2017高考全国3卷理科数学试题及答案

2017高考全国3卷理科数学试题及答案

2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国）理科数学（试题及答案解析）一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）221.已知集合A={(x,y)|x+y=1}，B={(x,y)|y=x}，则A∩B中元素的个数为（）A.3B.2C.1D.2【答案】B【解析】A表示圆x^2+y^2=1上所有点的集合，B表示直线y=x上所有点的集合，故A∩B表示两直线与圆的交点，由图可知交点的个数为2，即A∩B元素的个数为2，故选B.2.设复数z满足(1+i)z=2i，则z=（）A.1/2B.2C.2iD.2i+2【答案】C【解析】由题，z=2i/(1+i)=(2i(1-i))/(1+i)(1-i)=i+1，则|z|=√2，故z=2i/|z|^2=2i/2=2i，故选C.3.某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是A.月接待游客量逐月增加B.年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份D.各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳【答案】A【解析】由题图可知，2014年8月到9月的月接待游客量在减少，则A选项错误，故选A.4.(x+y)(2x-y)^5的展开式中x^3y^3的系数为（）A.-80B.-40C.40D.80【答案】C【解析】由二项式定理可得，原式展开中含x^3y^3的项为23333x·C(5,2)·(2x)^2(-y)^3+y·C(5,3)·(2x)^1(-y)^3=40xy，则xy的系数为40，故选C.5.已知双曲线C：(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1（a>0,b>0）的一条渐近线方程为y=x，且与椭圆(x^2/12)+(y^2/3)=1有公共焦点．则C的方程为（）A.3x^2-2y^2=5B.2x^2-5y^2=10C.5x^2-2y^2=3D.10x^2-3y^2=20【答案】B【解析】∵双曲线的一条渐近线方程为y=x，则b^2=a^2+c^2=25，则a^2=20；又∵椭圆(x^2/12)+(y^2/3)=1，故c^2=4，则焦点到渐近线的距离为c/sqrt(2)=2sqrt(2)，又∵焦点到渐近线的距离等于焦点到双曲线的距离，故a/sqrt(2)=2sqrt(2)，解得a=4，则双曲线C的方程为2x^2-5y^2=10，故选B.6.设函数f(x)=cos(x+π/3)，则下列结论错误的是（）A.f(x)的最大值为1B.f(x)的最小值为-1C.f(x)的零点在x=5π/6+2kπ(k∈Z)处D.f(x)的周期为2π【答案】C【解析】f(x)的最大值为cos(π/3)=1，最小值为cos(π/3+π)=cos(4π/3)=-1，周期为2π，故选C中的x应为7π/6+2kπ(k∈Z)，故C选项错误，故选C.2.改写后的文章：13.若$x$，$y$满足约束条件$x-y\geq0$，$x+y-2\leq0$，$y\geq0$，则$z=3x-4y$的最小值为$\textbf{-1}$。解析：由题，画出可行域如图：由图可知：$z$在$A(1,1)$处取最小值，故$z_{\min}=3\times1-4\times1=-1$。目标函数为$z=3x-4y$，则直线$y=x+y-2$，即$y=-x+2$，$y\geq0$，$x-y=0$。14.设等比数列$\{a_n\}$满足$a_1+a_2=-1$，$a_1-a_3=-3$，则$a_4=\textbf{-8}$。解析：$\{a_n\}$为等比数列，设公比为$q$。由$a_1+a_2=-1$可得$a_2=-a_1-1$，代入$a_1-a_3=-3$中得$a_3=a_1+2$。因此，$a_4=a_1q^3=-(a_1+a_2)q^3=-(-a_1-1)q^3=-8$。解得$q=-2$，代入$a_1+a_2=-1$中得$a_1=1$。15.设函数$f(x)=\begin{cases}x+1,&x\leq0\\\frac{1}{2},&0<x<2\\x-1,&x\geq2\end{cases}$，则满足$f(x)+f(x-2)>1$的$x$的取值范围是$\textbf{(-\infty,\frac{1}{4})\cup(2,\infty)}$。解析：由图象变换可画出$y=f(x)$与$y=1-f(x-2)$的图象如下：由图可知，满足$f(x)+f(x-2)>1$的解为$(-\infty,\frac{1}{4})\cup(2,\infty)$。16.$a$，$b$为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形$ABC$的直角边$AC$所在直线与$a$，$b$都垂直，斜边$AB$以直线$AC$为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线$AB$与$a$成$60^\circ$角时，$AB$与$b$成$30^\circ$角；②当直线$AB$与$a$成$60^\circ$角时，$AB$与$b$成$60^\circ$角；③直线$AB$与$a$所成角的最小值为$45^\circ$；④直线$AB$与$a$所成角的最大值为$60^\circ$。其中正确的是$\textbf{(B)}2,3$。