函数奇偶性练习题(内含答案)

函数奇偶性练习题(内含答案)

新希望培训学校资料数学函数奇偶性练习（内含答案）一、选择题1.已知函数$f(x)=ax+bx+c(a\neq0)$是偶函数，那么$g(x)=ax+bx-cx$是（）A.奇函数B.偶函数C.既奇又偶函数D.非奇非偶函数2.已知函数$f(x)=ax+bx+3a+b$是偶函数，且其定义域为$[a-1,2a]$，则（）A.$a=2,\b=\frac{1}{3}$B.$a=-1,\b=-\frac{1}{3}$C.$a=1,\b=-\frac{1}{3}$D.$a=3,\b=\frac{1}{3}$3.已知$f(x)$是定义在$\mathbb{R}$上的奇函数，当$x\geq0$时，$f(x)=x-2x$，则$f(x)$在$\mathbb{R}$上的表达式是（）A.$y=x(x-2)$B.$y=x(|x|-1)$C.$y=|x|(x-2)$D.$y=x(|x|-2)$4.已知$f(x)=x+ax+bx-8$，且$f(-2)=10$，那么$f(2)$等于（）A.$-26$B.$-18$C.$-10$D.$10$5.函数$f(x)=\frac{5x^2}{1+x^2}+\frac{x-1}{x+1}$是（）A.偶函数B.奇函数C.非奇非偶函数D.既是奇函数又是偶函数6.若$\phi(x),\g(x)$都是奇函数，$f(x)=a\phi(x)+bg(x)+2$在$(0,+\infty)$上有最大值$5$，则$f(x)$在$(-\infty,0)$上有（）A.最小值$-5$B.最大值$-5$C.最小值$-1$D.最大值$-3$二、填空题7.函数$f(x)=\frac{x-2}{1-x^2}$的奇偶性为（奇函数或偶函数）。8.若$y=(m-1)x+2mx+3$是偶函数，则$m=$（）。9.已知$f(x)$是偶函数，$g(x)$是奇函数，若$f(x)+g(x)=\frac{1}{x-1}$，则$f(x)$的解析式为（）。10.已知函数$f(x)$为偶函数，且其图像与$x$轴有四个交点，则方程$f(x)=0$的所有实根之和为（）。三、解答题11.设定义在$[-2,2]$上的偶函数$f(x)$在区间$[0,2]$上单调递减，若$f(1-m)<f(m)$，求实数$m$的取值范围。12.已知函数$f(x)$满足$f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)$（$x\in\mathbb{R},y\in\mathbb{R}$），且$f(0)\neq0$，试证$f(x)$是偶函数。13.已知函数f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)=x+2x-1，求f(x)在R上的表达式。答案：由奇函数的定义可知，当x<0时，f(x)=-f(-x)。又因为f(x)在x>0时的表达式已知，代入奇函数的性质可得，当x<0时，f(x)=-x-2x+1。综上所述，f(x)=|x+2x-1|。14.设函数f(x)是定义在（-∞，-5]∪[5,+∞）上的奇函数，且f(x)在[5,+∞)上单调递减，试判断f(x)在（-∞，-5]上的单调性，并用定义给予证明。答案：由奇函数的定义可知，当x<0时，f(x)=-f(-x)。因为f(x)在[5,+∞)上单调递减，所以对于任意x1,x2∈(-∞,-5]，且x1<x2，有-x2<-x1，即x1x2>0。由奇函数的性质可知，f(x1x2)=-f(-x1x2)，而f(x1)=-f(-x1)，f(x2)=-f(-x2)，所以f(x1x2)=f(x1)+f(x2)，即f(x1)+f(x2)=-f(-x1x2)。因为x1x2>0，所以-x1x2<0，即-x1x2∈[5,+∞)，根据f(x)在[5,+∞)上单调递减可得f(-x1x2)>f(x)，即-f(x1x2)>f(x1)+f(x2)，即f(x1)+f(x2)<-f(x1x2)。综上所述，f(x)在（-∞，-5]上单调递减。15.设函数y=f(x)（x∈R且x≠0）对任意非零实数x1、x2满足f(x1x2)=f(x1)+f(x2)，求证f(x)是偶函数。答案：对于任意x∈R且x≠0，有f(x)=f(x/2)+f(x/2)=2f(x/2^2)+2f(x/2^2)=...=k·f(x/2^k)+k·f(x/2^k)=lim(k→∞)k·f(x/2^k)，其中k为正整数。因为f(x)是定义在非零实数上的函数，所以lim(k→∞)f(x/2^k)=f(0)=0。又因为f(x)是偶函数，所以f(-x)=f(x)，即f(x/2^k)=f(-x/2^k)，代入原式可得f(x)=2f(x/2^k)=2f(-x/2^k)=f(-x)，即f(x)是偶函数。（注：第一题中的A32可能是格式错误，应为f(x)·ϕ(x)满足奇函数的条件，答案为f(x)=|x+2x-1|；第四题中的A选项应为f(-2)+8=-18，f(2)+8=18，f(2)=10。）12.假设$x=y$,则有$f(x)+f(y)=2f(x)f(y)$，且$f(x)\neq0$。因此，可以证明$f(x)=1$。接着，令$x=0$，则$f(y)+f(-y)=2f(0)f(y)$，进而推出$f(-y)=f(y)$，说明$f(x)$是偶函数。13.这道题目主要考察学生对概念的理解。给定$f(x)=x+2x-1$，由于$f(x)$是奇函数，因此$f(0)=0$。当$x<0$时，$-x>0$，所以$f(-x)=(-x)+2(-x)-1=-x-1$，因此$f(x)=x-2x+1=1-x$。14.假设$x_1<x_2\leq-5$，则$-x_1>-x_2\geq-5$。由于$f(x)$在$[5,+\infty)$上单调递减，因此$f(-x_1)<f(-x_2)$，推出$f(x_1)<-f(x_2)$，即$f(x)$是单调递减函数。15.由于$x_1$和$x_2$为任意实数且不为$0$，因此令$x_1=x_2=1$可得$f(1)=2f(1)$，从而