建筑工程之结构力学讲义六四

1.弹性杆件的变形与变形能计算2.变形体虚功原理3.单位荷载法4.图乘法5.其他外因引起的位移计算6.互等定理7.结论与讨论第7章虚功原理和结构的位移计算DisplacementofStaticallyDeterminateStructures1结构位移计算概述

一、结构的位移(DisplacementofStructures)AFP线位移，角位移，相对线位移、角位移等统称广义位移线位移角位移相对线位移CDFP相对角位移制造误差等铁路工程技术规范规定:

二、计算位移的目的引起结构位移的原因(1)刚度要求如：荷载、温度改变

T、支座移动c、在工程上，吊车梁允许的挠度<1/600跨度；桥梁在竖向活载下，钢板桥梁和钢桁梁最大挠度<1/700和1/900跨度高层建筑的最大位移<1/1000高度。最大层间位移<1/800层高。（3）理想联结(IdealConstraint)。三、本章位移计算的假定

(2)超静定、动力和稳定计算(3）施工要求叠加原理适用（principleofsuperposition)(1)线弹性(LinearElastic),(2)小变形(SmallDeformation),返首2变形体虚功原理

(PrincipleofVirtualWork)一、功(Work)、实功(RealWork)和虚功(VirtualWork)两种状态力状态位移状态FPFP/2FP/2（虚）力状态（虚力状态）（虚位移状态）无关（虚）位移状态q注意：（3）位移状态与力状态完全无关；（2）均为可能状态。即位移应满足变形协调条件；力状态应满足平衡条件。（1）属同一体系；一些基本概念：实功：广义力在自身所产生的位移上所作的功功：力×力方向位移之总和广义力：功的表达式中，与广义位移对应的项功：广义力×广义位移之总和虚功：广义力与广义位移无关时所作的功W=FP×Δ/2W=FP1×Δ11/2orW=FP2×Δ22/2W=FP1×Δ12orW=FP2×Δ21变力功（1）质点系的虚位移原理具有理想约束的质点系，在某一位置处于平衡的必要和充分条件是：二、变形杆件的虚功原理Σfiδri=0→→.对于任何可能的虚位移，作用于质点系的主动力所做虚功之和为零。也即（2）刚体系的虚功原理

去掉约束而代以相应的反力，该反力便可看成外力。则有：刚体系处于平衡的必要和充分条件是：

对于任何可能的虚位移，作用于刚体系的所有外力所做虚功之和为零。FPΔPΔB-FPΔP+FB

ΔB=0原理的表述：任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚位移时，变形体所受外力在虚位移时所作的总虚功δWe，恒等于变形体所接受的总虚变形功δWi。也即恒有如下虚功方程成立δWe=δWi（3）变形体的虚功原理变形体虚功原理的证明虚位移是光滑、连续的，相邻分割面虚位移相同。将变形体分割成若干(有限或无限)部分，计算各部分外力总虚功有两种方案方案一：各部分上的外力区分为：外荷载和分割面内力两类，相邻分割面内力互为作用与反作用关系。各部分外力总虚功=外荷载总虚功δW

=δWe变形体虚功原理的证明

变形体是平衡的，其各部分也必然平衡。因此，各部分上的外力是平衡力系。方案二：各部分的虚位移区分为：刚体虚位移和变形虚位移两类。但必须注意，虚位移是光滑连续的，可刚体和变形虚位移在分割面处一般是不光滑、连续的。δW

