2022-2023学年河北省承德市城子乡中学高三数学文期末试题含解析

2022-2023学年河北省承德市城子乡中学高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.各项均为实数的等比数列{an}前n项之和记为Sn,若S10=10,S30=70,则S40等于(

)

(A)

150

(B)

-200

(C)

150或-200

(D)

-50或400参考答案：解：首先q≠1，于是，(q10－1)=10，(q30－1)=70，∴q20+q10+1=7．Tq10=2．(－3舍)∴S40=10(q40－1)=150．选A．2.已知，若是的最小值，则的取值范围为A．

B．

C．

D．参考答案：D试题分析：由于当时，在时得最小值；由题意当时，若，此时最小值为，故，解得，由于，因此；若，则条件不成立，故的取值范围为，故答案为D．考点：1、分段函数的应用；2、函数的最值．3.若过点P（a，a）与曲线f（x）=xlnx相切的直线有两条，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，e） B．（e，+∞） C．（0，） D．（1，+∞）参考答案：B【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设切点为（m，mlnm），求出导数，求得切线的斜率，由两点的斜率公式可得=，设g（m）=，求出导数和单调区间，可得最大值，由题意可得0＜＜，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：设切点为（m，mlnm），f（x）=xlnx的导数为f′（x）=1+lnx，可得切线的斜率为1+lnm，由切线经过点P（a，a），可得1+lnm=，化简可得=，（*），由题意可得方程（*）有两解，设g（m）=，可得g′（m）=，当m＞e时，g′（m）＜0，g（m）递增；当0＜m＜e时，g′（m）＞0，g（m）递减．可得g（m）在m=e处取得最大值，即有0＜＜，解得a＞e．故选：B．4.设，函数，则使的的取值范围是A． B．

C． D．参考答案：A略5.给出如下四个命题：①若“p∧q”为假命题，则p,q均为假命题；②命题“若,则”的否命题为“若,则”；③命题“任意”的否定是“存在”；④在△ABC中，“”是“”的充要条件.其中不正确命题的个数是（A）4

（B）3

（C）2

（D）1

参考答案：D6.若函数f（x）=x2﹣ax+lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是（） A．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞） B． （﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） C．[2，+∞） D．（2，+∞）参考答案：考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程．专题： 导数的综合应用．分析： 求出原函数的导函数，由导函数等于0得到a=x+，利用基本不等式求得x+的范围得答案．解答： 解：∵f（x）=x2﹣ax+lnx，∴f'（x）=x﹣a+，由题意可知存在实数x＞0，使得f'（x）=x﹣a+=0，即a=x+成立，∴a=x+≥2（当且仅当x=，即x=1时等号取到），∴实数a的取值范围是[2，+∞）．故选：C．点评： 本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，过曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是中档题．7.已知，且则集合的个数是（

）A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：Ｄ8.已知集合，，若集合有且仅有一个元素，则实数的取值范围是 A.

B.

C.

D.参考答案：B略9.若，，，则，，的大小关系是（

）A． B． C． D．参考答案：C∵，，，∴．故选C．10.已知P为双曲线上一点，F1、F2为双曲线C的左、右焦点，若，且直线PF2与以C的实轴为直径的圆相切，则C的渐近线方程为（）A. B. C. D.参考答案：A【分析】依据题意作出图象，由双曲线定义可得，又直线PF2与以C的实轴为直径的圆相切，可得，对在两个三角形中分别用余弦定理及余弦定义列方程，即可求得，联立，即可求得，问题得解。【详解】依据题意作出图象，如下：则，，又直线PF2与以C的实轴为直径的圆相切，所以,所以由双曲线定义可得：，所以，所以整理得：，即：将代入，整理得：，所以C的渐近线方程为故选：A【点睛】本题主要考查了双曲线的定义及圆的曲线性质，还考查了三角函数定义及余弦定理，考查计算能力及方程思想，属于难题。二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.二项式的展开式中的系数

(用数字作答)参考答案：60

12.由曲线围成的封闭图形面积为____．参考答案：

13.已知椭圆和圆,若C上存在点P,使得过点P引圆O的两条切线,切点分别为A,B,满足∠APB=120°,则椭圆C的离心率的取值范围是

.参考答案：14.为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x（单位：小时）与当天投篮命中率y之间的关系：时间x12345命中率y0．40．50．60．60．4小李这5天的平均投篮命中率为

，用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为

．参考答案：0.5；0.53

本题是在概率与统计的交汇处命题，考查了平均数的计算、线性回归方程的求法以及利用回归方程进行预测的能力，难度较大.

