2021-2022学年江西省景德镇市鸬鹚中学高三数学理模拟试题含解析

2021-2022学年江西省景德镇市鸬鹚中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知双曲线右支上的一点到左焦点距离与到右焦点的距离之差为，且到两条渐近线的距离之积为,则双曲线的离心率为A． B． C． D．参考答案：D2.已知函数，点是平面区域内的任意一点，若的最小值为-6，则的值为（

）A．-1

B．0

C.

1

D．2参考答案：A3.设f(x)是连续的偶函数，且当x>0时是单调函数，则满足f(2x)＝f()的所有x之和为()(A)－

(B)－

(C)－8

(D)8参考答案：D略4.直线与圆相切，则圆的半径最大时，的值是（

）A．

B．

C．

D．可为任意非零实数参考答案：C略5.已知R是实数集，M=，则NCRM=A．（1,2）

B．[0,2]

C．

D．[1,2]参考答案：D6.已知，f（x）在x=x0处取得最大值，以下各式中正确的序号为（）①f（x0）＜x0；②f（x0）=x0；③f（x0）＞x0；④；⑤．A．①④ B．②④ C．②⑤ D．③⑤参考答案：B【分析】求导函数，可得令g（x）=x+1+lnx，则函数有唯一零点，即x0，代入验证，即可得到结论．【解答】解：求导函数，可得令g（x）=x+1+lnx，则函数有唯一零点，即x0，∴﹣x0﹣1=lnx0∴f（x0）==x0，即②正确=∵﹣x0﹣1=lnx0，∴=x=时，f′（）=﹣＜0=f′（x0）∴x0在x=左侧∴x0＜∴1﹣2x0＞0∴＜0∴∴④正确综上知，②④正确故选B．【点评】本题考查导数知识的应用，考查学生分析解决问题的能力，有难度．7.七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，是由七块板组成的．而这七块板可拼成许多图形，例如：三角形、不规则多边形、各种人物、动物、建筑物等，清陆以湉《冷庐杂识》写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余．在18世纪，七巧板流传到了国外，至今英国剑桥大学的图书馆里还珍藏着一部《七巧新谱》．若用七巧板拼成一只雄鸡，在雄鸡平面图形上随机取一点，则恰好取自雄鸡鸡尾（阴影部分）的概率为（

）A. B. C. D.参考答案：C【分析】设包含7块板的正方形边长为4，其面积为16，计算雄鸡的鸡尾面积为2，利用几何概型概率计算公式得解．【详解】设包含7块板的正方形边长为4，其面积为则雄鸡的鸡尾面积为标号为6的板块，其面积为所以在雄鸡平面图形上随机取一点，则恰好取自雄鸡鸡尾（阴影部分）的概率为.故选C.【点睛】本题主要考查了几何概型概率计算，考查观察能力，属于基础题．8.函数的导数是 （

） A． B． C． D． 参考答案：B略9.已知，，则的值是A.

