2021年广东省茂名市第二十高级中学高二数学文上学期期末试卷含解析

2021年广东省茂名市第二十高级中学高二数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.△ABC中，AB=3，BC=4，CA=5，则=（）A．15 B．9 C．﹣15 D．﹣9参考答案：B【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算律．【分析】根据平面向量的数量积与勾股定理，即可求出的值．【解答】解：△ABC中，AB=3，BC=4，CA=5，∴⊥，如图所示；∴=||×||×cosA=||×||=3×3=9．故选：B．2.设，则的值为…（

）(A) (B) (C) (D)参考答案：B3.若i为虚数单位，对于实数a、b,下列结论正确的是（

）A.a+bi是实数

B．a+bi是虚数

C．a+bi是复数

D．a+bi≠0参考答案：C略4.下列求导结果正确的是（

）A. B.C. D.参考答案：D【分析】按照基本初等函数的求导法则，求出、、、选项中正确的结果即可．【详解】对于A，，故A错误；对于B，，故B错误；对于C，，故C错误；对于D，，故D正确．故选：D．【点睛】本题考查基本初等函数求导问题，解题时应按照基本初等函数的求导法则进行计算，求出正确的导数即可．5.已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是 A．若m∥α，n∥α，则m∥n

B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β C．若m∥α，m∥β，则α∥β

D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n参考答案：D6.复数

的虚部是（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：C略7.甲、乙两名同学八次数学测试成绩如茎叶图所示，则甲同学成绩的众数与乙同学成绩的中位数依次为（）A．85，86 B．85，85 C．86，85 D．86，86参考答案：B【考点】茎叶图．【专题】对应思想；数形结合法；概率与统计．【分析】根据中位数是一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序依次排列，处在中间位置的一个数（或中间两个数据的平均数），求出即可．【解答】解：由茎叶图知，甲的8个得分中，按照从小到大的顺序依次排列，处在中间位置的两个数是85和85，所以中位数是85，同理，乙的中位数是85．故选：B．【点评】本题考查了中位数的定义与应用问题，也考查了茎叶图的应用问题，是基础题目．8.设函数

，若，则当时，有（

）A

BC

D与的大小不确定参考答案：A9.若函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f（x）具有T性质．下列函数中具有T性质的是（）A．y=sinx B．y=lnx C．y=ex D．y=x3参考答案：A【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】若函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则函数y=f（x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1，进而可得答案．【解答】解：函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则函数y=f（x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1，当y=sinx时，y′=cosx，满足条件；当y=lnx时，y′=＞0恒成立，不满足条件；当y=ex时，y′=ex＞0恒成立，不满足条件；当y=x3时，y′=3x2＞0恒成立，不满足条件；故选：A【点评】本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，转化思想，难度中档．10.将正方形ABCD沿对角线BD折起，使平面ABD⊥平面CBD，E是CD的中点，则异面直线AE、BC所成角的正切值为www.ks5u

（

）

A．

B．

C．2

D．参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.的展开式中的系数是

．参考答案：243二项式展开式的通项为，∴展开式中x2的系数为.

12.已知某厂生产一种产品的质量指标值X服从正态分布，则从该厂随机抽取的10000件产品中，质量指标值不低于81.91的产品约有

件．附：参考答案：

1587

13.在平面直角坐标系xOy中，过点P（﹣5，a）作圆x2+y2﹣2ax+2y﹣1=0的两条切线，切点分别为M（x1，y1），N（x2，y2），且+=0，则实数a的值为

．参考答案：3或﹣2【考点】圆的切线方程．【专题】计算题；直线与圆．【分析】两者的和实质上是一个斜率与另一个斜率的倒数和，进而可得两斜率乘积为﹣1，可得P，Q，R，T共线，即可求出实数a的值．【解答】解：设MN中点为Q（x0，y0），T（1，0），圆心R（a，﹣1），根据对称性，MN⊥PR，===，∵kMN=，+=0∴kMN?kTQ=﹣1，∴MN⊥TQ，∴P，Q，R，T共线，∴kPT=kRT，即，∴a2﹣a﹣6=0，∴a=3或﹣2．故答案为：3或﹣2．【点评】本题考查实数a的值，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．14.某个电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为，两次闭合后都出现红灯的概率为，则在第一次闭合后出现红灯的条件下，第二次闭合闭合后出现红灯的概率为________.参考答案：.【分析】先记“第一次闭合后出现红灯”为事件，“第二次闭合后出现红灯”为事件，根据条件概率计算公式，即可求出结果.【详解】记“第一次闭合后出现红灯”为事件，“第二次闭合后出现红灯”为事件，则，，所以，在第一次闭合后出现红灯的条件下，第二次闭合闭合后出现红灯的概率为.故答案为【点睛】本题主要考查条件概率，熟记条件概率的计算公式即可，属于常考题型.15.已知函数在时有极值0，则=

