上海新中高级中学2020-2021学年高二下学期月考数学试题

上海市新中高级中学2020-2021学年高二下学期月考数学试题学校:姓名：班级：考号：一、填空题.平面。外的直线。与平面。所成的角是夕，则e的取值范围是..下列四个命题，其中真命题的个数是.①任意两条直线都可以确定一个平面；②若两个平面有3个不同的公共点，则这两个平面重合；③直线a,b，C,若。与b共面，6与。共面，则。与c共面；④若直线/上有一点在平面。外，则/在平面a外..已知长方体A5CD-A/iGR中，A6=2,AO=LAAi=1,点石在楂人5上移动，当AE=时，直线与平面A41A。所成角为45:.如图，三棱锥A—5CD中，A5=AC=5O=CO=3,AQ=5C=2,点分别是AR6C的中点，则异面直线AMCM所成的角的余弦值是.如图，在正方体A5CO—A]5]C；A中，A6=l，。口中点为。，过A、。、鸟三点的截面面积为.已知边长为JT的正AA5C的三个顶点都在球。的表面上，且。4与平面A5C所成的角为60。，则球。的表面积为..如图是正四面体的平面展开图，M、N、G分别为Of,BE,九石的中点，则在这个正四面体中，MN与CG所成角的大小为.（结果用反三角函数值表示）

MM.如图，正三棱柱A5C—A&G中，A6=l，若二面角c—A6—G的大小为60。,则点4到直线AB距离为..如图，在三楂锥O—A6C中，三条侧棱OA,05,OC两两垂直且相等，M是A5中点，则QM与平面A5c所成角的大小是.（结果用反三角函数值表示）nn.如图，天花板上悬挂着灯管A5,AB=60cm,灯线C4=06=50。〃，为了提高灯管高度，将灯管A5绕过45中点。的铅垂线OO'旋转60°,则该灯管升高了二、单选题.从正方体的八个顶点中任取四个点连线，在能构成的一对异面直线中，其所成的角的度数不可能是A.30°的度数不可能是A.30°B.45°C.60°D.90°.已知三楂柱A5C-44a的侧棱与底面垂直，所有楂长均为JJ.0是底面A6C中心，则尸4与平面A5C所成角大小是（）A.5乃12nA.5乃12nB.-

3D.7C6.《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设A4是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以AA为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（）A.4B.8C.12D.16.下列命题中，真命题的个数是（）①底面是矩形的平行六面体是长方体；②棱长都相等的直四棱柱是正方体；③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体；④相邻两个面垂直于底面的棱柱是直棱柱：⑤各侧面是全等的等腰三角形的棱锥一定是正楂锥；⑥三棱锥的顶点在底面上的射影是底面三角形的垂心，则这个棱锥的三条侧棱长相等.A,0B.1C.2D.3三、解答题.圆锥的轴截面是等腰直角三角形，底面半径为1,点。是圆心，过顶点S的截面SA6与底面所成的二面角S—A5—O大小是60。.（1）求点。到截面S45的距离；（2）点。为圆周上一点，且4。。=2，。是S5中点，求异面直线SO与CO所成2角的大小.（结果用反三角函数值表示）.如图，在正三棱柱A6C—4MG中，A5=AA=2,点P，0分别为A4,BC（1）异面直线"与4G所成角大小：（2）求直线CQ与平面AQC1所成角的正弦值..边长为1的正方形AA。1。（及其内部）绕的。。1旋转一周形成圆柱，如图，AC长为|乃，A4长为2，其中坊与C在平面4400的同侧.（1）求二面角A-«丹一。的大小；（结果用反三角函数值表示）（2）用一平行于。的平面去截这个圆柱，若该截面把圆柱侧面积分成1:3两部分,求。。】与该截面的距离：（3）求线段oc,绕着。。|旋转］所形成的几何体的表面积..在三楂柱A6C—中，A45c是正三角形，AB=2，,点4在底面A5C上的射影。恰好是5c中点，侧棱和底面成45。角.

