2022-2023学年湖北省孝感市广水市南关中学高三数学理模拟试题含解析

2022-2023学年湖北省孝感市广水市南关中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知非负实数满足,则关于的一元二次方程有实根的概率是A.

B.

C.

D.参考答案：A2.已知函数f（x）=x++a，x∈[a，+∞），其中a＞0，b∈R，记m（a，b）为f（x）的最小值，则当m（a，b）=2时，b的取值范围为（）A．b＞ B．b＜ C．b＞ D．b＜参考答案：D【考点】3H：函数的最值及其几何意义．【分析】求出f（x）的导数，讨论当b≤0时，当b＞0时，判断函数f（x）的单调性，可得f（x）的最小值，解方程可得b的范围．【解答】解：函数f（x）=x++a，x∈[a，+∞），导数f′（x）=1﹣，当b≤0时，f′（x）＞0，f（x）在x∈[a，+∞）递增，可得f（a）取得最小值，且为2a+，由题意可得2a+=2，a＞0，b≤0方程有解；当b＞0时，由f′（x）=1﹣=0，可得x=（负的舍去），当a≥时，f′（x）＞0，f（x）在[a，+∞）递增，可得f（a）为最小值，且有2a+=2，a＞0，b＞0，方程有解；当a＜时，f（x）在[a，）递减，在（，+∞）递增，可得f（）为最小值，且有a+2=2，即a=2﹣2＞0，解得0＜b＜．综上可得b的取值范围是（﹣∞，）．故选：D．3.已知函数，则，，的大小关系为（A)

(B)

(C)

(D)参考答案：A略4.某人为了观看2008年北京奥运会，从2001年起，每年5月10日到银行存入元定期储蓄，若年利率为且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2008年5月10日将所有存款和利息全部取回，则可取回的钱的总数（元）为.(

)A.

B.

C.

D.参考答案：答案：D

5.已知集合，，则为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A6.已知函数为奇函数，若与图象关于对称，

若，则

A．

B．

C．

D．参考答案：A略7.如图，在四面体OABC中，则（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C略8.命题“任意的”的否定是（

）A．不存在

B．存在C．存在

D．对任意的参考答案：C9.函数是定义在的偶函数，则的值为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C10.复数（是虚数单位）的虚部为A．

B．

C．

D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.将正奇数下表其中第行第个数，例，若，则

▲

．参考答案：6012.已知函数f（x）=1+x﹣+，g（x）=1﹣x+﹣，设函数F（x）=f（x﹣4）?g（x+3），且函数F（x）的零点均在区间[a，b]（a＜b，a，b∈Z）内，则b﹣a的最小值为

．参考答案：6【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；52：函数零点的判定定理．【分析】求出函数f（x）的导数，求出f（x）的单调区间，从而求出其零点的范围，求出f（x﹣4）的零点所在的范围；通过讨论x的范围，求出g（x）在R的导数，得到g（x）的单调区间，从而求出g（x+3）所在的零点的范围，F（x）的零点均在区间[a，b]，进而求出a，b的值，求出答案即可．【解答】解：∵函数f（x）=1+x﹣+，f′（x）=1﹣x+x2＞0，∴f（x）在R单调递增，而f（0）=1＞0，f（﹣1）=1﹣1﹣+＜0，∴函数f（x）在区间（﹣1，0）内有零点，∴函数f（x﹣4）在[3，4]上有一个零点，函数g（x）=1﹣x+﹣，g′（x）=﹣1+x﹣x2＜0，∴f（x）在R单调递减，而g（1）=1﹣1+＞0，g（2）=1﹣2+2＜0，∴函数g（x）在区间（1，2）内有零点，∴函数g（x+3）在[﹣2，﹣1]上有一个零点，函数F（x）=f（x﹣4）?g（x+3），且函数F（x）的零点在区间[﹣2，4]内，则b﹣a的最小值为：6．故答案为：6．【点评】本题考查函数的单调性的应用，函数的零点的求法，考查转化思想以及计算能力．13.已知平面向量，，不共线，且两两之间的夹角都为，若||＝2，||＝2，||＝1，则++与的夹角是___________．参考答案：60°14.设函数，则的值为

。参考答案：答案：15.已知集合A={1，2，4}，B={2，4，6}，则A∪B=

．参考答案：{1，2，4，6}【考点】并集及其运算．【专题】集合．【分析】由题意，A，B两个集合的元素已经给出，故由并集的运算规则直接得到两个集合的并集即可【解答】解：∵A={1，2，4}，B={2，4，6}，∴A∪B={1，2，4，6}故答案为{1，2，4，6}【点评】本题考查并集运算，属于集合中的简单计算题，解题的关键是理解并的运算定义16.已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1=1，Sn是数列{an}前n项的和，则的最小值为

．参考答案：4【考点】等差数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由等比中项的性质、等差数列的通项公式列出方程求公差d，代入等差数列的通项公式、前n项和公式求出an、Sn，代入利用分离常数法化简后，利用基本不等式求出式子的最小值．【解答】解：因为a1，a3，a13成等比数列，所以，又a1=1，所以（1+2d）2=1×（1+12d），解得d=2或d=0（舍去），所以an=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，Sn==n2，则====﹣2≥2﹣2=4，当且仅当时取等号，此时n=2，且取到最小值4，故答案为：4．【点评】本题考查了等差数列的通项公式、前n项和公式，等比中项的性质，基本不等式求最值，解题的关键是利用分离常数法化简式子，凑出积为定值．17.设函数若，则x0的取值范是

．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）设函数，其中是某范围内的随机数，分别在下列条件下，求事件A“且”发生的概率.