解析：由题意知，$a$、$b$、$AC$三条直线两两相互垂直，画出图形如图：不妨设图中所示正方体边长为$1$，故$|AC|=1$，$AB=2$，$BC=\sqrt{2}$，$AC=\sqrt{2}$。设$\angleBAC=\alpha$，则$\angleABC=45^\circ-\frac{\alpha}{2}$，$\angleCAB=45^\circ+\frac{\alpha}{2}$。由三角形$ABC$的正弦定理得$\sin\alpha=\frac{1}{\sqrt{2}}$。又因为$AB$以直线$AC$为旋转轴旋转，故$\angleABL=\angleABK=\frac{\alpha}{2}$，其中$L$，$K$分别为$AB$上的点，且$KL\perpAC$。由此可得，当$\alpha=60^\circ$时，$\angleABK=30^\circ$，$\angleABL=30^\circ$，故结论②成立。当$\alpha=45^\circ$时，$\angleABK=22.5^\circ$，$\angleABL=22.5^\circ$，故结论③成立。而结论①和结论④都不成立。B、C的对边分别为a、b、c，已知sinA+3cosA=2sin(A+π/3)，a=27，b=2。求：（1）c的值；（2）设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积。解析：（1）由sinA+3cosA=2sin(A+π/3)得2sin(A+π/6)=2sinA+3cosA，化简得sinA=3/4，cosA=√7/4。由余弦定理a²=b²+c²-2bc·cosA，代入a=27，b=2，cosA=√7/4，整理得c=4。（2）由勾股定理可得AB²=16，AC²=4，BC²=729，所以cosC=7/27。因为AD⊥AC，所以∠BAD=90°，BD²=AB²-AD²=16-4=12，所以BD=2√3。由正弦定理可得△ABD的面积为(1/2)·AB·BD·sin∠BAD=8√3。由题意可知，三角形ACD为直角三角形，且AC=CD*cosC，已知AC=3，因此CD=7。根据勾股定理可得AD=sqrt(AC^2+CD^2)=sqrt(3^2+7^2)=sqrt(58)。又由于AC⊥BD，因此△ABD和△CBD为直角三角形，可以利用三角函数求解角度，得到∠DAB=arcsin(AB/AD)=18.26°。某超市订购一种酸奶，进货成本为4元，售价为6元，未售出的酸奶以每瓶2元的价格处理。根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温有关。当最高气温不低于25℃时，需求量为500瓶；当最高气温低于20℃时，需求量为200瓶；当最高气温位于20℃和25℃之间时，需求量为300瓶。为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得到频数分布表。将最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。要求解出一天的需求量X的分布列和销售利润Y的期望值，并确定进货量n使得Y的期望值最大。根据题意，需求量X可以取200、300和500三个值，分别对应的频率为122/362、555/362和185/362。因此X的分布列为：XP200122/362300555/362500185/362设进货量为n，则当n≤200时，Y=2n；当200＜n≤300时，Y=n+8800/555-2n/555；当300＜n≤500时，Y=3200/5-2n/5。可以求得当n=300时，Y取到最大值为520。因此进货量为300时，销售利润Y的期望值最大。证明：平面ACD垂直平面ABC。过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角DAEC的余弦值。⑴取AC中点为O，连接BO，DO，因为$\triangleABC$为等边三角形，所以$AB=BC$，$\angleBAC=60^\circ$，$\angleBCA=60^\circ$，所以$BO\perpAC$，$AB=BC=a$。因为$BD$平分$\angleABC$，所以$\triangleABD\cong\triangleCBD$，$BD=BD=a\sqrt{3}$，$OD=\frac{a\sqrt{3}}{2}$，$OB=\frac{a}{2}$，$OD+OB=BD$，易得$\angleDOB=90^\circ$，即$OD\perpOB$。所以$OD\perpAC$，$OD\perpOB$，$\angleACOB=90^\circ$，$AC\parallelOB$，$OB\parallelAC$。又因为$OD\parallelAC$，所以$OD\perp$平面$ABC$。又因为$OD\perp$平面$ADC$，所以平面$ADC$垂直平面$ABC$。⑵由题意可知$V_{D-ACE}=V_{B-ACE}$，即$B,D$到平面$ACE$的距离相等，即$E$为$BD$中点。以$O$为原点，$OA$为$x$轴正方向，$OB$为$y$轴正方向，$OD$为$z$轴正方向，设$AC=a$，建立空间直角坐标系，则$B(0,a,0)$，$E(0,\frac{a}{2},\frac{a}{2})$，$C(a,0,0)$，$O(\frac{a}{2},\frac{a}{2},0)$，$A(-\frac{a}{2},\frac{a}{2},0)$，$D(-\frac{a}{2},-\frac{a}{2},0)$。