．

．参考答案：=2．

9略16.执行右边的框图，若输出的结果为8，则输入的x的值是

；参考答案：略17.函数的导数处取到极大值，则a的取值范围

参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面为菱形，∠BCD=120°，AB=PC=2，AP=BP=．（Ⅰ）线段AB上是否存在点M，使AB⊥平面PCM？并给出证明．（Ⅱ）求直线PB与平面PCD的正弦值．参考答案：【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）利用当M是AB的中点时，AB⊥平面PCM，证明AB⊥PM，AB⊥CM，即可证明．（Ⅱ）过点M作MN⊥PC交PC于点N，点M与B到平面PMC的距离相等，即可求直线PB与平面PCD的正弦值．【解答】解：（Ⅰ）当M是AB的中点时，AB⊥平面PCM…∵AP=PB，∴AB⊥PM又△ACB中，AB=BC，∠ABC=60°，∴△ABC是正三角形，∴AB⊥CM又PM∩CM=M，∴AB⊥平面PCM…（Ⅱ）过点M作MN⊥PC交PC于点N，由AB⊥平面PCM，AB∥CD得，CD⊥平面PCM又CD?平面PCD，∴平面PCD⊥平面PCM又MN?平面PCD，∴MN⊥平面PCD…由已知可得，在Rt△PCM中，由面积公式得PM=，…又AB∥CD，AB?平面PCM，∴AB∥平面PCM即点M与B到平面PMC的距离相等，即为，…又PB=3，∴PB与平面PCD所成角的正弦值为，…19.已知圆A过点，且与圆B：关于直线对称.(1)求圆A的方程；(2)若HE、HF是圆A的两条切线，E、F是切点，求的最小值。(3)过平面上一点向圆A和圆B各引一条切线,切点分别为C、D，设，求证：平面上存在一定点M使得Q到M的距离为定值，并求出该定值.参考答案：解:（1）设圆A的圆心A（a，b），由题意得：解得,设圆A的方程为，将点代入得r＝2∴圆A的方程为：（2）设，，则当且仅当即时取等号，∴的最小值为（3）由（1）得圆A的方程为：，圆B：，由题设得，即，∴化简得：∴存在定点M()使得Q到M的距离为定值. 略20.（本小题满分16分）已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，一条渐近线方程为，且过点．（1）求双曲线方程；（2）设点坐标为，求双曲线上距点最近的点的坐标及相应的距离．

参考答案：解：（1）由题意，设双曲线方程为

------------------2分将点代入双曲线方程，得，即

----------------------5分所以，所求的双曲线方程为

----------------------7分（2）设双曲线上任意一点，则从而=

----------------------12分当时有最小值所以当的坐标为时有最小值．

----------------------16分21.已知{an}为等差数列，且a3＝－6，a6＝0.(1)求{an}的通项公式；(2)若等比数列{bn}满足b1＝－8，b2＝a1＋a2＋a3，求{bn}的前n项和公式．参考答案：略22.已知命题P：在R上定义运算?：x?y=（1﹣x）y．不等式x?（1﹣a）x＜1对任意实数x恒成立；命题Q：若不等式≥2对任意的x∈N*恒成立．若P∧Q为假命题，P∨Q为真命题，求实数a的取值范围．参考答案：考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：（1）由题意知，x?（1﹣a）x=（1﹣x）（1﹣a）x，若命题P为真，（1﹣a）x2﹣（1﹣a）x+1＞0对任意实数x恒成立，对1﹣a分类讨论：当1﹣a=0时，直接验证；当1﹣a≠0时，，解出即可．（2）若命题Q为真，不等式≥2对任意的x∈N*恒成立，可得（x2+ax+6）≥2（x+1）对任意的x∈N*恒成立，即对任意的x∈N*恒成立，利用基本不等式的性质即可得出．由于P∧Q为假命题，P∨Q为真命题，可得P，Q中必有一个真命题，一个假命题．解答：解：（1）由题意知，x?（1﹣a）x=（1﹣x）（1﹣a）x，若命题P为真，（1﹣a）x2﹣（1﹣a）x+1＞0对任意实数x恒成立，∴①当1﹣a=0即a=1时，1＞0恒成立，∴a=1；②当1﹣a≠0时，，∴﹣3＜a＜1，综合①②得，﹣3＜a≤1．若命题Q为真，∵x＞0，∴x+1＞0，则（x2+ax+6）≥2（x+1）对任意