2022-2023学年河北省廊坊市联合中学高一数学理上学期期末试卷含解析

2022-2023学年河北省廊坊市联合中学高一数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.△ABC中，若，则△ABC是（

）A.锐角三角形 B.直角三角形

C.钝角三角形

D.不确定参考答案：D2.幂函数的图像经过点，则的值为

(

)（A）

（B）2

（C）3

（D）4参考答案：B3.f（x）=3tanx的最小正周期为（）A．3π B．2π C．π D．参考答案：C【考点】H1：三角函数的周期性及其求法．【分析】根据正切函数的周期公式即可得到结论．【解答】解：由正切函数的周期公式T=．故选C．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，比较基础．4.已知互不重合的直线l，m，互不重合的平面α，β，给出下列四个命题，错误的命题是（）A．若l∥α，l∥β，α∩β=m，则l∥m B．若α⊥β，l⊥α，m⊥β则l⊥mC．若α⊥β，α⊥γ，β∩γ=l，则l⊥α D．若α∥β，l∥α，则l∥β参考答案：D【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】A．利用线面平行的判定与性质定理即可判断出正误；B．利用线面面面垂直的性质定理即可判断出正误；C．利用线面面面垂直的性质定理即可判断出正误；D．利用线面平行的判定与性质定理即可判断出正误．【解答】解：A．由l∥α，l∥β，α∩β=m，利用线面平行的判定与性质定理可得：l∥m，正确；B．由α⊥β，l⊥α，m⊥β，利用线面面面垂直的性质定理可得l⊥m，正确．C．由α⊥β，α⊥γ，β∩γ=l，利用线面面面垂直的性质定理可得l⊥α，正确．D．由α∥β，l∥α，则l∥β或l?β．因此不正确．故选：D．5.已知集合，那么

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：A6.已知<0，那么角是(

)．(A)第一或第二象限角

(B)第二或第三象限角(C)第三或第四象限角

(D)第一或第四象限角参考答案：C7.若集合，下列关系式中成立的为A．

B．

C．

D．参考答案：D8.已知，，，且，则与夹角为（

）A．

B．

C．

D.

参考答案：C9.给出命题：①y=sinx是增函数；②y=arcsinx﹣arctanx是奇函数；③y=arccos|x|为增函数；④y=﹣arccosx为奇函数．其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4参考答案：B10.以下各组函数中，表示同一函数的是（

）①与；②y=x–2与；③与它的反函数；④y=|x|与y=A．①②

B．②③

C．③④

D．①③参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的全面积为且，则三棱锥的体积为

▲

．参考答案：

12.若圆x2＋y2－2x＋4y＋1＝0上恰有两点到直线2x＋y＋c＝0(c＞0)的距离等于1，则c的取值范围为________．参考答案：13.已知，向量与向量的夹角锐角，则实数的取值范围是参考答案：略14.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且BC边上的高为，则的最大值为______.参考答案：【分析】利用三角形的面积计算公式得?a?bcsinA，求出a2＝2bcsinA；利用余弦定理可得cosA，得b2+c2＝a2+2bccosA，代入，化为三角函数求最值即可．【详解】因为S△ABC?a?bcsinA，即a2＝2bcsinA；由余弦定理得cosA，所以b2+c2＝a2+2bccosA＝2bcsinA+2bccosA；代入得2sinA+2cosA＝2sin（A），当A时，取得最大值为2．故答案为：2．【点睛】本题考查了三角形的面积计算公式、余弦定理、两角和差的正弦计算公式的应用问题，考查了推理能力与计算能力，是综合性题目．15.设是公差不为零的等差数列的前项和，若成等比数列，则_________.参考答案：

数列成等差数列，且成等比数列

，又.16.函数的部分图象如图，其中，，．则____；_____．参考答案：2

【分析】由图求得，再由求出，利用图象过点，求出，进而求出，即可求解，得到答案．【详解】由题意，根据三角函数的部分图象，可得即，因为，所以，又由图可知，根据，解得，因为，所以，所以．故答案为：2；【点睛】本题主要考查了由的部分图象确定其解析式，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，合理计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．17.函数的单调递增区间为

．参考答案：（﹣∞，﹣1）【考点】复合函数的单调性．【专题】计算题．【分析】先求函数的定义域为{x|x＞3或x＜﹣1}，要求函数的单调递增区间，只要求解函数t=x2﹣2x﹣3在（﹣∞，﹣1）单调递减区间即可【解答】解：函数的定义域为{x|x＞3或x＜﹣1}令t=x2﹣2x﹣3，则y=因为y=在（0，+∞）单调递减t=x2﹣2x﹣3在（﹣∞，﹣1）单调递减，在（3，+∞）单调递增由复合函数的单调性可知函数的单调增区间为（﹣∞，﹣1）故答案为：（﹣∞，﹣1）【点评】本题考查复合函数的单调性，对数函数的单调性，解本题时容易漏掉对函数的定义域的考虑，写成函数的单调增区间为：（﹣∞，1），是基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.2008年北京奥运会中国跳水梦之队取得了辉煌的成绩。据科学测算，跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动轨迹（如图所示）是一经过坐标原点的抛物线（图中标出数字为已知条件），且在跳某个规定动作时，正常情况下运动员在空中的最高点距水面米，入水处距池边4米，同时运动员在距水面5米或5米以上时，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误。（1）求抛物线的解析式；（2）某运动员按（1）中抛物线运行，要使得此次跳水成功，他在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离至多应为多大？参考答案：解：（Ⅰ）由已知可设抛物线方程为