设平面$AED$的法向量为$n_1$，平面$AEC$的法向量为$n_2$，则$n_1=(3,1,3)$，$n_2=(0,1,-3)$。若二面角$D-AE-C$为$\theta$，则$\cos\theta=n_1\cdotn_2/|n_1|\cdot|n_2|=7/20$。已知抛物线$C:y^2=2x$，过点$(2,4)$的直线$l$交$C$于$A$，$B$两点，圆$M$是以线段$AB$为直径的圆。⑴设$l$的斜率为$k$，则$l:y-4=k(x-2)$，联立得到$x^2-4xy+4y^2-8x+16=0$。因为$l$与$C$有交点，所以$4y^2=8x$，代入得到$x^2-4xy+2x=0$，即$x(x-4y+2)=0$。因为$l$不垂直于$x$轴，所以$x\neq0$，因此$x-4y+2=0$，即$y=\frac{1}{4}x+\frac{1}{2}$。设圆$M$的方程为$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，因为$AB$为直径，所以$A$和$B$在圆上，代入得到$(2-a)^2+(4-b)^2=r^2$，$(x-a)^2+(kx+4-ak-b)^2=r^2$。联立两式，消去$a$和$b$，得到$(k^2+1)x^2-8x+16=0$，解得$x=\frac{4}{k^2+1}$。代入$y=\frac{1}{4}x+\frac{1}{2}$，得到$y=\frac{k^2}{k^2+1}$。因为圆$M$过点$(4,2)$，所以$(4-a)^2+(2-b)^2=r^2$，代入得到$a^2+b^2-8a-4b+20=r^2$。代入$(2-a)^2+(4-b)^2=r^2$，消去$a$和$b$，得到$k^2+5k+4=0$，解得$k=-1$或$k=-4$。因为$l$过点$(2,4)$，所以$l:y-4=-x+2$，即$l:x+y-6=0$。⑵设圆$M$的方程为$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，因为$l$垂直于$AB$，所以$l$过$AB$的中点$(a,b)$，即$l:b=-\frac{1}{k}(a-2)+4$。联立得到$a^2-4a+4+b^2-8b+20=k^2(a-2)^2$，代入$k=-1$或$k=-4$，得到$a^2-4a+4+b^2-8b+20=(a-2)^2$，即$a^2+b^2-4a-8b+12=0$。因为$O$在圆$M$上，所以$a^2+b^2=r^2$，代入得到$4a+8b=4r^2-12$。因为圆$M$过点$(4,2)$，所以$(4-a)^2+(2-b)^2=r^2$，代入得到$a^2+b^2-8a-4b+20=r^2$。联立两式，消去$a$和$b$，得到$r^2=10$。代入$4a+8b=4r^2-12$，得到$2a+4b=38$。因为$l$过点$(2,4)$，所以$l:y-4=-x+2$，即$l:x+y-6=0$。联立圆$M$的方程，消去$r^2$，得到$(k^2+1)x^2-8x+16=0$，解得$x=\frac{4}{k^2+1}$。代入$l:x+y-6=0$，得到$y=6-x$。代入圆$M$的方程，消去$r^2$，得到$(k^2+1)x^2-8x+(k^2-8)x+20=0$，解得$x=\frac{4k^2-4k+5}{k^2+1}$。代入$y=6-x$，得到$y=\frac{k^2-4k+6}{k^2+1}$。因为圆$M$过点$(4,2)$，所以$(4-a)^2+(2-b)^2=r^2$，代入得到$a^2+b^2-8a-4b+20=r^2$。联立两式，消去$a$和$b$，得到$k^2+5k+4=0$，解得$k=-1$或$k=-4$。因为$l$过点$(2,4)$，所以$l:y-4=-x+2$，即$l:x+y-6=0$。联立方程组得到$y_2-2my_1-4=0$和$x=my+2$，解得$y_1y_2=-4$和$y_1+y_2=2m$。由于$\Delta=4m^2+16$恒大于$0$，所以方程组有实数解。根据勾股定理，$OA\perpOB$，即点$O$在圆$M$上。若圆$M$过点$P$，则$AP\cdotBP=(x_1-4)(x_2-4)+(y_1+2)(y_2+2)=(my_1-2)(my_2-2)+(y_1+2)(y_2+2)=(m^2+1)y_1y_2-(2m-2)(y_1+y_2)+8$。化简得$2m^2-m-1=0$，解得$m=-1$或$m=\frac{1}{2}$。当$m=-1$时，直线$l:2x+y-4$通过圆心$Q(x,y)$，解得$y=\frac{1}{2}$，$x=-\frac{9}{4}$，半径$r=|\overline{OQ}|=\sqrt{\left(\frac{9}{4}\right)^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2}=\frac{\sqrt{85}}{4}$，则圆$M:(x+\frac{9}{4})^2+(y+\frac{1}{2})^2=\frac{85}{16}$。当$m=\frac{1}{2}$时，直线$l:x-y-2$通过圆心$Q(x,y)$，解得$y=1$，$x=3$，半径$r=|\overline{OQ}|=\sqrt{3^2+1^2}=2\sqrt{2}$，则圆$M:(x-3)^2+(y-1)^2=10$。已知函数$f(x)=x-1-aln(x)$。(1)若$f(x)\geq\frac{1}{22}$，求$a$的值。$f'(x)=1-\frac{a}{x}$，$f(1)=-a$。当$a\leq0$时，$f'(x)>0$，$f(x)$在$(0,1)$上单调递