安徽省皖北县中联盟高一下学期5月联考数学试题

2022~2023学年度第二学期高一年级5月联考数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。2.答题前，考生务必用直径毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。4.本卷命题范围：人教A版必修第二册第六章～第八章。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若复数是纯虚数，则实数a的值是（） C. D.2.下列叙述正确的是（）A.用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台B.两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台C.有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台D.棱台的侧棱延长后必交于一点3.已知向量，，若，则（）A. B.4.如图所示，是水平放置的的斜二测直观图，其中，则是（）A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等腰直角三角形 D.以上选项都不对5.已知平面，，两两垂直，直线a，b，c满足，，，则直线a，b，c不可能满足以下哪种关系（）A.两两垂直 B.两两平行 C.两两相交 D.两两异面6.已知复数满足，则下列结论正确的是（）A. B.的虚部与实部相等C. D.存在复数，使7.位于某港口A的小艇要将一件重要物品送到一艘正在航行的海轮上.在小艇出发时，海轮位于港口A北偏东30°且与该港口相距30海里的B处，并正以20海里/时的速度沿正西方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v海里/时的航行速度匀速行驶，经过t小时与海轮相遇.若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇的航行速度（单位：海里/时）应为（）A. C. D.8.在边长为6的菱形中，，现将菱形沿对角线BD折起，当时，三棱锥外接球的表面积为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.下列说法正确的是（）A.复数的虚部为B.方程的复数根为C.若，则复平面内对应的点位于第二象限D.复平面内，实轴上的点对应的复数是实数10.已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（）A.B.若为斜三角形，则C.若，则是锐角三角形D.若，则一定是等边三角形11.如图，正四棱柱中，，E，F分别为，的中点，则下列结论错误的是（）A.平面 B.直线与直线所成的角为90°C.平面与平面的夹角为45° D.直线与平面所成的角为45°12.已知正的边长为，中心为O，P是的内切圆上一点，则（）A. B.满足的点只有1个C. D.满足的点有2个三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知复数满足，则______.14.若单位向量，满足，且，则实数k的值为______.15.已知正方体的棱长为3，则到平面的距离为______.16.在中，，是的角平分线，且交于点.若的面积为，则的最大值为______.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（本小题满分10分）已知复数满足.（1）求；（2）求.18.（本小题满分12分）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（1）求角A；（2）若的面积为，求a的最小值.19.（本小题满分12分）如图所示，在中，，，，.（1）试用向量，来表示，；（2）若，求证：D，O，N三点共线.20.（本小题满分12分）如图，在直三棱柱中，，，D，E分别是棱，的中点.（1）判断多面体是否为棱柱并说明理由；（2）求多面体的体积；（3）求证：平面平面.21.（本小题满分12分）已知空间几何体中，是边长为2的等边三角形，是腰长为2的等腰直角三角形，四边形是正方形.（1）设平面平面，求证：；（2）求三棱锥的体积.22.（本小题满分12分）如图，在梯形中，，，，.（1）若，求的面积；（2）若，求BD的长.2022~2023学年度第二学期高一年级5月联考・数学参考答案、提示及评分细则1.A依题意，由于是纯虚数，所以解得.