(1)若随机数；

(2)已知随机函数产生的随机数的范围为,是算法语句和的执行结果．(注:符号“”表示“乘号”)参考答案：解：由知，事件A“且”，即1分

(1)因为随机数，所以共等可能地产生个数对，列举如下：，

·······································································4分事件A：包含了其中个数对，即：

·························································6分所以，即事件A发生的概率为

······································7分(2)由题意，均是区间中的随机数，产生的点均匀地分布在边长为4的正方形区域中（如图），其面积.··············································································8分事件A：所对应的区域为如图所示的梯形（阴影部分），其面积为：.···················································10分所以，即事件的发生概率为

·································································12分19.已知函数f（x）=x2+ax+1，g（x）=ex（其中e为自然对数的底数）．（Ⅰ）若a=1，求函数y=f（x）?g（x）在区间[﹣2，0]上的最大值；（Ⅱ）若a=﹣1，关于x的方程f（x）=k?g（x）有且仅有一个根，求实数k的取值范围；（Ⅲ）若对任意的x1，x2∈[0，2]，x1≠x2，不等式|f（x1）﹣f（x2）|＜|g（x1）﹣g（x2）|均成立，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；54：根的存在性及根的个数判断；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的最大值即可；（Ⅱ）若a=﹣1，关于x的方程f（x）=k?g（x）有且仅有一个根，即k==，有且只有一个根，令h（x）=，可得h（x）极大=h（2）=，h（x）极小=h（1）=，进而可得当k＞或0＜k＜时，k=h（x）有且只有一个根；（Ⅲ）设x1＜x2，因为g（x）=ex在[0，2]单调递增，故原不等式等价于|f（x1）﹣f（x2）|＜g（x2）﹣g（x1）在x1、x2∈[0，2]，且x1＜x2恒成立，当a≥﹣（ex+2x）恒成立时，a≥﹣1；当a≤ex﹣2x恒成立时，a≤2﹣2ln2，综合讨论结果，可得实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）a=1时，y=（x2+x+1）ex，y′=（x+1）（x+2）ex，令y′＞0，解得：x＞﹣1或x＜﹣2，令y′＜0，解得：﹣2＜x＜﹣1，∴函数y=f（x）?g（x）在[﹣2，﹣1]递减，在[﹣1，0]递增，而x=﹣2时，y=，x=0时，y=1，故函数在[﹣2，0]上的最大值是1；（Ⅱ）由题意得：k==有且只有一个根，令h（x）=，则h′（x）=，故h（x）在（﹣∞，1）上单调递减，（1，2）上单调递增，（2，+∞）上单调递减，所以h（x）极大=h（2）=，h（x）极小=h（1）=，因为h（x）在（2，+∞）单调递减，且函数值恒为正，又当x→﹣∞时，h（x）→+∞，所以当k＞或0＜k＜时，k=h（x）有且只有一个根．（Ⅲ）设x1＜x2，因为g（x）=ex在[0，2]单调递增，故原不等式等价于|f（x1）﹣f（x2）|＜g（x2）﹣g（x1）在x1、x2∈[0，2]，且x1＜x2恒成立，所以g（x1）﹣g（x2）＜f（x1）﹣f（x2）＜g（x2）﹣g（x1）在x1、x2∈[0，2]，且x1＜x2恒成立，即，在x1、x2∈[0，2]，且x1＜x2恒成立，则函数F（x）=g（x）﹣f（x）和G（x）=f（x）+g（x）都在[0，2]单调递增，则有，在[0，2]恒成立，当a≥﹣（ex+2x）恒成立时，因为﹣（ex+2x）在[0，2]单调递减，所以﹣（ex+2x）的最大值为﹣1，所以a≥﹣1；当a≤ex﹣2x恒成立时，因为ex﹣2x在[0，ln2]单调递减，在[ln2，2]单调递增，所以ex﹣2x的最小值为2﹣2ln2，所以a≤2﹣2ln2，综上：﹣1≤a≤2﹣2ln2．20.(本小题满分12分)已知定义域为R的函数是奇函数.(1)求的值;(2)用定义证明在上为减函数.(3)若对于任意,不等式恒成立,求的范围.参考答案：（1）

经检验符合题意.

(2)任取

则=

(3)

,不等式恒成立,

为奇函数,为减函数,即恒成立,而21.（本题满分13分）已知函数＝。（1）求的单调区间；（2）若≥在[1，＋∞上恒成立，求实数的取值范围；（3）证明：参考答案：解：（1）的定义域为，

，-----------------------------1分当时，恒成立，此时，在上是增函数；-----2分当时，令得，列表如下：__增减减增此时，的递增区间是，；递减区间是，。-------4分（2）＝＋，则g（1）=0，g’（x）=a－－==-----6分1）当0<a<时，﹥1。若1<x<，则g’（x）<0，g（x）是减函数，所以g（x）<g（1）=0，即f（x）﹥㏑x,故f（x）≧㏑x在[1，+∞）上不恒成立。----------------------7分2）当a时，若，则g’（x）>0,g(x)是增函数，所以g(x)>g(1)=0,即f(x)>lnx.故当x≧1时，f(x)lnx.综上所述，所求a的取值范围是+∞）。------------------9分（3）

在（2）中，令，可得不等式：（当且仅当时等号成立），进而可得当

（）---------------10分令，代入不等式（）得：故不等式得证。--------------------------------13分22.（本小题满分12分）已知函数=(sinωx+cosωx)2+(sin2ωx?cos2ωx),(ω>0)