（1）求证：AA^BC；（2）求二面角c—aa—b的大小；（3）求直线A5与平面AA。所成角的大小.参考答案【分析】根据直线在平面外包含：直线与平面相交、直线与平面平行，即可求解.【详解】直线。在平面。外包含两种情况：直线。与平面。相交、直线。与平面。平行.当直线。与平面a相交时，,当直线。与平面a平行时，6=0,所以6的取值范围为L2」故答案为[o，/]【点睛】本题主要考查直线与平面的位置关系及直线与平面所成的角的范闱，属于基础题.1【分析】根据平面的公理、异面直线的定义、直线与平面的位置关系即可判断.【详解】①错误，若两条直线异面，则不能确定一个平面：②错误，若这三点共线，则这两个平面有可能相交；③错误，若直线。与C异面，直线b与a,C都相交，则〃与人共面，b与C共面，但。与c异面；④正确，直线/上有一点在平面。外，则/与平面。相交或平行.故答案为1【点睛】本题主要考查点线面的位置关系，属于基础题.V2【解析】试题分析：

DIClDICl乙也港为直线RE与平面相2。所成角，&D[E=45°,,肛=AEtanZ-4Z>1£=-z-=1，所以KE=6-」4Z）]考点：线面角7-8【解析】如下图，连结ON,取DN中点P,连结尸河，PC,则可知N?.WC即为异面直线，所成角（或其补角）易得ri/=Lwn=JJ,考点：异面直线的夹角.

【分析】根据题意作出截面，即可求解.【详解】取G2的中点夕，连接AQ,QP,P用,4片，。与，如图QP//AB1,所以4,4，P,。共面，即过人、。、纥三点的截面为A67。，因为42=因,PQ=；A耳，所以截面为等腰梯形，故面积为gg+&)x空=|9故答案为—【点睛】本题主要考查利用平面的基本性质作截面，考查作图能力，属于基础题.167r【解析】设正A45C的外接圆圆心为。］,连接。。「。内，则。q_LOQ,角NQ4Q是OA与平面A5c所成的角为60°，由正415。的边长为JT可知4。1=L,所以Oq="在1^也。。/中「.。4=反1=2,，球0的表面枳为4乃><22=16)，故答案为16万.7V3arccos——3【分析】根据展开图还原几何体，利用平移找到异面直线所成的角，根据余弦定理即可求解.【详解】由正四面体的平面展开图可得正四面体如图所示，其中点4民C重合

