2021-2022学年广东省广州市第八十一中学高三数学理联考试卷含解析

2021-2022学年广东省广州市第八十一中学高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.由直线所围成的封闭图形的面积为

（A）

（B）1（C）

（D）参考答案：D2.已知集合A={0，1，2}，B={x|x（x﹣2）＜0}，则A∩B（）A．{0，1，2} B．{1，2} C．{0，1} D．{1}参考答案：D【考点】交集及其运算．【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：B={x|x（x﹣2）＜0}=（0，2），∵A={0，1，2}，∴A∩B={1}，故选：D．3.已知定义域为的单调函数，若对任意的，都有，则方程的解的个数是（

）A．3

B．2

C．1

D．0参考答案：B4.已知a＞0，b＞0，，则的最小值为（）A．4 B． C．8 D．16参考答案：B【考点】基本不等式．【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用．【分析】先求出ab=1，从而求出的最小值即可．【解答】解：由，有ab=1，则，故选：B．【点评】本题考查了基本不等式的性质，是一道基础题．5.已知函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，则实数a的取值范围是(

)A．（﹣∞，0） B．（0，） C．（0，1） D．（0，+∞）参考答案：B【考点】根据实际问题选择函数类型．【专题】压轴题；导数的综合应用．【分析】先求导函数，函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，等价于f′（x）=lnx﹣2ax+1有两个零点，等价于函数y=lnx与y=2ax﹣1的图象由两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象．由图可求得实数a的取值范围．【解答】解：函数f（x）=x（lnx﹣ax），则f′（x）=lnx﹣ax+x（﹣a）=lnx﹣2ax+1，令f′（x）=lnx﹣2ax+1=0得lnx=2ax﹣1，函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，等价于f′（x）=lnx﹣2ax+1有两个零点，等价于函数y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象（如图）当a=时，直线y=2ax﹣1与y=lnx的图象相切，由图可知，当0＜a＜时，y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点．则实数a的取值范围是（0，）．故选B．【点评】本题主要考查函数的零点以及数形结合方法，数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷．6.定义在R上的奇函数满足，若，则的值是（

）A.0

B.1

C.505

D.2020参考答案：A7.若实数满足则的最小值是（

）A．0

B．

C．1

D．2参考答案：【答案】A【解析】本小题主要考查线性规划问题。作图易知可行域为一个三角形，其三个顶点分别为，验证知在点时取得最小值0。【高考考点】:线性规划（最优解问题）8.如果执行右面的算法语句输出结果是2，则输入的值是（

）科A.0

B.0或2

C.2

D.或2参考答案：B略9.“”是“函数在区间上单调递减”的A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：A10.已知P为直线l：2x﹣3y+4=0上一点，设点P到定点F（0，1）距离为d1，点P到y=0的距离为d2，若d1﹣d2=1，这样的P点个数为（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个参考答案：C【考点】IU：两条平行直线间的距离．【分析】由题意，设P（x，y），则﹣|x|=1，分类讨论，即可得出结论．【解答】解：由题意，设P（x，y），则﹣|x|=1，x≥0，可化为（x﹣4）（2x+1）=0，∴x=4；x＜0，可化为2x2﹣11x﹣4=0，方程有一负根，综上所述，x有两解，即P点有2个，故选C．【点评】本题考查两点间距离公式的运用，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.数轴上有四个间隔为1的点依次记为A、B、C、D，在线段AD上随机取一点E，则E点到B、C两点的距离之和小于2的概率为．参考答案：【考点】几何概型．【分析】求出满足条件的E点所在的位置，从而求出E点到B、C两点的距离之和小于2的概率即可．【解答】解：设AB的中点是M，CD的中点是N，则E在MN上时满足条件，故E点到B、C两点的距离之和小于2的概率p=，故答案为：．12.（x2﹣x+2）5的展开式中x3的系数为．参考答案：﹣200【考点】二项式系数的性质．【专题】二项式定理．【分析】先求得二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于3，求得r、r′的值，即可求得x3项的系数．【解答】解：式子（x2﹣x+2）5=[（x2﹣x）+2]5的展开式的通项公式为Tr+1=?（x2﹣x）5﹣r?2r，对于（x2﹣x）5﹣r，它的通项公式为Tr′+1=（﹣1）r′??x10﹣2r﹣r′，其中，0≤r′≤5﹣r，0≤r≤5，r、r′都是自然数．令10﹣2r﹣r′=3，可得，或，故x3项的系数为?22?（﹣）+?23?（﹣）=﹣200，故答案为：﹣200．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．13.若直线的极坐标方程为，圆：（为参数）上的点到直线的距离为，则的最大值为

参考答案：14.设在函数的图象上的点处的切线斜率为k，若，则函数的图像大致为参考答案：A略15..已知随机变量～,且,则_________.参考答案：0.4【分析】随机变量～,根据正态分布曲线的特征，可以知道曲线关于对称，所以通过，可以求出，根据对称性可以求出的值.【详解】因为随机变量～，所以正态分布曲线关于对称，因此有,.【点睛】本题考查了正态分布，正确掌握正态分布曲线的性质，是解题的关键.16.已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y2=2px（p＞0）的准线分别交于A、B两点，O为坐标原点，若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则该抛物线的标准方程是．参考答案：y2=4x【考点】双曲线的简单性质．【分析】把x=﹣代入，解得y，可得|AB|=，利用△AOB的面积为，可得=，再利用=2，解得．即可得出p．【解答】解：把x=﹣代入，解得y=±．∴|AB|=，∵△AOB的面积为，∴=，由=2，解得=．[来源:Z。xx。k.Com]∴，解得p=2．∴该抛物线的标准方程是y2=4x．故答案为：y2=4x．【点评】本题考查了双曲线与抛物线的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．17.方程有实根的概率为