－B.－C.D.参考答案：C略10.将函数的图象向左平移1个单位长度，那么所得图象的函数解析式为（）A．

B．C．

D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（5分）已知复数z=m﹣i（m∈R，i为虚数单位），若（1+i）z为纯虚数，则|z|=．参考答案：【考点】：复数代数形式的乘除运算．【专题】：数系的扩充和复数．【分析】：利用多项式的乘法运算法则，化简复数为a+bi的形式，通过复数是纯虚数，求出m，然后求解复数的模．解：复数z=m﹣i（m∈R，i为虚数单位），（1+i）（m﹣i）=m+1+（m﹣1）i，∵（1+i）z为纯虚数，∴m=﹣1，z=﹣1﹣i，∴|z|=．故答案为：【点评】：本题主要考查复数的代数形式的混合运算，复数的模的计算，比较基础．12.已知函数f（x）=﹣2x，若存在实数a∈（﹣∞，﹣2），使得f（a）+g（b）=0成立，则实数b的取值范围是．参考答案：（﹣1，3）【考点】函数的值．【分析】函数f（x）=﹣3﹣，f（x）在x＜﹣2上单调递减，求出f（x）的值域；存在实数a∈（﹣∞，﹣2），使得f（a）+g（b）=0成立即f（a）=﹣g（b）=2b﹣b2＞﹣3．【解答】解：函数f（x）=，x∈（﹣∞，﹣2）函数f（x）=﹣3﹣，f（x）在x＜﹣2上单调递减；所以f（x）∈（﹣3，+∞）；存在实数a∈（﹣∞，﹣2），使得f（a）+g（b）=0成立即f（a）=﹣g（b）=2b﹣b2＞﹣3；解得﹣1＜b＜3．故答案为：（﹣1，3）．13.若实数x，y满足，如果目标函数的最小值为，则实数m=______.参考答案：8略14.（坐标系与参数方程）在极坐标中，圆的圆心到直线的距离为

.参考答案：15.已知：数列满足，，则的最小值为______参考答案：7

略16.已知函数f（x）=3x3﹣ax2+x﹣5在区间[1，2]上单调递增，则a的取值范围是

．参考答案：a≤5【考点】函数的单调性与导数的关系．【专题】函数的性质及应用．【分析】函数f（x）=3x3﹣ax2+x﹣5在区间[1，2]上单调递增，即f′（x）=9x2﹣2ax+1≥0在区间[1，2]上恒成立，即a≤在区间[1，2]上恒成立，构造函数g（x）=，利用导数法求出其最小值，可得答案．解：∵函数f（x）=3x3﹣ax2+x﹣5在区间[1，2]上单调递增，∴f′（x）=9x2﹣2ax+1≥0在区间[1，2]上恒成立，即a≤在区间[1，2]上恒成立，令g（x）=，则g′（x）=，当x∈[1，2]时，g′（x）＞0恒成立，故当x=1时，g（x）取最小值5，故a≤5，故答案为：a≤5．【点评】本题考查的知识点是函数的单调性与导数的关系，恒成立问题，难度中档．17.某三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的体积为参考答案：4【考点】空间几何体的表面积与体积空间几何体的三视图与直观图【试题解析】三棱柱的底面是等腰直角三角形，高为2，

所以三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）在一次对某班42名学生参加课外篮球、排球兴趣小组（每人参加且只参加一个兴趣小组）情况调查中，经统计得到如下2×2列联表：（单位：人）

篮球排球总计男同学16622女同学81220总计241842（Ⅰ）据此判断是否有95%的把握认为参加“篮球小组”或“排球小组”与性别有关？（Ⅱ）在统计结果中，如果不考虑性别因素，按分层抽样的方法从两个兴趣小组中随机抽取7名同学进行座谈．已知甲、乙、丙三人都参加“排球小组”．①求在甲被抽中的条件下，乙丙也都被抽中的概率；②设乙、丙两人中被抽中的人数为X，求X的分布列及数学期望E(X)．下面临界值表供参考：50.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式：命题意图:考查分类变量的独立性检验，条件概率，随机变量的分布列、数学期望等，中等题.参考答案：（Ⅰ）由表中数据得K2的观测值k≈4.582>3.841.

……2分所以，据此统计有95%的把握认为参加“篮球小组”或“排球小组”与性别有关．……4分（Ⅱ）①由题可知在“排球小组”的18位同学中，要选取3位同学．方法一：令事件A为“甲被抽到”；事件B为“乙丙被抽到”，则P(A∩B)，P(A).所以P(B|A).

……7分方法二：令事件C为“在甲被抽到的条件下，乙丙也被抽到”，则P(C).②由题知X的可能值为0，1，2.依题意P(X0)；P(X1)；P(X2).

从而X的分布列为X012P

……10分于是E(X)0×＋1×＋2×.

……12分19.(本小题满分16分)

在数列中，已知，为常数.