=δWi

根据刚体虚位移原理，外力在刚体虚位移上的总虚功等于零。因此各部分外力总虚功=外力在变形虚位移上的总虚功两方案计算同一内容，因此δWe=δWi需要脱强调哪的几盛个问迎题原理漆的证粮明表财明，爆原理既适用匠于任何慎力学稠行为变(线缩慧性和翅非线罢性)葡的变摘形体，适酷用于任何恨结构。虚功差原理忌里存贪在两踢个状失态：力状愿态必脸须满累足平渔衡条督件；朗位移殃状态姑必须品满足政协调初条件赠。因阳此原鲜理仅决是必要能性命等题。由于准外力古在变虫形虚菠位移纪上所瘦作的约功相蹈对分燥割面盆内力拜的虚榆变形律功为峰高阶玩小量喊，因垂此许去多文油献上称δWi为内已力总果虚功。原理互可有搅两种申应用门：实际照待分拘析的青平衡浪力状干态，提虚设典的协异调位紧移状抗态，吐将平衡职问题骡化为灵几何公问题厌来求森解。需要惩强调仆的几姑个问锋题实际准待分能析的怪协调计位移坦状态汗，虚吐设的登平衡回力状屠态，熄将位移口分析适化为冷平衡仪问题巡寿来求罗解。第一各种应授用一册些文恰献称闻为“虚牛位移具原理皆”，而酿将第价二种牲应用迅称为“虚毯力原连理”。更理确切仇的说栏法为乒，两种穴应用芝的依翠据是看上述菌两原械理的岸必要劈燕性命构题。上廊述两铜原理馋都是表充分捕、必尖要性源命题颈，它们辅和虚吧功原怕理是挂有区亡别的。质点系是一个离散化体系，变形体是一个连续体。我们认为，所谓将质点系虚位移原理()“应用于变形体”是不妥当的。Σfiδri=0→→.当变生形体验为杆葬件体颤系时蛙，如告：ABCDq(s)ijp(s)m(s)取任一单元δWe的计兆算:当无钟结点角荷载冲时,δWe=Σ杜∫[pδ棵u+乒qδ箩v+栏mδ倦θ]ds当有纲结点蜡荷载催时δWe=Σ∫[pδu+qδv+mδθ]ds+Σ[FPxδu+FPyδv+Mδθ]i结点荷载结点位移δWi的计西算:微段拉伸微段剪切微段扭转微段弯曲δWi=Σ门∫[FNδε页+FQδγ姐+Mxδφ+Mδ鼓θ]ds取微窗段,恭其受纷力如恨下对于营直杆袜体系拌，由痰于变意形互贿不耦膏连，孙所以变形肤可看蓬成有缴如下狡几部指分微段受力杆系军结构妥虚功各方程根据贸上述渔推证聪，可教得杆这系结雹构虚惑功方丢程如劳下δWe=Σ∫[pδu+qδv+mδθ]ds+Σ[FPxδu+FPyδv+Mδθ]i=Σ屠∫[FNδε爹+FQδγ嫩+Mxδφ+Mδ丸θ]ds=δWi以上干结论谦与材神料物头理性懒质及修具体魔结构副无关瞎，因债此，旬虚功史原理亏虚功耳方程处既适肉用于容一切项线性罗结构说，也谜适用归于一够切非化线性篇结构。希望亡能很垃好理脖解，绣尽可壁能达踩到掌灾握！三、键虚功甜原理投的两艺种应具用1）瞒虚功凯原理昏用于虚设零的协调膏位移漂状态与实际积的平衡用力状孟态之间泡。例.同求A端的崇支座件反力(R董ea织ct厅io候n舱at头S激up辜po体rt摘)。FPABaC(a)b解：亏去掉A端约胃束并清代以竞反力X，构地造相宽应的部虚位主移状蕉态如牵图(兵b)刊、(它c)待分析平衡的力状态X(b)FP由外牌力虚途功总昼和为剥零，穷即：(c)直线虚设协调的位移状态通常从取单位位移法(Unit-DisplacementMethod)(1暂)对喷静定漫结构廊，这挎里实毒际用娇的是涛刚体蜻虚位筋移原数理，加实质旺上是实际事受力努状态外的平现衡方漏程，即几点塌说明主：(3础)求泥解时弯关键轻一步怜是找张出虚运位移包状态骡的位群移关焦系。(2夏)虚抚位移版与实敏际力州状态秀无关召,故肠可设特点捕:用几温何法肢来解猴静力杂平衡序问题。例.踏求A端支边座发搞生竖序向位方移c时引卖起C点的死竖向姑位移.(a)ABaCbc2）牧虚功族原理滨用于虚设饥的平衡半力状送态与实际忠的协调烛位移泻状态之间鬼。解：贩首先谊构造量出相枪应的虚虚设扒力状辞态。粒即，辅在拟拔求位单移之担点（C点）凶沿拟凝求位积移方饱向（翁竖向福）设当置单位源荷载。1ABC(b)由求得：虚功哑方程律为：这便促是单位码荷载零法(D绵um拾my逢-U混ni樱t坛Lo娇ad宋M礼et争ho刊d)它是尖M姨ax过we拖ll计,杰18闹64销和M部oh泽r,迫1辰87梅4提恳出，肠故也仪称为仔Ma爽xw耽el毅l-斜Mo穴hr墙M帮et柜ho愉d几点赢说明希：(1腹)所墨建立庄的虚功辟方程,实幻玉质上堂是几何渔方程。(3公)求胆解时射关键胡一步迹是找袄