----------------------2分又抛物线过（0，0）和（2，-10）

代入解得，所以解析式为：

-------------------7分（Ⅱ）要使得某次跳水成功，必须

-------------------8分

即

亦即

，

解不等式得

------------------12分∴

距池边的水平距离至多米。

-----------------------------------14分19.证明：对任一自然数n及任意实数为任一整数），有

参考答案：证明：

同理

……

20.(2010·福建)某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/时的航行速度匀速行驶，经过t时与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．参考答案：方法一(1)如图(1)，设相遇时小艇航行的距离为S海里，则S＝＝＝.故当t＝时，Smin＝10，此时v＝＝30.即小艇以30海里/时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．(2)设小艇与轮船在B处相遇，则v2t2＝400＋900t2－2×20×30t×cos(90°－30°)，故v2＝900－＋.

∵0<v≤30，∴900－＋≤900，即－≤0，解得t≥.

又t＝时，v＝30.故v＝30时，t取得最小值，且最小值为.此时，在△OAB中，有OA＝OB＝AB＝20，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/时，小艇能以最短时间与轮船相遇．方法二(1)若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向．设小艇与轮船在C处相遇(如图(2)．在Rt△OAC中，OC＝20cos30°＝10，AC＝20sin30°＝10.又AC＝30t，OC＝vt.此时，轮船航行时间t＝＝，v＝＝30.即小艇以30海里/时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．

(2)猜想v＝30时，小艇能以最短时间与轮船在D处相遇，此时AD＝DO＝30t.又∠OAD＝60°，∴AD＝DO＝OA＝20，解得t＝.据此可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°，航行速度的大小为30海里/时．这样，小艇能以最短时间与轮船相遇．证明如下：如图(3)，由(1)得OC＝10，AC＝10，故OC>AC，且对于线段AC上的任意点P，有OP≥OC>AC.而小艇的最高航行速度只能达到30海里/时，故小艇与轮船不可能在A，C之间(包含C)的任意位置相遇．设∠COD＝θ(0°<θ<90°)，则在Rt△COD中，CD＝10tanθ，OD＝.由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为t＝和t＝，∴＝.由此可得，v＝.又v≤30，故sin(θ＋30°)≥.

从而，30°≤θ＜90°.由于θ＝30°时，tanθ取得最小值，且最小值为.于是，当θ＝30°时，t＝取得最小值，且最小值为.方法三(1)同方法一或方法二．(2)设小艇与轮船在B处相遇．依据题意得：v2t2＝400＋900t2－2·20·30t·cos(90°－30°)，(v2－900)t2＋600t－400＝0.①若0<v<30，则由Δ＝360000＋1600(v2－900)＝1600(v2－675)≥0，得v≥15.从而，t＝，v∈[15，30)．当t＝时，令x＝，则x∈[0,15)，t＝＝≥，当且仅当x＝0，即v＝15时等号成立．当t＝时，同理可得<t≤.综上得，当v∈[15，30)时，t>.②若v＝30，则t＝.综合①②可知，当v＝30时，t取最小值，且最小值等于.此时，在△OAB中，OA＝OB＝AB＝20，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/时，小艇能以最短时间与轮船相遇．21.已知关于x的函数f（x）=x2﹣2ax+2．（1）当a≤2时，求f（x）在[，3]上的最小值g（a）；（2）如果函数f（x）同时满足：①函数在整个定义域上是单调增函数或单调减函数；②在函数的定义域内存在区间[p，q]，使得函数在区间[p，q]上的值域为[p2，q2]．则我们称函数f（x）是该定义域上的“闭函数”．（i）若关于x的函数y=+t（x≥1）是“闭函数”，求实数t的取值范围；（ii）判断（1）中g（a）是否为“闭函数”？若是，求出p，q的值或关系式；若不是，请说明理由．参考答案：【考点】二次函数的性质．【分析】（1）对于函数f（x）=x2﹣2ax+2=（x﹣a）2+2﹣a2，根据对称轴，分类讨论即可，（2）（i）据和谐函数的定义，列出方程组，可得p2，q2为方程+t=x的二实根，再由二次方程实根的分布，即可得到所求t的范围（ii）由新定义，假设g（a）为“和谐函数”，讨论p，q的范围，通过方程的解即可判断【解答】解：（1）函数f（x）=x2﹣2ax+2=（x﹣a）2+2﹣a2，其对称轴方程为x=a，当a≤时，f（x）在[，3]上单调递增，其最小值为g（a）=f（）=﹣；当≤a≤2时，f（x）在[，3]上的最小值为g（a）=f（a）=2﹣a2；函数f（x）=x2﹣2ax+2在[，3]上的最小值g（a）=（2）（i）∵y=+t在[1，+∞）递增，由闭函数的定义知，该函数在定义域[1，+∞）内，存在区间[p，q]（p＜q），使得该函数在区间[p，q]上的值域为[p2，q2]，所以p≥1，，∴p2，q2为方程+t=x的二实根，即方程x2﹣（2t+1）x+t2+1=0在[1，+∞）上存在两个不等的实根且x≥t恒成立，令u（x）=x2﹣（2t+1）x+t2+1，∴，∴，解得＜t≤1∴实数t的取值范围（，1]．（ii）对于（1），易知g（a）在（﹣∞，2