，连接。G,因为M,N为。旦AE的中点，所以MN所以“4G即为A/N与CG所成的角或补角，不妨设正四面体的校长为2,则AG=OG=JJ,在△AOG中，由余弦定理可得，cosZDAG=心△AOG中，由余弦定理可得，cosZDAG=心+AG「OG[4+3-32ADDG2x2x>/J3，所以MN与CG所成角的大小为arccos.3故答案为arccos—3【点睛】本题主要考查异面直线所成角的大小求解，考查作图能力与运算求解能力，属于基础题.【分析】根据二面角的定义，找到二面角的平面角，即可求解.【详解】由ABC—A^q为正三棱柱可知，AA5C为正三角形，且AQ=5G,取AB的中点为。,所以OCJLA5,OGJLA5,所以ZCOQ即为二面角C—46—G的平面角，所以NCOG=60。，在即aCOG中,OC=—,cosNCOQ=N,O£=",所以点G到直线AB距离为J1.22故答案为：W【点睛】本题主要考查二面角的平面角的作法，考查作图能力与运算求解能力，属于基础题.6aiccos——3【分析】根据题意及线面垂直的判定定理可得人8_L平面，即可分析得点。在底面的射影在CM上，即可找到线面角，结合余弦定理即可求解.【详解】连接CM,因为三条侧棱OA,OB,两两垂直且相等，M是A8中点，所以aAbC为正三角形，所以CM±AB.OM±AB,所以A8_L平面OMC,过点。作OP_L交MC于点夕，则A6_L。尸，8_1_平面ABC,所以ZOMC即为OM与平面ABC所成的角，不妨设侧棱长为2,则OM=，在△QWC中，由余弦定理可得，‘os""'/"黑后T率所以恻与平面4BC所成的角为aiccos也3故答案为arccos—3【点睛】本题主要考查线面角的求法，属于基础题.10【分析】先求出8乃,然后在R^BQE中根据勾股定理求。石，则D5—。石即为灯管上升的高度.【详解】由题意可知，NBQE=60\DE1平面BQE,BR=O.E=30,DB{=50，所以△。区石为正三角形，即5£=30,在放中，DE=丁4/一闿炉=J5在-30:40，所以6七=5£>-=50-40=10,故该灯管升高了10cm.故答案为10【点睛】本题主要考查立体几何知识在实际生活中的应用，关键是建立几何模型，考查空间想象能力与运算求解能力，属于中档题.A【解析】试题分析：结合正方体直观图可知，其所成的角的度数可能是45。，60。，90。不可能是30。.故选A.考点：本题主要考查正方体的几何特征，异面直线所成的角.点评：简单题，结合正方体直观图可知，其所成的角的度数可能是45。，60。，90。不可能是30。.B【分析】根据线面角的定义找到线面角，即可求解.【详解】连接AP,因为侧棱与底面垂直，所以NAfA即为24与平面ABC所成的角，因为夕是底面中心，所以人尸=2x正x1，在中，32tan=2=JJ,NAP4=60°,所以PAi与平面A8C所成角大小为-.AP3故选：B【点睛】本题主要考查线面角的定义及求法，属于基础题.D【分析】根据新定义和正六边形的性质可得答案.【详解】根据正六边形的性质，则Di-AiABBi,Di-A1AFF1满足题意，而Q,Ei,C,D,E,和Di一样，有2x4=8,当AiACCi为底面矩形，有4个满足题意，

当AiAEEi为底面矩形，有4个满足题意,故有8+4+4=16故选D.【点睛】本题考查了新定义，以及排除组合的问题，考查了棱柱的特征，属于中档题.B【分析】根据棱柱、棱锥的结构特征即可判断.【详解】①错误，侧棱不一定与底面垂直；②错误，底面可能是菱形；③错误，侧棱垂直底面一所示的三棱锥边不一定垂直底面：④正确，由相邻两个面垂直于底面可得侧棱垂直底面：⑤错误，如图所示的三棱锥其中%=SC=A5=5C=VI,AC=8S=1,这个三棱锥不是正棱锥；⑥错误，底面三角形各顶点与垂心的距离不一定相等.故选B【点睛】本题主要考查棱柱、棱锥的结构特征，属于基础题.(1)点。到截面SA6的距离为L2(2)异面直线S。与C。所成角的大小为aictanj!【分析】(1)先找到二面角S-AB-O的平面角，即可求得弦长A6,利用等体积转化法即可求解;(2)先通过平移直线SO,找到异面直线所成的角，即可求解.【详解】

(1)取(1)取AB中点尸,连接。尸,S尸,如图所以A5,SP_LA民故/OPS为二面角S—A5—O的平面角，即NOPS=60。，又圆锥的轴截面是等腰直角三角形，所以os=i,sa=sb=J7,所以0P==@,SP=毡，弦长A5=24-"=巫,由勿$8=匕-OA8得，tail60333V°-SAB=gh•S.SAB=*h•*AB•SP=半h，匕-8=/os4・A5•。尸=孝，所以/?=’，点O到截面SAB的距离为22(2)取05(2)取05中点M，连接CM,OM因为。是S5中点，所以。加〃SO,则NCDW即为异面直线SO与CO所成的角或补角，且DW_L底面A06，所以。M_LCM,在Rt/\OCM中，CM=>JOC2+OM^=-,DM=-OS=-,222在Rt^CDM中，tanACDM=乌_=6,所以异面直线SO与CD所成角的大小为DMarctan"【点睛】本题主要考查二面角、异面直线所成的角的求法，考查逻辑分析能力与运算求解能力，属于中档题.