(1)证明:成等差数列;

(2)设，求数列的前n项和；（3）当时，数列中是否存在三项成等比数列，且也成等比数列?若存在，求出的值；若不存在，说明理由.参考答案：【知识点】数列的求和；等比数列的性质；数列递推式．D1D3D4(1)见解析；(2)当，当．（3）不存在三项成等比数列，且也成等比数列．解析：（1）因为，所以，同理，，，……2分又因为，，…………………3分所以，故，，成等差数列．…………4分（2）由，得，…………5分令，则，，所以是以0为首项，公差为的等差数列，所以，…………………6分即，所以，所以．………8分当，

……………9分当．………………10分（3）由（2）知，用累加法可求得，当时也适合，所以……12分假设存在三项成等比数列，且也成等比数列，则，即，………14分因为成等比数列，所以，所以，化简得，联立，得．这与题设矛盾．故不存在三项成等比数列，且也成等比数列．…16分【思路点拨】（1）利用递推式可得，再利用等差数列的定义即可证明；（2）由，得，令，利用等差数列的通项公式可得，即可得出．利用等比数列的前n项和公式即可得出．（3）由（2）知，用累加法可求得，当n=1时也适合，假设存在三项成等比数列，且也成等比数列，利用等比数列的通项公式即可得出．20.某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如表资料：日期1月10日2月10日3月10日4月10日5月10日6月10日昼夜温差x（°C）1011131286就诊人数y（个）222529261612该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．（1）求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；（2）若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出y关于x的线性回归方程=bx+a；（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问（2）中所得线性回归方程是否理想？参考公式：b==，a=．参考答案：【考点】线性回归方程．【分析】（1）本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从6组数据中选取2组数据共有C62种情况，满足条件的事件是抽到相邻两个月的数据的情况有5种，根据古典概型的概率公式得到结果．（2）根据所给的数据，求出x，y的平均数，根据求线性回归方程系数的方法，求出系数b，把b和x，y的平均数，代入求a的公式，做出a的值，写出线性回归方程．（3）根据所求的线性回归方程，预报当自变量为10和6时的y的值，把预报的值同原来表中所给的10和6对应的值做差，差的绝对值不超过2，得到线性回归方程理想．【解答】解：（1）设柚到相邻两个月的教据为事件A．因为从6组教据中选取2组教据共有15种情况，每种情况都是等可能出现的其中，抽到相邻两个月份的教据的情况有5种，所以．（2）由教据求得，由公式求得，再由．所以y关于x的线性回归方程为．（3）当x=10时，；同样，当x=6时，，所以该小组所得线性回归方程是理想的．21.（本小题满分13分）已知椭圆经过点．（Ⅰ）求椭圆的方程及其离心率；（Ⅱ）过椭圆右焦点的直线（不经过点）与椭圆交于两点，当的平分线为时，求直线的斜率．参考答案：（Ⅰ）把点代入，可得．故椭圆的方程为，椭圆的离心率为．……4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知：．当的平分线为时，由和知：轴．记的斜率分别为．所以，的斜率满足……6分设直线方程为，代入椭圆方程并整理可得，．

设，则又，则，．……8分所以=

…………11分即．

．

……………13分22.（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，=（，c﹣2b），=（sin2C，1），且满足=0．（1）求∠A的大小；（2）若a=1，求△ABC周长的取值范围．参考答案：【分析】（I）由已知及平面向量数量积的运算可得2acosC+c﹣2b=0，由余弦定理整理得b2+c2﹣a2=bc，可求cosA=，结合范围0＜A＜π，即可解得A的值．（II）由正弦定理及恒等变换的应用可得△ABC的周长l=a+b+c=1+（sinB+sinC）=2sin（B+）+1，结合范围0＜B＜，可求＜sin（B+）≤1，即可得解周长的取值范围．【解答】（本小题满分12分）解：（I）∵=0，∴sin2C+c﹣2b=，…（2分）∴，即2acosC+c﹣2b=0，…（3分）由余弦定理得：2a+c﹣2b=0，…（