故选A.2.D对于A，当截面不平行于底面时，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台，A错误；对于B，C，如图的几何体满足条件，但侧棱延长线不能相交于一点，不是棱台，B，C错误；对于D，由棱台结构特征知侧棱延长后必交于一点，D正确.故选D.由，得，得.故选C.根据斜二测画法可知，在原图形中，O为CA的中点，，因为，所以，则是以AC为斜边的等腰直角三角形，如图所示：故选C.设，且与a，b均不重合，假设，由可得，，又，可知，，又，可得，因为，，两两互相垂直，所以与相交，即与相交或异面，若与a或b重合，同理可得与c相交或异面，可知假设错误，由此可知三条直线不能两两平行.故选B.由，得，的实部为，虚部为，，当时，.故选D.如图所示，，，，时，即小艇往正北方向航行时航行的距离最小为海里，海轮航行的距离为海里，故航行时间为小时，所以小艇的航行速度海里/时.故选D.由题意知，和为等边三角形，如图所示.取BD中点E，连接AE，CE，则，，同理可得，又，则，，故平面.易知球心O在平面内的投影为的外心，过O作于H，则H为的外心，易得，，则在中，，，所以外接球半径，外接球表面积为.故选C.9.BD对于A，，虚部为3，A错误；对于B，，，B正确；对于C，，则，复平面内对应的点在y轴负半轴上，C不正确；对于D，复平面内，实轴上的点对应的复数是实数，D正确.故选BD.10.ABD对于A，由正弦定理和比例性质得，故A正确；对于B，由题意，，则，所以，故B正确；对于C，因为，所以，所以，所以C为钝角，是钝角三角形，故C错误；对于D，因为，所以，所以，且A，B，，所以，所以为等边三角形，故D正确.故选ABD.11.ABC对于A，如图，连接，由题意，又E，F分别为，的中点，可得，若平面，则，进而.这显然不成立，故与平面不垂直，A错误；对于B，假设直线与直线BF所成的角为90°，即，由正四棱柱的性质可知平面，而平面，所以，可得平面，而由正四棱柱的性质可知平面，所以，显然这是不可能的，所以假设不成立，因此B错误；对于C，分别延长，DA交于点P，连接PB，则直线即为平面与平面的交线.连接BD，，可证平面，故即为平面与平面的夹角，易知，故，C错误；对于D，可证，则直线与平面所成的角为，又根据题意易知，D正确.故选ABC.12.ABD对于A，法一：设M为AB的中点，连接OM，则C，O，M三点共线.设的内切圆半径为r，外接圆半径为R，则.因为O为的中心，故，而，故.又.A正确；法二：记CO的中点为N，由正三角形的性质知N在内切圆上且MN为内切圆圆O的直径，如图，连接PM，PN，从而有.A正确；对于B，，因为的边长为，所以内切圆半径为1.当且仅当P为OC中点N时，，B正确；对于C，，易知与的夹角，所以，C错误；对于D，，要使，则，分析可知此时P恰为线段OB与内切圆的公共点，又当P与M重合时，也满足题意，故这样的点有2个，D正确.故选ABD.法一：由，得，所以，.法二：由，得，所以，.因为，所以，因为，所以，即，又，是单位向量，所以，即.15.连接，，可以证明平面，得.同理可得，故平面.连接AC交BD于O，连接交于点，可以证明，则，所以，即到平面的距离为.16.设角A，B，C的对边分别为a，b，c，由题意，得，，整理得，当且仅当时，等号成立.故AM的最大值为.17.解：（1）因为，所以，所以，所以.……5分（2）.……10分18.解：（1）由，得，又，所以，……2分所以，整理得，……3分因为，所以，故，又，所以.……6分（2）因为的面积，所以.……8分由余弦定理可得，当且仅当时等号成立.……10分即，.故的最小值为3.……12分19.（1）解：因为，所以，所以.……3分因为，所以，所以.……6分（2）证明：因为，所以，……8分则，，所以，即证D，O，N三点共线.……12分20.（1）解：多面体不是棱柱.理由如下：……1分因为棱柱的侧面必为平行四边形，故棱柱的面至少有3个平行四边形，而多面体只有1个面是平行四边形，故不是棱柱.……3分（2）解：易知三棱柱的体积，……2分三棱锥的体积，……4分则多面体的体积.……6分（3）证明：连接DE.因为D，E分别是，AC的中点，所以，所以四边形为平行四边形.……8分所以.又平面，平面，所以平面.……9分易知，得四边形为平行四边形.所以，又平面，平面，所以平面.……11分而，BE，平面，所以平面平面.……12分21.（1）证明：∵四边形是正方形，∴.……1分又平面，平面，∴平面.……3分又平面，平面平面，∴.……5分（2）解：法一：取CD的中点F，连接BF.∵是边长为2的等边三角形，∴.①……6分且易得.……7分∵是边长为2的等边三角形，四边形是正方形，∴.而是腰长为2的等腰直角三角形，∴.……8分又由题意知，，，平面，∴平面.而平面，∴.②……9分由①②可以得出平面.……10分三棱锥的体积即为三棱锥的体积，，故三棱锥的体积为.……12分法二：∵是边长为2的等边三角形，四边形是正方形，∴.……6分而