(1)异面直线5P与AC1所成角大小为aiccos-20(2)直线CC1与平面AQQ所成角的正弦值为名.【分析】(1)用向量的方法，转化为求向量次，丽的夹角问题：(2)求出点C到平面AQQ的距离，即可求解.【详解】⑴因为宿=第+恁，丽=幽+^瓦%,所以北•丽=(随+衣)(豆瓦+^瓦=44•两+L随•瓦7+/・函+J■衣.眄，又ABC—A4G为正三棱柱，2AB=A\=2,所以侧棱与底面垂直，即丽・瓦4=0、/•函=0,所以同屏=色•鹤+g/•轨=4+gx2x2xcosl200=3,又|禧|=2|禧|=2应而|二6，所以cos〈AOQ=磊需二嘴故异面直线外与AG所成角大小为aiccos士叵.20⑵设点C到平面AQG的距离为力，由匕TOG=%.八明，即g•小s-="CC]•S.AK,因为。为5c中点，所以AQ_L6C,又CG，平面A5c，所以AQ，CG，CGc5C=C,所以AQ_L平面5CG4,则A0_LG0,AQ=bCQ=5240G=；A°・C©=半，S’”=；A。•CQ="，可得乙乙乙乙h=正,所以直线CC\与平面AQG所成角的正弦值为—,5CC[5【点睛】本题主要考查利用平面向量的表示、夹角公式求异面直线所成的角、将线面角的问题转化为点到面的距离问题，考查逻辑分析能力与运算求解能力，属于中档题.

17.(1)二面角A-014-C的大小为aiccos(-(2)。。］与该截面的距离为巫.17.2(3)表面积为1+上匕2万.4【分析】(1)先作出二面角的平面角，结合余弦定理即可计算；(2)由圆柱的侧面积等于周长x高，可知截面将圆柱分为等高的两部分，即可将问题转化为截面与圆的交线将圆周分成1:3两部分，即可求得弦心距，根据直线与平面平行，则线面的距离即为直线上任意点到平面的距离，进一步求解即可；(3)先分析旋转体的形状，即可求解.【详解】⑴取中点尸，连接AP,PC,B©,40,4C,过点巨作5片〃441交圆o于点b，连接6C,如图因为6C,如图因为AC长为］万，4片长为9，所以NAQd=g,NAOC=4，N8OC=q,所以△^。。，△4。1用为等边三角形，则。0=CB,,PC±0员,4尸!。#尸故ZA.PC为二面角A-0旦一C的平面角,4尸=号，尸C=真02_男尸2={BB：+6c2_BF，=4,AlC=y/AA;+AC2=2,由余弦定理可得，cosZA.PC==一冬，故二面角A-。乃「C的大小为a】ccos((2)设截面与圆。的交点为M,N,截面把圆柱侧面积分成1：3两部分等价于劣弧MN的长是

优弧MN的!倍，所以劣弧MN对应的圆心角为工，圆心。到弦MV的距离为42,因为322截面平行于。。「所以。。1与该截面的距离等价于圆心。到弦/WN的距离，故。。】与该截何体的表面积为(3)根据题意可知，线段。C，O】C绕着。。】旋转(所形成的几何体为如图所示的圆锥,何体的表面积为其中OQ=OC=OG=1,NCOG=NCOQ=NQOG=1,所以该几S=3srnr+Srrn=2」xlxl+：xr+\以&S=3srnr+Srrn【点睛】本题主要考查二面角的平面角的作法及计算、线面距离与点到面距离的关系及表面积，考查逻辑分析能力与运算求解能力，属于中档题.18.(1)证明见解析：⑵二面角C-A4]-3的大小为aiccos(」).5(3)直线AB与平面A41C所成角为arcsin可5.【分析】(1)先证明8c，平面AOA1，根据线面垂直的定义即可得结论:(2)建立空间直角坐标系，分别求出平面C4A，平面54A的法向量，求出两法向量的夹角，结合图形即可求解：(3)根据(2)求出的平面的法向量，结合直线A