值为u=2×2﹣2×（﹣1）﹣1=5；当经过点时，直线在y轴上的截距最大，u最小，最小值为u=．∴，∴z=|u|∈[0，5）．故选：C．【思路点拨】由约束条件作出可行域如图，令u=2x﹣2y﹣1，由线性规划知识求出u的最值，取绝对值求得z=|u|的取值范围．10.设变量x、y满足约束条件，则目标函数的取值范围为

A.

B.

C.

D.参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在平面四边形ABCD中，∠A=45°，∠B=120°，AB=，AD=2．设CD=t，则t的取值范围是

．参考答案：．【分析】在△ABD中，由余弦定理得DB=，即.，点C在射线BT上运动（如图），要使ABCD为平面四边形ABCD，当DC⊥BT时，CD最短，为，当A，D，C共线时，如图，在△ABC2中，由正弦定理可得，．即可得到答案．【解答】解：在△ABD中，∵∠A=45°，∠B=120°，AB=，AD=2，由余弦定理得BD2=AD2+AB2﹣2AD?ABcosA=2．∴DB=，即△ABD为等腰直角三角形，．∴，所以点C在射线BT上运动（如图），要使ABCD为平面四边形ABCD，当DC⊥BT时，CD最短，为，当A，D，C共线时，如图，在△ABC2中，由正弦定理可得解得，．∴设CD=t，则t的取值范围是[，1+），故答案为：．12.已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上不存在点P，使得∠APB为直角，则实数m的取值范围是．参考答案：（0，4）∪（6，+∞）【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的圆心C（3，4），半径r=1，设P（a，b）在圆C上，则=（a+m，b），=（a﹣m，b），由已知得m2=a2+b2=|OP|2，m的最值即为|OP|的最值，可得结论．【解答】解：圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的圆心C（3，4），半径r=1，设P（a，b）在圆C上，则=（a+m，b），=（a﹣m，b），若∠APB=90°，则⊥，∴?=（a+m）（a﹣m）+b2=0，∴m2=a2+b2=|OP|2，∴m的最大值即为|OP|的最大值，等于|OC|+r=5+1=6．最小值为5﹣1=4，∴m的取值范围是（0，4）∪（6，+∞）．故答案为：（0，4）∪（6，+∞）．13.已知函数若函数f（x）的图象与x轴有且只有两个不同的交点，则实数m的取值范围为．参考答案：（﹣5，0）考点：利用导数研究函数的极值；根的存在性及根的个数判断．专题：计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：由分段函数知，分段讨论函数的单调性，从而求导可知f（x）在上是增函数，从而化为函数f（x）在与（1，+∞）上各有一个零点；从而求实数m的取值范围．解答：解：当0≤x≤1时，f（x）=2x3+3x2+m，f′（x）=6x2+6x=6x（x+1）≥0；故f（x）在上是增函数，故若使函数f（x）的图象与x轴有且只有两个不同的交点，则函数f（x）在与（1，+∞）上各有一个零点；故m＜0，故，解得，m∈（﹣5，0）；故答案为：（﹣5，0）．点评：本题考查了导数的综合应用及分段函数的应用，属于中档题．14.定义在R上的函数满足，当时，，若时，关于x的方程有解，则实数a的取值范围是_______．参考答案：15.对一块边长为1的正方形进行如下操作:第一步,将它分割成3x3方格，接着用中心和四个角的5个小正方形，构成如图①所示的几何图形，其面积；第二步,将图①的5个小正方形中的每个小正方形都进行与第一步相同的操作,得到图②;依此类推，到第?步,所得图形的面积.若将以上操作类比推广到棱长为1的正方体中，则(I)当n=1时,所得几何体的体积V1=______.

(II)到第n步时，所得几何体的体积Vn=______.参考答案：

16.在R上定义运算△：x△y=x(1-y)若不等式(x-a)△(x+a)<1,对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是

。参考答案：17.若实数满足，则的值域是_______________.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）已知函数，，是常数．（1）求函数的图象在点处的切线方程；（2）若函数图象上的点都在第一象限，试求常数的取值范围.参考答案：（1）函数的定义域为,

，函数的图象在点处的切线为，即…………4分（2）①时，，因为，所以点在第一象限，依题意，②时，由对数函数性质知，时，，，从而“，”不成立③时，由得，设，

－↘极小值↗

，从而，综上所述，常数的取值范围…………8分（3）计算知设函数，当或时，，因为的图象是一条连续不断的曲线，所以存在，使，即，使；当时，、，而且、之中至少一个为正，由均值不等式知，，等号当且仅当时成立，所以有最小值，且，此时存在（或），使综上所述，，存在，使………………12分19.（14分）已知数列满足

（I）求数列的通项公式；

（II）若数列{bn}滿足证明：数列{bn}是等差数列；（Ⅲ）证明：参考答案：解析：（I）

是以为首项，2为公比的等比数列。

即

（II）证法一：

①

②

②－①，得

即

③－④，得

即

是等差数列。

证法二：同证法一，得

令得

设下面用数学归纳法证明

（1）当时，等式成立。

（2）假设当时，那么

这就是说，当时，等式也成立。

根据（1）和（2），可知对任何都成立。

是等差数列。

（III）证明：

20.（本题满分15分）已知函数．（1）求函数的图像在点处的切线方程；（2）若，且对任意恒成立，求的最大值；（3）当时，证明．参考答案：（1）解：因为，所以，函数的图像在点处的切线方程；…………3分（2）解：由（1）知，，所以对任意恒成立，即对任意恒成立．…………4分令，则，……4分令，则，所以函数在上单调递增．………5分因为，所以方程在上存在唯一实根，且满足．当，即，当，即，…6分所以函数在上单调递减，在上单调递增．所以．…………7分所以．故整数的最大值是3．………8分（3）由（2）知，是上的增函数，……………9分所以当时，．…10分即．整理，得．………………11分因为，所以．…12分即．即．………………13分所以．………14分略21.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为：（为参数，），将曲线经过伸缩变换：得到曲线.（1）以原点为极点，