因为，所以，，所以线性回归方程为，当x=6时，命中率y=0.53.15.f（x）=，则不等式x2﹣f（x）+x﹣2≤0的解集是

．参考答案：{x|﹣≤x≤}【考点】一元二次不等式的解法．【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】根据分段函数f（x），讨论x≥2与x＜2时，不等式x2﹣f（x）+x﹣2≤0的解集情况，求出对应的解集即可．【解答】解：∵f（x）=，∴当x≥2时，不等式x2﹣f（x）+x﹣2≤0化为x2﹣1+x﹣2≤0，即x2+x﹣3≤0，解得﹣≤x≤，又＜2，此时不等式的解不满足条件；当x＜2时，不等式x2﹣f（x）+x﹣2≤0化为x2+1+x﹣2≤0，即x2+x﹣1≤0，解得﹣≤x≤，又＜2，∴此时不等式的解满足条件；综上，原不等式的解集是{x|﹣≤x≤}．故答案为：{x|﹣≤x≤}．【点评】本题考查了分段函数的应用问题，也考查了不等式的解法与应用问题，是综合性题目．16.设x，y满足约束条件，且，则的最大值为

.参考答案：1317.集合的子集个数为

．参考答案：

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分12分)已知正数数列的前项和为且对任意的正整数满足（1）

求数列的通项公式；（2）

设求数列的前项和参考答案：（1）

是正数数列，

（2）

略19.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为(为参数).以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为.(Ⅰ)求C1、C2交点的直角坐标；(Ⅱ)设点A的极坐标为，点B是曲线C2上的点，求△AOB面积的最大值.参考答案：(Ⅰ)，，∴，∴.联立方程组得，解得，，∴所求交点的坐标为，.………5分(Ⅱ)设，则，∴的面积∴当时，.

………10分

20.（本小题满分10分）选修4―4：坐标系与参数方程已知平面直角坐标系xOy，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l过点，且倾斜角为，圆C的极坐标方程为．（Ⅰ）求圆C的普通方程和直线l的参数方程；（Ⅱ）设直线l与圆C交于M、N两点，求的值．

参考答案：解：（Ⅰ）（Ⅱ）将直线的参数方程代入圆的方程，得：

21.（14分）已知f（x）=mx﹣alnx﹣m，g（x）=，其中m，a均为实数，（1）求g（x）的极值；（2）设m=1，a=0，求证对|恒成立；（3）设a=2，若对?给定的x0∈（0，e]，在区间（0，e]上总存在t1，t2（t1≠t2）使得f（t1）=f（t2）=g（x0）成立，求m的取值范围．

参考答案：

考点:利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题:导数的综合应用．分析:（1）求出函数的导数，利用导函数的符号判断函数的单调性，然后求解极值．（2）通过m=1，a=0，化简f（x）=x﹣1，利用函数的单调性，转化原不等式转化，构造函数，利用新函数的导数的单调性，证不等式成立．（3）由（1）得g（x）的最大值，求出函数f（x）的导数，判断m≤0，不满足题意；当m＞0时，要?t1，t2使得f（t1）=f（t2），f（x）的极值点必在区间（0，e）内，求出m的范围，当，利用g（x）在（0，e）上的值域包含于f（x）在上的值域，推出关系式，通过构造函数w（x）=2ex﹣x，通过导数求解函数的最值，然后推出．解：（1）∵，∴，∴（﹣∞，1）↑，（1，+∞）↓，∴g（x）极大值g（1）=1，无极小值；…（4分）（2）∵m=1，a=0，∴f（x）=x﹣1，在[3，4]上是增函数∴，在[3，4]上是增函数设3≤x1＜x2≤4，则原不等式转化为即…（6分）令，即证?x1＜x2，h（x2）＜h（x1），即h（x）在[3，4]↓∵h′（x）=1﹣ex＜0在[3，4]恒成立即h（x）在[3，4]↓，即所证不等式成立．…（9分）（3）由（1）得g（x）在（0，1）↑（1，e）↓，g（x）max=g（1）=1所以，g（x）∈（0，1]又不符合题意当m＞0时，要?t1，t2使得f（t1）=f（t2），那么由题意知f（x）的极值点必在区间（0，e）内，即得，且函数f（x）在由题意得g（x）在（0，e）上的值域包含于f（x）在上的值域，∴内，，下面证时，f（t）≥1，取t=e﹣m，先证．令w（x）=2ex﹣x，∴内恒成立，∴w（x）↑，∴，∴2em﹣m＞0，再证f（e﹣m）≥1，∵，∴．…（14分）点评:本题考查函数的导数的综合应用，函数的极值以及函数的单调性的判断与应用，新函数以及构造法的应用，考查综合分析问题解决问题的能力．

22.在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥BD，PA=AC=2AD=4，AB=BC=2，M，N，E分别为PD，PB，CD的中点．（1）求证：平面MBE⊥平面PAC；（2）求二面角M﹣AC﹣N的余弦值．参考答案：【考点】MT：二面角的平面角及求法；LY：平面与平面垂直的判定．【分析】（1）设F为AC中点，连接BF和EF，可得B、F、E三点共线，且BE⊥AC．再由PA⊥平面ABCD，得PA⊥BE，从而BE⊥平面PAC，进一步得到平面MBE⊥平面PAC；（2）由PA⊥平面ABCD，得PA⊥AC且PA⊥AD，又AC⊥AD，则以A为坐标原点，AC为x轴，AD为y轴，AP为z轴建立如图所示空间直角坐标系，由已知求出所用点的坐标，分别求出平面MAC的法向量与平面NAC的法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角M﹣AC﹣N的余弦值．【解答】（1）证明：设F为AC中点，连接BF和EF，∵AB=BC，∴BF⊥AC．∵E为CD中点，∴EF∥AD．又∵AC⊥AD，∴EF⊥AC．∴B、F、E三点共线，∴BE⊥AC．又∵PA⊥平面ABCD，且BE?平面ABCD，∴PA⊥BE．∴BE⊥平面PAC．又∵BE?平面MBE，∴平面MBE⊥平面P