．参考答案：

、三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f(x)＝x2＋2ax＋b的图像过点(1,3)，且f(－1＋x)＝f(－1－x)对任意实数都成立，函数y＝g(x)与y＝f(x)的图像关于原点对称．(1)求f(x)与g(x)的解析式；(2)若F(x)＝g(x)－λf(x)在(－1,1上是增函数，求实数λ的取值范围．参考答案：(1)由题意知：a＝1，b＝0，∴f(x)＝x2＋2x.设函数y＝f(x)图像上的任意一点Q(x0，y0)关于原点的对称点为P(x，y)，则x0＝－x，y0＝－y.∵点Q(x0，y0)在y＝f(x)的图像上，∴－y＝x2－2x.∴y＝－x2＋2x.∴g(x)＝－x2＋2x.(2)F(x)＝－x2＋2x－λ(x2＋2x)＝－(1＋λ)x2＋2(1－λ)x，∵F(x)在(－1,1上是增函数且连续，F′(x)＝－2(1＋λ)x＋2(1－λ)≥0恒成立，即λ≤＝－1在(－1,1上恒成立，由－1在(－1,1上为减函数，当x＝1时取最小值0，故λ≤0，所求λ的取值范围是(－∞，0．19.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立直角坐标系.（I）求曲线的极坐标方程；（II）过点作斜率为1直线与曲线交于，两点，试求的值.参考答案：（I）由得，∴即：圆的极坐标方程为.（II）设直线的参数方程为（为参数），，两点对应的参数分别为，，直线:（为参数）和圆的方程联立得：，所以，所以，20.（本小题满分13分）已知圆C的方程为：（1）求的取值范围；（2）若圆C与直线交于M、N两点，且，求的值.（3）设直线与圆交于，两点，是否存在实数，使得以为直径的圆过原点，若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．参考答案：（1）由D2+E2-4F=4+16-4m=20-4m>0，得m<5．

3分（2），即，所以圆心C（1,2），半径，

4分圆心C（1,2）到直线的距离

5分又，，即，．

6分（3）假设存在实数使得以为直径的圆过原点，则，设，则，

7分由得，

8分，即，又由（1）知，故

9分

10分

11分

12分故存在实数使得以为直径的圆过原点，．

13分21.在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB=3，，∠ABC=45°，P点在底面ABCD内的射影E在线段AB上，且PE=2，BE=2EA，F为AD的中点，M在线段CD上，且CM=λCD．（1）当时，证明：平面PFM⊥平面PAB；（2）当时，求平面PAM与平面ABCD所成的二面角的正弦值及四棱锥P﹣ABCM的体积．参考答案：【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LY：平面与平面垂直的判定．【分析】（1）利用余弦定理计算FM，根据勾股定理得出FM⊥DM，即FM⊥AB，结合FM⊥PE得出FM⊥平面PAB，故平面PFM⊥平面PAB；（2）AM⊥平面PAB，故∠PAB为二面角的平面角，求出AM，代入体积公式计算即可．【解答】解：（1）证明：当λ=时，DM=CD=AB=1，又DF=AD=，∠ADC=∠ABC=45°，∴FM==1，∴FM2+DM2=FD2，∴FM⊥DM．又DM∥AB，∴FM⊥AB，∵PE⊥平面ABCD，FM?平面ABCD，∴PE⊥FM，PE∩AB=E，∴FM⊥平面PAB，又FM?平面PFM，∴平面PDM⊥平面PAB．（2）当时，由（1）可知AM⊥平面PAB，∴AM⊥AB，AM⊥PA，∴∠PAB为二面角P﹣AM﹣B的平面角，∵PA==，∴sin∠PAB===．在△ADM中，由余弦定理得AM==2，∴S梯形ABCM=（1+3）×2=4，∴．22.已知函数f（x）满足f（x）=f′（1）ex﹣1﹣f（0）x+x2；（1）求f（x）的解析式及单调区间；（2）若，求（a+1）b的最大值．参考答案：【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．【专题】综合题；压轴题；探究型；转化思想．【分析】（1）对函数f（x）求导，再令自变量为1，求出f′（1）得到函数的解析式及导数，再由导数求函数的单调区间；（2）由题意，借助导数求出新函数的最小值，令其大于0即可得到参数a，b所满足的关系式，再研究（a+1）b的最大值【解答】解：（1）令x=1得：f（0）=1∴令x=0，得f（0）=f'（1）e﹣1=1解得f'（1）=e故函数的解析式为令g（x）=f'（x）=ex﹣1+x∴g'（x）=ex+1＞0，由此知y=g（x）在x∈R上单调递增当x＞0时，f'（x）＞f'（0）=0；当x＜0时，有f'（x）＜f'（0）=0得：函数的单调递增区间为（0，+∞），单调递减区间为（﹣∞，0）（2）得h′（x）=ex﹣（a+1）①当a+1≤0时，h′（x）＞0?y=h（x）在x∈R上单调递增，x→﹣∞时，h（x）→﹣∞与h（x）≥0矛盾②当a+1＞0时，h′（x）＞0?x＞ln（a+1），h'（x）＜0?x＜ln（a+1）得：当x=ln（a+1）时，h（x）min=（a+